‫ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫ﻧﯿﻢﺳﺎل دوم ‪٩٣-٩٢‬‬
‫ﻣﺪرس‪ :‬ﺣﻤﯿﺪ ﺿﺮاﺑ زاده‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺳﺮی ﺷﺸﻢ‬
‫رواﺑﻂ ﺑﺎزﮔﺸﺘ و ﺗﻮاﺑ ﻣﻮﻟﺪ‬
‫زﻣﺎن ﺗﺤﻮﯾﻞ‪ ١۴ :‬اردیﺑﻬﺸﺖ‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .١‬رواﺑﻂ ﺑﺎزﮔﺸﺘ‬
‫ﺑﺮای ﻣﻘﺎدﯾﺮ زﯾﺮ راﺑﻄﻪی ﺑﺎزﮔﺸﺘ ﺑﺎ درﺟﻪی ﺛﺎﺑﺖ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪) .‬ﻧﯿﺎزی ﺑﻪ ﺣﻞ رواﺑﻂ ﻧﯿﺴﺖ‪(.‬‬
‫اﻟﻒ( راهﻫﺎی ﭘﻮﺷﺎﻧﺪن ﮐﺎﻣﻞ ﯾ‬
‫ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ‪ ١ × n‬ﺑﺎ ﺗﻌﺪادی ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﺑﺎ ﻋﺮض واﺣﺪ‪.‬‬
‫ب( راهﻫﺎی ﭘﻮﺷﺎﻧﺪن ﻧﻪ ﻟﺰوﻣﺎً ﮐﺎﻣﻞ ﯾ‬
‫ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ‪ ١ × n‬ﺑﺎ ﺗﻌﺪادی ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﺑﺎ ﻋﺮض واﺣﺪ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ )‪ f (n‬ﺗﻌﺪاد ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﯾﺎ ﻃﻮل اﯾﻦ ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ ‪ ١‬اﺳﺖ‬
‫و ﯾﺎ ﺑﯿﺶﺗﺮ از ‪ .١‬ﭘﺲ ﺳﻤﺖﭼﭗﺗﺮﯾﻦ ﺧﺎﻧﻪ ﯾﺎ ﺑﻪ ﺧﺎﻧﻪی ﺳﻤﺖ راﺳﺘﺶ ﻣﺘﺼﻞ اﺳﺖ و ﯾﺎ ﻣﺘﺼﻞ ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬در‬
‫ﺣﺎﻟﺖ اول )‪ f (n − ١‬و در ﺣﺎﻟﺖ دوم )‪ f (n − ١‬ﺣﺎﻟﺖ دارﯾﻢ‪ .‬ﭘﺲ‪:‬‬
‫)‪f (n) = ٢f (n − ١‬‬
‫ب( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ )‪ h(n‬اﯾﻦ ﺗﻌﺪاد ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺧﺎﻧﻪی ﺳﻤﺖ ﭼﭗ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﺧﺎﻧﻪ ﯾﺎ ﭘﻮﺷﺎﻧﺪه ﻧﺸﺪه ))‪h(n−١‬‬
‫ﺣﺎﻟﺖ(‪ ،‬ﯾﺎ ﺗﻮﺳﻂ ﻣﺴﺘﻄﯿﻠ ﺑﻪ ﻃﻮل ‪ ١‬ﭘﻮﺷﺎﻧﺪه ﺷﺪه ))‪ h(n − ١‬ﺣﺎﻟﺖ(‪ ،‬ﯾﺎ ﺗﻮﺳﻂ ﻣﺴﺘﻄﯿﻠ ﺑﻪ ﻃﻮل ‪ ٢‬ﭘﻮﺷﺎﻧﺪه‬
‫ﺷﺪه ))‪ h(n − ٢‬ﺣﺎﻟﺖ( و ‪ ...‬و ﯾﺎ ﺗﻮﺳﻂ ﻣﺴﺘﻄﯿﻠ ﺑﻪ ﻃﻮل ‪ n‬ﭘﻮﺷﺎﻧﺪه ﺷﺪهاﺳﺖ ))‪ h(٠‬ﺣﺎﻟﺖ(‪ .‬ﭘﺲ‪:‬‬
‫)‪h(n) = h(n − ١) + h(n − ١) + h(n − ٢) + h(n − ٣) + ... + h(١) + h(٠‬‬
‫ﺑﺎ ﻧﻮﺷﺘﻦ ﻫﻤﯿﻦ راﺑﻄﻪ ﺑﺮای )‪ h(n − ١‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ‪:‬‬
‫)‪h(n) − h(n − ١) = ٢h(n − ١) − h(n − ٢) ⇒ h(n) = ٣h(n − ١) − h(n − ٢‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٢‬ﺣﻞ راﺑﻄﻪی ﺑﺎزﮔﺸﺘ‬
‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﮐﻠ ﺣﻞ رواﺑﻂ ﺑﺎزﮔﺸﺘ ﺧﻄ ﻧﺎﻫﻤ ﻦ‪ ،‬راﺑﻄﻪی ﺑﺎزﮔﺸﺘ زﯾﺮ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫{‬
‫‪f (n) = ۶f (n − ١) − ٩f (n − ٢) + (٢n + ١)٣n+٢‬‬
‫‪f (٠) = ٢, f (١) = ٩‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬از آن ﺟﺎﯾ ﮐﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪی ﻣﺸﺨﺼﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ x٢ − ۶x + ٩ = (x − ٣)٢‬اﺳﺖ ﭘﺲ ﺟﻮاب ﻗﺴﻤﺖ ﻫﻤ ﻦ ﻣﺎ ﺑﺎﯾﺪ‬
‫ﺑﻪ ﻓﺮم ‪ (Cn + D)٣n‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬از ﻃﺮف دﯾ ﺮ ﻗﺴﻤﺖ ﻧﺎﻫﻤ ﻦ ‪ (٢n − ١)٣n‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﮐﻪ ‪ ٣‬دو ﺑﺎر رﯾﺸﻪی‬
‫ﻣﻌﺎدﻟﻪی ﻣﺸﺨﺼﻪ اﺳﺖ ﭘﺲ ﺟﻮاب ﻗﺴﻤﺖ ﻧﺎﻫﻤ ﻦ ﺑﻪ ﻓﺮم ‪ n٢ (An + B)٣n‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﺟﻮاب ﮐﻠ ﺳﻮال ﺑﺎﯾﺪ ﺑﻪ‬
‫ﻓﺮم ﺟﻤﻊ دو ﺟﻮاب ﻫﻤ ﻦ و ﻧﺎﻫﻤ ﻦ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﻓﺮم ﮐﻠ ﺟﻮاب ﺑﻪ ﺷ ﻞ ‪ (An٣ + Bn٢ + Cn + D)٣n‬اﺳﺖ‬
‫ﮐﻪ ﺑﺎ ﺟﺎیﮔﺬاری اﯾﻦ ﺟﻮاب در ﻣﻌﺎدﻟﻪ و ﺷﺮاﯾﻂ اوﻟﯿﻪ )ﻣ ﺗﻮاﻧﺴﺘﯿﻢ ﻣﻌﺎدﻻت را ﺟﺪا ﺑﺮرﺳ ﮐﻨﯿﻢ( ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪:‬‬
‫‪ f (n) = (٣n٣ + ٢٧‬ﮐﻪ اﯾﻦ ﻫﻤﺎن ﺟﻮاب ﻣﺴﺌﻠﻪ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪n٢ − ٣١‬‬
‫‪n + ۴)٣n‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪١‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٣‬ﺑﺎﮐﺘﺮیﻫﺎ‬
‫ﻫﺮ ﺑﺎﮐﺘﺮی از ﯾ ﺑﺪن اﻓﻘ ﺑﻪ ﻃﻮل ﻃﺒﯿﻌ دلﺧﻮاه و ﺗﻌﺪادی ﻧﺎﻣﻨﻔ ﭘﺎی ﻋﻤﻮدی ﺑﻪ ﻃﻮل ﻧﺎﻣﻨﻔ ﮐﻪ زﯾﺮ ﺑﺪن آن ﻗﺮار‬
‫دارﻧﺪ ﺗﺸ ﯿﻞ ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﭼﻨﺪ ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺎﮐﺘﺮی در ﺷ ﻞ زﯾﺮ آﻣﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﭼﻨﺪ ﻃﺮﯾﻖ اﯾﻦ ﺑﺎﮐﺘﺮیﻫﺎ ﻣ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﮐﻞ ﯾ‬
‫ﺳﻠﻮل ﺑﺎ ‪ m‬ﺳﻄﺮ و ‪ n‬ﺳﺘﻮن را ﺑﻪ ﻃﻮر ﮐﺎﻣﻞ ﺗﺼﺮف ﮐﻨﻨﺪ ﺑﻪ ﺷﺮﻃ ﮐﻪ ﺑﺎﮐﺘﺮیﻫﺎ روی ﻫﻢ ﻧﺒﺎﺷﻨﺪ؟‬
