‫ﻧﻈﺮﻳﻪ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻤﻲ ﺑﺎزيﻫﺎ‬
‫داﻧﺸﻜﺪه ﻣﻬﻨﺪﺳﻲ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ‬
‫ﺗﺎرﻳﺦ ﺗﺤﻮﻳﻞ ﭘﺎﺳﺦﻫﺎ‪ 5 :‬آﺑﺎن ‪1393‬‬
‫داﻧﺸﮕﺎه ﺻﻨﻌﺘﻲ ﺷﺮﻳﻒ‬
‫ﺗﻮﺟﻪ ‪ :‬در ﺗﻤﺎﻣﻲ ﺳﻮال ﻫﺎ ﻓﻘﻂ اﺳﺘﺮاﺗﮋي ﻫﺎي ‪ pure‬ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ اﺳﺖ و ﻧﻴﺎزي ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﻲ اﺳﺘﺮاﺗﮋي ﻫﺎي ‪ mixed‬ﻧﻴﺴﺖ‪.‬‬
‫‪ n (1‬ﻧﻔﺮ ﺑﺎزﻳﻜﻦ ﻫﺮ ﻛﺪام ﻋﺪدي ﺑﻴﻦ ‪ 1‬ﺗﺎ ‪ 100‬اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻲ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻛﺴﻲ ﻛﻪ ﺑﺮﻧﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد ‪ payoff‬ﻳﻚ و‬
‫ﺳﺎﻳﺮﻳﻦ ﺻﻔﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻧﺪ‪ .‬در ﻫﺮ ﻛﺪام از ﺣﺎﻻت زﻳﺮ ﺗﻌﺎدل ﻫﺎي ﻧﺶ را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‪.‬‬
‫)در ﻫﺮ دو ﻗﺴﻤﺖ اﮔﺮ ‪ k‬ﻧﻔﺮ ﺷﺮط ﺑﺮﻧﺪه ﺷﺪن را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺮﻧﺪه ﺑﺎ اﺣﺘﻤﺎل ﻳﻜﺴﺎن‪ ،‬ﻳﻜﻲ از آن ﻫﺎ‬
‫ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪(.‬‬
‫‪ଶ‬‬
‫اﻟﻒ‪ :‬ﺑﺮﻧﺪه ﻛﺴﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﺰدﻳﻚ ﺗﺮﻳﻦ ﻋﺪد را ﺑﻪ ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ اﻧﺘﺨﺎب ﻛﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ଷ‬‬
‫ب‪ :‬ﺑﺮﻧﺪه ﻛﺴﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻧﺰدﻳﻚ ﺗﺮﻳﻦ ﻋﺪد را ﺑﻪ ﻣﻴﺎﻧﮕﻴﻦ ﺑﻪ اﺿﺎﻓﻪ ي ‪ 1‬ﮔﻔﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪ (2‬ﺗﻌﺎدل ﻧﺶ را در ﺑﺎزي زﻳﺮ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ ﭘﺎﺳﺦ ﻫﺎ ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‪ ) .‬در ﻫﺮ ﻛﺪام ﺧﺎﻧﻪ ﻫﺎي ﺟﺪول ‪ 3‬ﻋﺪد‬
‫ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ از ﭼﭗ ﺑﻪ راﺳﺖ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از ‪ Payoff‬ﺑﺪﺳﺖ آﻣﺪه ﺑﺮاي ﺑﺎزﻳﻜﻦ ‪ ،1‬ﺑﺎزﻳﻜﻦ ‪ 2‬و‬
‫ﺑﺎزﻳﻜﻦ ‪(. 3‬‬
‫‪ (3‬ﺧﻮاﺑﮕﺎﻫﻲ ‪ n‬ﻧﻔﺮ ﺳﺎﻛﻦ دارد‪ ،‬و ﻣﺪﻳﺮ ﺧﻮاﺑﮕﺎه ﺑﺮاي ﺧﺮﻳﺪ ﻳﻚ آﺑﺴﺮد ﻛﻦ ﺑﺮاي دﺳﺘﺮﺳﻲ ﻋﻤﻮﻣﻲ اﻓﺮاد از‬
‫ﺳﺎﻛﻨﺎن درﺧﻮاﺳﺖ ﻛﻤﻚ ﻛﺮده اﺳﺖ‪ .‬ﻫﺮ ﻛﺪام از ﺳﺎﻛﻨﺎن ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﻳﻜﻲ از دو ﻋﻤﻞ را اﻧﺠﺎم دﻫﺪ‪ .‬ﻋﻤﻞ‬
