2013 年度「ファイナンス保険数理特論」 補足2 — tower property について — 2013 年 5 月 31 日, 高岡浩一郎∗ 【このファイルは2頁分です. 】 本稿では,有限確率空間(つまりシナリオ数が有限)かつ情報分割 F1 の 各セル(アトム)の確率が正という設定下で,tower property(反復条件 付けの性質) ¯ [ ] ¯ E E[X|F2 ] ¯ F1 = E[X|F1 ] を証明します.講義の命題 6.3 の (5) です.講義でもお話したように,F1 が No Information のケースである [ ] E E[X|F2 ] = E[ X ] を示せば十分です. 記号の準備 総シナリオ数は N, 情報分割 F2 のセル数は K とします.各セル Ak に含 ∑K k=1 n(k) = N です.ま まれるシナリオ数を n(k) と記すことにします. た,セル Ak に含まれるシナリオを,2種類の添字を用いて ωk,1 , ωk,2 , · · · , ωk,n(k) と記し,各シナリオ ωk,i に与えられている確率を p(ωk,i ) と記すことにし ます. N 個のシナリオについて和をとることは,ωk,i の添字 k = 1, 2, · · · , K と i = 1, 2, , · · · , n(k) について K n(k) ∑ ∑ k=1 i=1 という形の2重和を取ることと同じになることに注意しましょう. ∗ 一橋大学大学院商学研究科.E-mail: k.takaoka@r.hit-u.ac.jp 1 証明 条件付き期待値の定義より,確率変数 E[X|F2 ] はセルごとに値が定まる ので,E[X|F2 ](ωk,i ) は i = 1, 2, · · · , n(k) に依らない値,つまり E[X|F2 ](ωk,i ) = E[X|Ak ] (1) です.よって [ ] E E[X|F2 ] = K n(k) ∑ ∑ E[X|F2 ](ωk,i ) p(ωk,i ) k=1 i=1 = K n(k) ∑ ∑ E[X|Ak ] p(ωk,i ) 【式 (1) より】 k=1 i=1 = n(k) K ∑ ∑ E[X|Ak ] p(ωk,i ) i=1 k=1 = n(k) ∑ X(ωk,j ) p(ωk,j ) n(k) K ∑ ∑ j=1 k=1 ∑ n(k) p(ωk,j ) i=1 p(ωk,i ) j=1 【条件付き期待値 E[X|Ak ] を計算した】 = K n(k) ∑ ∑ X(ωk,j ) p(ωk,j ) k=1 j=1 = E[ X ] 2 となって,証明完了です. 2
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