‫]راﻫﻨﻤﺎﯾ ‪ :‬ﭘﺎی ﺑﺎﮐﺘﺮیﻫﺎ را ﺑﺒﺮﯾﺪ و ﺑﺮای ﺳﻄﺮ اول و ﺑﺎﻗ ﺳﻄﺮﻫﺎ از دو ﻗﺴﻤﺖ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺳﻮال ‪ ١‬اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﺪ‪[.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬اﺑﺘﺪا ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ اﮔﺮ ﭘﺎی ﺑﺎﮐﺘﺮیﻫﺎ را ﻗﻄﻊ ﮐﻨﯿﻢ ﺑﻪ ﻗﻄﻌﺎت ﻣﺴﺘﻄﯿﻠ ﻣ رﺳﯿﻢ ﮐﻪ در ﺟﺪول ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪاﻧﺪ‪.‬‬
‫ﻧ ﺘﻪی ﺟﺎﻟﺐ و ﻣﻬﻢ اﯾﻦ ﺟﺎ ﻗﺮار دارد ﮐﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺎ داﺷﺘﻦ ﺑﺪﻧﻪی ﺑﺎﮐﺘﺮیﻫﺎ ﻣ ﺗﻮان ﭘﺎی ﺑﺎﮐﺘﺮیﻫﺎ را ﺑﻪ دﺳﺖ آورد‪ .‬اﯾﻦ‬
‫ﮔﻮﻧﻪ ﺗﻤﺎم ﻓﻀﺎی ﺧﺎﻟ زﯾﺮ ﻫﺮ ﺑﺎﮐﺘﺮی ﻣﺘﻌﻠﻖ ﺑﻪ ﭘﺎی آن ﺑﺎﮐﺘﺮی اﺳﺖ زﯾﺮا ﻫﯿﭻ ﺑﺎﮐﺘﺮی دﯾ ﺮی ﻧﻤ ﺗﻮاﻧﺪ اﯾﻦ ﻓﻀﺎ را‬
‫ﭘﺮ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﮐﺎﻓ اﺳﺖ ﺗﻌﺪاد راهﻫﺎی ﻗﺮار دادن ﺗﻌﺪادی ﻣﺴﺘﻄﯿﻞ اﻓﻘ در ﺻﻔﺤﻪی ‪ m × n‬ﺑﻪ ﻃﻮری ﮐﻪ ﺳﻄﺮ اول‬
‫ﭘﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺑﺮای ﺷﻤﺎردن اﯾﻦ ﻣﻘﺪار ﺳﻄﺮ اول را ﺟﺪاﮔﺎﻧﻪ و ﺑﻘﯿﻪی ﺳﻄﺮﻫﺎ را ﺟﺪا ﺣﺴﺎب ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬اﯾﻦ ﺗﻌﺪاد ﺑﺮای ﺳﻄﺮ‬
‫اول ﻣﻌﺎدل ﻗﺴﻤﺖ )اﻟﻒ( ﺳﻮال ‪ ١‬و ﺑﺮای ﺑﺎﻗ ﺳﻄﺮﻫﺎ ﻣﻌﺎدل ﻗﺴﻤﺖ )ب( ﺳﻮال ‪ ١‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﮐﺎﻓ اﺳﺖ اﯾﻦ دو‬
‫راﺑﻄﻪ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺑﺎ اﺳﺘﻘﺮا )ﯾﺎ ﺣﻞ راﺑﻄﻪی ﺑﺎزﮔﺸﺘ ( ﺑﻪ اﯾﻦ ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ رﺳﯿﻢ ﮐﻪ ﺑﺮای ﭘﺮ ﮐﺮدن ﺳﻄﺮ اول ‪ ٢n−١‬ﺣﺎﻟﺖ‬
‫دارﯾﻢ‪ .‬ﺣﺎل ﯾ ﺳﻄﺮ ﮐﻪ ﺳﻄﺮ اول ﻧﯿﺴﺖ را در ﻧﻈﺮ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ‪ .‬ﻃﺒﻖ ﻗﺴﻤﺖ )ب( ﺳﻮال ‪ ١‬ﺗﻌﺪاد ﺣﺎﻻت ﭼﻨﯿﻦ ﭘﺮ‬
‫ﮐﺮدﻧ از راﺑﻄﻪی ﺑﺎزﮔﺸﺘ )‪ h(n) = ٣h(n − ١) − h(n − ٢‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ )‪ p(x‬ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻮﻟﺪ ﻣﺮﺑﻮط‬
‫ﺑﻪ دﻧﺒﺎﻟﻪی ‪ h‬ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﭘﺲ دارﯾﻢ‪:‬‬
‫‪⇒ p(x) = ٣xp(x) − x٢ p(x) + h٠ + (h١ − ٣h٠ )x = ٣xp(x) − x٢ p(x) + ١ − x‬‬
