‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫فصل پىجم‬
‫‪ِReducibility‬‬
‫دانشگاه صنعتی شریف‬
‫نیمسال اوّل ‪92-93‬‬
Reducibility
• A reduction is a way of converting one
problem to another problem in such a way
that a solution to the second problem can be
used to solve the first problem.
• If problem A reduces to problem B, we can
use a solution to B to solve A.
92-93 ‫ویمسال اوّل‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫‪Undecidable Problems‬‬
‫‪• Let‬‬
‫‪• Then we have‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
Undecidable Problems
(continued)
• Let
• Then we have
92-93 ‫ویمسال اوّل‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
Undecidable Problems
(continued)
• Let
• Then we have
92-93 ‫ویمسال اوّل‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
Undecidable Problems
(continued)
• Let
• Then we have
92-93 ‫ویمسال اوّل‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪Reduction via Computation‬‬
‫‪Histories‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪Linear Bounded Auromata‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪Decidable Problems about‬‬
‫‪LBA‬‬
‫‪• Let‬‬
‫‪• Then we have‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
Decidable Problems about
LBA
• Remember that
• Finally, we have
92-93 ‫ویمسال اوّل‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪Undecidable Problems‬‬
‫‪about LBA‬‬
‫‪• Let‬‬
‫‪• Then, we have‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
Proof:
• For a TM M and an input w we can determine
whether M accepts w by constructing a certain
LBA B and then testing whether L(B) is empty.
• The language that B recognizes comprising all
accepting computation histories for M on w.
• If M accepts w, this language contains one string
and so is nonempty. If M does not accept w, this
language is empty.
92-93 ‫ویمسال اوّل‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫‪Proof (cont.):‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
Proof (cont.)
• Now we are ready to state the reduction
of ATM to ELBA. Construct TM S that
decides ATM as follows.
92-93 ‫ویمسال اوّل‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫‪Undecidable Problems‬‬
‫‪about CFG‬‬
‫‪• Let‬‬
‫‪• Then, we have‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
Proof:
• We now describe how to use a decision procedure
for ALLCFG to decide ATM.
• For a TM M and an input w we construct a CFG G
(or PDA D) that generates all strings if and only if M
does not accept w.
• G (or PDA D) generates all strings that
1.
2.
3.
do not start with C1,
do not end with an accepting configuration, or
where some Ci does not properly yield Ci+1 under the rule
of M.
92-93 ‫ویمسال اوّل‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫‪Post Correspondence‬‬
‫)‪Problem (PCP‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪An instance of the PCP‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪Main Theorem‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪MPCP‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪Proof:‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪Part 1‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪Part 2 and 3‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪Part 4‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫)‪Example (cont.‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪Part 5‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫)‪Example (cont.‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪Part 6‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪Part 7‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪Conversion of P’ to P‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪Computable Functions‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪Mapping Reducibility‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪Theorem‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪Corollary‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪Theorem‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪Corollary‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫‪Theorem‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬
‫)‪Proof (cont.‬‬
‫وظریً زبان ٌا و ماشیه ٌا‬
‫داوشگاي صىعتی شریف‬
‫ویمسال اوّل ‪92-93‬‬