‫بسمه تعالی‬
‫دانشکده مهندسی کامپيوتر‬
‫صفحه ‪ 1‬از ‪2‬‬
‫درس سيگنال ها و سيستم ها‬
‫مدرس‪ :‬دکتر ربيعی‬
‫موعد تحويل‪ :‬روز امتحان ميان ترم دوم‬
‫تمرين شماره ‪7‬‬
‫پاييز ‪1932‬‬
‫استاد حل تمرین مرتبط (برای پاسخ به ابهام ها) ‪ :‬آقای فهيم نيا ‪afastronomy@gmail.com‬‬
‫‪sin⁡(4000𝜋𝑡) 2‬‬
‫)‬
‫𝑡𝜋‬
‫( = )𝑡(𝑥 را بيابيد‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫نرخ نایکویست برای سيگنال‬
‫‪.2‬‬
‫‪Upsampling‬و ‪ downsampling‬و نمونه برداری در فضای پيوسته و سيستم شکل زیر را به طور کامل (هم حوزهی زمان و هم حوزهی فوریه) شرح دهيد‪.‬‬
‫‪.3‬‬
‫سيگنال ]𝑛[𝑥 با تبدیل فوریه ی ) 𝑤𝑗 𝑒(𝑋 دارای خاصيت زیر است‪:‬‬
‫]𝑛[𝑥 = )‬
‫𝜋‬
‫‪3‬‬
‫𝜋‬
‫𝑛‬
‫‪3‬‬
‫𝑛 ‪sin‬‬
‫∞∑ ]𝑛[𝑥(‬
‫( ∗ )]𝑘‪𝑘=⁡−∞ 𝛿[𝑛 − 3‬‬
‫به ازای چه مقادیری از 𝑤 قطعا داریم‪𝑋(𝑒 𝑗𝑤 ) = 0:‬‬
‫‪.4‬‬
‫𝜋‬
‫میدانيم که سيگنال گسستهی ]𝑛[𝑥 دارای باند محدودی ميباشد به طوری که ⁡) 𝑤𝑗 𝑒(𝑋 برای ‪ |𝑤| ≥ 2‬صفر ميباشد‪ ،‬این سيگنال از یک فرستنده به یک گيرنده‬
‫مخابره ميشود اما به دليل مشکالت هوایی یکی از مقادیر سيگنال خراب ميشود‪ ،‬و میدانيم که این سيگنال خراب شده برای‪n‬های فرد میباشد‪ ،‬سيگنال اصلی را بيابيد‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫سیستم زیر برای نمونهبرداری از سیگنال )𝑡(𝑥 در نظر گرفته شده است‪ .‬سیگنال )𝑡(𝑠 مورد استفاده در این سیستم قطار ضربهای با تناوب 𝑇‪ 2‬است که‬
‫شامل دوضربه با فاصله 𝑇 ولی اندازه متفاوت از هم میباشد‪ .‬اگر سیگنال ورودی بصورت زیر تعریف شده باشد‪:‬‬
‫)𝑡𝜔(‪sin‬‬
‫𝑡𝜋‬
‫= )𝑡(𝑥‬
‫‪a=0.5‬‬
‫الف) نمودار سیگنال نمونهبرداری شده در حوزه فرکانس رسم کنید‪.‬‬
‫ب) بیشترین پهنای باند سیگنال ورودی چقدر باشد(برحسب 𝑇 ) تا بتوان از سیگنال نمونهبرداری شده سیگنال اصلی را بازیابی کرد؟‬
‫‪.6‬‬
‫سيگنال )‪ x(t‬یک سيگنال باند محدود با حداکثر فرکانس ‪333‬هرتز ميباشد‪ ،‬سيستمی طراحی کنيد که سيگنال اصلی را از سيگنال نمونه برداری شده توسط‬
‫‪𝑘−1‬‬
‫𝑘‬
‫∞∑ ⁡ = )𝑡(𝑝⁡را بيابد‪.‬‬
‫]‪−∞[𝛿 (𝑡 − 1000) − 𝛿(𝑡 − 1000‬‬
‫‪.7‬‬
‫نرخ نایکویست را برای سيگنال زیر بيابيد‪ ،‬آیا با فرکانسی کمتر از نرخ نایکویست هم ميتوان نمونه برداری کرد که سيگنال اصلی را دوباره بيابيم؟ اگر جواب مثبت هست‬
‫کمترین مقدار آن را بيان کنيدو نحوه بازبابی آن را نيز بيان کنيد و اگر جواب منفی ميباشد دليل آن را بيان کنيد‪.‬‬
‫‪.8‬‬
‫برایِ نمونهبرداری از سيگنالِ پيوستهیِ )𝑡(𝑥 که در بازهیِ ‪ ±𝜔0‬در حوزهیِ فرکانس محدود است‪ ،‬از سيگنالِ )𝑡(𝑝 که با دورهیِ تناوبِ 𝑇 متناوب است استفاده میکنيم‪.‬‬
‫سپس بر رویِ سيگنالِ )𝑡(𝑝)𝑡(𝑥 = )𝑡( 𝑝𝑥 فيلترِ پایينگذرِ ایدهآل با فرکانسِ قطعِ ‪ 𝜔0‬و بهره یِ یک ()𝜔(𝐻) اعمال میکنيم‪ .‬به ازایِ چه مقادیری از 𝑇‪𝑦(𝑡) = ،‬‬
‫)𝑡(𝑥𝜆 (برایِ یک مقدارِ 𝜆) خواهدبود؟ 𝜆 را چگونه میتوان از رویِ )𝑡(𝑝 محاسبه کرد؟‬
‫‪.9‬‬
‫فرض کنيد دو سيگنالِ )𝑡( ‪ 𝑥1‬و )𝑡( ‪ 𝑥2‬به ترتيب پهنایِ فرکانسیِ ‪ 𝜔1‬و ‪ 𝜔2‬دارند‪ .‬توضيح دهيد که برایِ نمونهبرداریِ هریک از سيگنالهایِ زیر با استفاده از قطارِ ضربه‬
‫به نحوی که سيگنال از رویِ نمونهها قابلِ بازسازی باشد‪ ،‬حدّاکثر دورهیِ تناوبِ قطارِ ضربهیِ نمونهبردار چه مقدار میتوان باشد‪.‬‬
‫الف) )‪𝑥1 (𝑡) + 𝑥1 (𝑡 − 1‬‬
‫ب) 𝑡 ‪𝑥1 (𝑡) cos 𝜔0‬‬
‫پ) )𝑡( ‪𝑥1 (𝑡) + 𝑥2‬‬
‫ت) )𝑡( ‪𝑥1 (𝑡)𝑥2‬‬
‫ث) )𝑡( ‪𝑥1 (𝑡) ∗ 𝑥2‬‬