‫‪⇒ p(x)(x٢ − ٣x + ١) = ١ − x‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪١−x‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪= ١−αx‬‬
‫‪+ ١−βx‬‬
‫) ‪(α = ٣+٢ ۵ , β = ٣−٢ ۵‬‬
‫‪⇒ p(x) = x٢ −٣x+١‬‬
‫√‬
‫√‬
‫‪⇒ A = ۵+١٠ ۵ , B = ۵−١٠ ۵‬‬
‫‪⇒ xn : p(x) = Aαn + Bβ n‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫ﭘﺲ ‪ hn‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ۵+١٠ ۵ ( ٣+٢ ۵ )n + ۵−١٠ ۵ ( ٣−٢ ۵ )n‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬از آن ﺟﺎﯾ ﮐﻪ رﯾﺸﻪی ﻣﻌﺎدﻟﻪی ﻓﯿﺒﻮﻧﺎﭼ ﯾﺎ ﻫﻤﺎن‬
‫√‬
‫‪ ١+٢ ۵‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺟﺬر ‪ α‬اﺳﺖ‪ .‬ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺑﻪ راﺑﻄﻪی ‪ hn‬و ﺟﻤﻼت ﯾ در ﻣﯿﺎن ﻓﯿﺒﻮﻧﺎﭼ ﭘ ﺑﺒﺮﯾﻢ؛ ﮔﺮﭼﻪ ﻧﯿﺎزی ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬
‫اﮐﻨﻮن ﻣ داﻧﯿﻢ ﻣﻘﺪار ﮐﻞ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ f (n) × h(n)m−١‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ ﺟﺎیﮔﺬاری ﻣﻘﺪار ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﺟﻮاب ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻣﻘﺪار زﯾﺮ‬
‫ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪:‬‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫√‬
‫‪۵ + ۵ ٣ + ۵ n ۵ − ۵ ٣ − ۵ n m−١‬‬
‫(‬
‫‪) +‬‬
‫(‬
‫) )‬
‫( ‪٢n−١‬‬
‫‪١٠‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪١٠‬‬
‫‪٢‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۴‬ﺧﺮدﺳﺎزی ﭘﻮل‬
‫‪٢‬‬
‫ﺑﻪ ﭼﻨﺪ ﻃﺮﯾﻖ ﻣ ﺗﻮان ‪ n‬رﯾﺎل را ﺑﺎ ﺳ ﻪﻫﺎی ‪ ١‬و ‪ ٢‬رﯾﺎﻟ ﺧﺮد ﮐﺮد؟ ﺑﺮای ﺗﻌﺪاد ﺧﻮاﺳﺘﻪﺷﺪه اﺑﺘﺪا ﯾ‬
‫ﺳﭙﺲ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از آن ﺳﻮال را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻮﻟﺪ ﻧﻮﺷﺘﻪ‪،‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺗﻌﺪاد ﺧﻮاﺳﺘﻪ ﺷﺪه در ﺻﻮرت ﺳﻮال ﺑﺮاﺑﺮ ﺿﺮﯾﺐ ‪ xn‬در ﻋﺒﺎرت زﯾﺮ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪١‬‬
‫‪١‬‬
‫‪+‬‬
‫‪١ − x ١ − x٢‬‬
