コンピュータ工学演習 解説と課題 (6) 日浦 慎作∗ あることから，平行移動と一次変換を何度繰り返しても 1 講義内容 一定の計算により合成変換を実現できることがわかる． 第６回の演習では，OpenGL により行われている座 このようにベクトルの末尾に要素を追加することで平 標変換を自前で実装し，どのように３次元世界が２次元 行移動を統合的に扱う変換を同次座標変換といい，コン 画像として描かれるのかを理解することを目標とする． ピュータグラフィックスの他には，コンピュータビジョ ン（画像認識）やロボット工学（ロボットの関節角度と 2 OpenGL における変換 手先の位置・姿勢の関係の計算など）に多用される*2 ． 第２回の演習でも説明したように，OpenGL では図 1 に示すような３段階の座標変換が用いられている．こ 2.2 ビューポート変換 れらについて，どのような計算により実現できるかを示 変換である．図 1 に示すように，(−1, −1) から (1, 1) す．またそれに先立ち，平行移動と一次変換を統合的に の範囲の正規化デバイス座標をウィンドウ座標に変換す 扱うことが出来る同次座標変換について述べる． る．ウィンドウの幅と高さをそれぞれ Wx , Wy とする 2.1 同次座標変換 と，ウィンドウ座標は，左上が (0, 0) で右下が (Wx , Wy ) ビューポート変換は，２次元平面から２次元平面への 一次変換は座標の回転や拡大縮小を統合的に扱うこと であるので，ビューポート変換を行う同時座標変換行列 が出来る変換であり，コンピュータグラフィックスにお は以下のようになる． ける物体の変形や配置などに便利である．しかし原点は 常に原点へ変換されるため，平行移動を取り扱うことが 0 0 出来ない．そこで一般に，一次変換と平行移動の組み合 *1 わせ（アフィン変換 ）が用いられる．２次元平面上の アフィン変換は以下のような式で表される． [ x2 y2 ] [ = r11 r21 r12 r22 ][ x y ] [ + tx ty 2.3 ] (1) r12 r22 0 透視変換 Xc x=fZ c Y y=f c Zc tx x ty y 1 1 (3) 1 係は以下の式で表される． うに３行３列の行列の積で表すことが出来る． r11 x2 y2 = r21 1 0 0 視点座標系における点と正規化デバイス座標上の像の関 たものを考える．すると，式 (1) と同じ変換を以下のよ Wy 2 を通る．図のように視点座標 (Xc , Yc , Zc ) を定めると， それぞれのベクトルの末尾に値が１の要素を１つ追加し − る画像上の１点を直線で結ぶと，その点はレンズの中心 一次変換に比べるとやや取り扱いが面倒である．そこで Wx 2 Wy 2 0 図 1 に示すように，実世界中の１点と，それに対応す しかしこの変換は２つの項に分かれているため，単純な Wx 2 (2) (4) ただし，この式中の定数 f は焦点距離といい，画角を表 す．つまり f が大きいと望遠レンズとなり写る範囲が この式を p ⃗2 = F p⃗ と置くことにする．また，さらに p⃗2 狭くなる（遠くのものが大きく写る）．逆に f が小さい から p ⃗3 への変換が p⃗3 = G⃗ p2 と表されるとする．こ と広角レンズとなる． のとき，これらの合成変換は行列 F と G の積により， この式は除算が含まれ，行列演算などの線形演算で取 p⃗3 = G · F p⃗ と表され，G · F もまた３行３列の行列で り扱うことが出来ないという問題がある．そこで媒介変 ∗ 大阪大学大学院 基礎工学研究科 システム創成専攻 システム科 学領域 准教授，shinsaku@sys.es.osaka-u.ac.jp *1 直線上の等間隔な点は変換後も直線上で等間隔に並び，また， 平行線は変換後も平行になるような変換． *2 1 電子システム学コースでは，３年次前期の講義「ロボット工学 Ａ」で学習する．また３年次後期の学生実験Ｂのテーマ「距離 計測」「ロボットアーム」でも実習する． ウィンドウ座標 正規化デバイス座標 視点座標 Yc y xs 世界座標 Zw (1,1) Zc ys レンズ x (-1,-1) ビューポート変換 Xc 透視変換 Yw Xw モデルビュー変換 図 1 OpenGL で用いられる座標系 数 h を用い，式 (4) を次のように表す． x f h y = 0 1 0 0 f 0 新たな変換を表す行列が掛け合わされることになる．ま X 0 0 c Yc 0 0 Zc 1 0 1 た glPushMatrix, glPopMatrix などはモデルビュー 変換行列を一時的に保存する役目を果たす．グラフィッ (5) クス描画ハードウェアには，様々な関数で指定した全て の変換が合成された結果のモデルビュー変換行列が１個 だけ設定され，これにより座標変換が行われるので，そ この３行４列の行列を透視変換行列と呼ぶ． れまでにいくつ座標変換を行ったかにかかわらず変換に この式の意味は，つぎのように考えると理解しやす 要する計算時間は変化しない． い．まず，式 (4) を分母と分子に分けて考え，割り算だ けは最後までやらずにおくことを考える．すると式 (4) 3 演習課題 の分子はそれぞれ f Xc , f Yc となり，分母は Zc で共通 以下の課題についてプログラムを作成し，そのソース である．これを順に式 (5) の第１行目から第３行目と見 コードを提出するとともに，課題３で描いた画像のスク なす．また左辺はそれぞれ hx, hy, h である．これらの リーンショット（画面のハードコピー）を添付せよ． ３つの値から x の値を求めるには，hx h ，すなわち第１行 の計算結果を第３行の計算結果で割ればいい（これが， • 課題１：ウィンドウの幅と高さ，カメラの焦点距離 分数の分母と分子の除算を実際に行うことに相当する） ． を指定すると，ビューポート変換と透視変換の行列 この割り算をやらずに延期しておくのが透視変換の行列 を計算するプログラムと，その変換を行う関数を作 表現のミソである． 成せよ． 2.4 モデルビュー変換 • 課題２：X 軸まわりの回転角と平行移動量を指定 モデルビュー変換は，アフィン変換，すなわち一次変 するとモデルビュー変換行列を作成するプログラム 換と平行移動の組み合わせにより表現できる．これは同 と，その変換を行う関数を作成せよ． 次座標変換を用いることで，４行４列の行列によって表 • 課題３：課題１と課題２で作成した関数と，前回の される．以下の式で r11 から r33 までの９個のパラメー 演習で作成した自前の直線描画プログラムを組み合 タは一次変換を表し，また tx , ty , tz は平行移動を表す． わせ，３次元空間中で定義された直線を２次元空間 r11 r21 r31 0 r12 r22 r32 0 r13 r23 r33 0 tx ty tz 1 へ変換して描画し，これにより立体的な物体（円柱， 球，グラフなど何でもよい）を描画するプログラム (6) を作成せよ（前回の課題がどうしても出来ていない 人は，第１回の演習で用いた直線を描画するプログ ラムを元にしてもよい）． ２回目の演習で述べたように，OpenGL ではモデリ ング変換と視点の変換（カメラの位置・姿勢）がモデル ビュー変換として合成され，統合的に扱われている．こ の合成変換のうち，透視変換行列に近い側（左よりの行 列）が視点の変換となる．glRotated や glTranslated などの関数を呼び出すと変換が追加される（合成され る）が，これは，既存のモデルビュー変換行列の右側から 2
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