‫اﮐﻨﻮن ﻣ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻮﻟﺪ )‪ p(x‬را ﺑﺮرﺳ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬
‫= )‪p(x) = (١ + x + x٢ + x٣ + ...)(١ + x٢ + x۴ + x۶ + ...‬‬
‫‪C‬‬
‫‪١+x‬‬
‫ﮐﻪ ﺑﺎ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪای ﻣﻘﺪﻣﺎﺗ در ﻣ ﯾﺎﺑﯿﻢ ﮐﻪ‬
‫‪١‬‬
‫‪٢‬‬
‫= ‪ A = C = ١۴ , B‬ﭘﺲ دارﯾﻢ‪:‬‬
‫‪(−١)n‬‬
‫‪۴‬‬
‫‪= ⌊ n+١‬‬
‫⌋‬
‫‪٢‬‬
‫‪+‬‬
‫‪B‬‬
‫‪(١−x)٢‬‬
‫‪+‬‬
‫‪A‬‬
‫‪١−x‬‬
‫=‬
‫‪١‬‬
‫‪١−x٢‬‬
‫‪+‬‬
‫‪١‬‬
‫‪١−x‬‬
‫= )‪p(x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪(n+١‬‬
‫) ‪n‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪+‬‬
‫‪١n‬‬
‫‪۴‬‬
‫=‬
‫‪١‬‬
‫‪۴‬‬
‫‪١+x‬‬
‫‪+‬‬
‫‪١‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪(١−x)٢‬‬
‫‪+‬‬
‫‪١‬‬
‫‪۴‬‬
‫‪١−x‬‬
‫‪xn : (p(x)) = xn :‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۵‬ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﻮﻟﺪ‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ a‬و ‪ b‬اﻋﺪادی ﺣﻘﯿﻘ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮای دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎی ‪ f‬زﯾﺮ ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﻮﻟﺪ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪ .‬ﺗﻮاﺑﻌ ﮐﻪ ﻣﻌﺮﻓ ﻣ ﮐﻨﯿﺪ ﺑﺎﯾﺪ‬
‫ﺻﺮﯾﺢ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪) .‬ﻋﺒﺎرات ﺷﺎﻣﻞ ‪ Σ‬ﻣﻮرد ﻗﺒﻮل ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪(.‬‬
‫اﻟﻒ(‬
‫‪٢|n‬‬
‫‪٢|n+١‬‬
‫ب(‬
‫{‬
‫‪a‬‬
‫= )‪f (n‬‬
‫‪b‬‬
‫{‬
‫)‪f (n) = f (n − ١) + f (n − ٢‬‬
‫‪f (٠) = a, f (١) = b‬‬
‫ﺣﻞ‪.‬‬
‫اﻟﻒ(‬
‫‪a‬‬
‫‪bx‬‬
‫‪+‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪١ − x ١ − x٢‬‬
‫= ) · · ·‪Gf = a+bx+ax٢ +bx٣ +· · · = a(١+x٢ +x۴ +· · · )+bx(١+x٢ +x۴ +‬‬
‫ب( ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ‪:‬‬
‫· · · ‪= a +bx +a٢ x٢ +‬‬
‫‪Gf‬‬
‫···‪+‬‬
‫‪+bx٢‬‬
‫‪= ٠ +ax‬‬
‫‪xGf‬‬
‫···‪+‬‬
‫‪+ax٢‬‬
‫‪x٢ Gf = ٠ +٠x‬‬
‫ﭘﺲ دارﯾﻢ‪:‬‬
‫‪a + (b − a)x‬‬
‫‪١ − x − x٢‬‬
‫= ‪Gf = xGf + x٢ Gf + a + (b − a)x ⇒ Gf‬‬
‫▷‬
‫‪٣‬‬