‫اول ﻛﻤﻚ ﻛﺮدن ﺑﻪ ﻣﻴﺰان ‪ 1000‬ﺗﻮﻣﺎن و ﻋﻤﻞ دوم ﻛﻤﻚ ﻧﻜﺮدن اﺳﺖ‪ .‬آﺑﺴﺮد ﻛﻦ ﺗﻨﻬﺎ در ﺣﺎﻟﺘﻲ ﺧﺮﻳﺪه‬
‫ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ ‪ k‬ﻫﺰار ﺗﻮﻣﺎن ﺟﻤﻊ آوري ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ )‪ (1<K<n‬و در ﻫﻴﭻ ﺣﺎﻟﺘﻲ ﭘﻮﻟﻲ ﺑﻪ ﻛﺴﻲ ﭘﺲ داده‬
‫ﻧﻤﻲ ﺷﻮد‪ .‬ﺗﺮﺟﻴﺤﺎت اﻓﺮاد ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺑﻪ اﻳﻦ ﺷﻜﻞ اﺳﺖ ﻛﻪ در درﺟﻪ ي اول ﺑﺮاي آن ﻫﺎ ﻣﻬﻢ اﺳﺖ ﻛﻪ‬
‫‪1‬‬
‫آﺑﺴﺮد ﻛﻦ ﺧﺮﻳﺪاري ﺷﻮد و در درﺟﻪ ي ﺑﻌﺪ ﻫﻢ اﻳﻦ ﻛﻪ ﺧﻮدﺷﺎن ﻛﻤﻚ ﻧﻜﺮده ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮاي ﻣﺜﺎل از ‪4‬‬
‫ﺣﺎﻟﺖ ﻣﻤﻜﻦ ﺑﺮاي ﻫﺮ ﺷﺨﺺ ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﺑﺮاي او اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ آﺑﺴﺮد ﻛﻦ ﺧﺮﻳﺪاري ﺷﻮد و ﺧﻮدش‬
‫ﻛﻤﻚ ﻧﻜﺮده ﺑﺎﺷﻨﺪ و ﺑﺪﺗﺮﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻫﻢ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ آﺑﺴﺮد ﻛﻦ ﺧﺮﻳﺪاري ﻧﺸﻮد و او ﻛﻤﻚ ﻛﺮده ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﺗﻤﺎم ﺗﻌﺎدل ﻫﺎي ﻧﺶ ﺑﺎزي را ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ و ﺗﻌﺪاد آن ﻫﺎ را ذﻛﺮ ﻛﻨﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ (4‬در ﻳﻚ اﻧﺘﺨﺎﺑﺎت دو ﻧﺎﻣﺰد ﺷﺮﻛﺖ ﻣﻲ ﻛﻨﻨﺪ‪ .‬ﻃﻴﻒ ﺳﻴﺎﺳﻲ را ﻳﻚ ﺑﺎزه ي ]‪ [0,1‬از ﭼﭗ ﺑﻪ راﺳﺖ در ﻧﻈﺮ‬
‫ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ و ﻣﻲ داﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﻣﺮدم ﻛﺸﻮر ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻜﻨﻮاﺧﺖ در اﻳﻦ ﺑﺎزه ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻪ اﻧﺪ‪ .‬ﺑﺮ اﺳﺎس ﻣﻨﺎﺳﺒﺎت‬
‫ﺣﺰب ﻫﺎ ﻧﺎﻣﺰد ﺣﺰب ﭼﭗ ﻫﺎ ﺑﺎﻳﺪ ﻣﻮﺿﻊ ﮔﻴﺮي اي در ﺑﺎزه ي ]‪ [0,x‬اﻧﺠﺎم دﻫﺪ‪).‬ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ ‪action‬‬
‫ﻫﺎي او ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از اﻧﺘﺨﺎب ﻋﺪد ‪ y‬اي ﻛﻪ‬
‫ݔ ≤ ݕ ≤ ‪ 0‬اﺳﺖ‪ (.‬و ﺑﺮاي ﺣﺰب راﺳﺖ ﻫﻢ ﺑﺎﻳﺪ در‬
‫ﺑﺎزه ي ]‪ [x,1‬اﻧﺘﺨﺎب ﻛﻨﺪ‪ .‬در ﻧﻬﺎﻳﺖ ﻫﺮ ﻛﺲ ﺑﻪ ﻧﺎﻣﺰدي ﻛﻪ ﻣﻮﺿﻌﻲ ﻧﺰدﻳﻚ ﺗﺮ ﺑﻪ او دارد راي ﻣﻲ دﻫﺪ‪.‬‬
‫‪ Payoff‬ﻫﺎي ﻧﺎﻣﺰد ﻫﺎ ﻣﺘﻨﺎﺳﺐ ﺑﺎ راي ﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲ آورﻧﺪ اﺳﺖ )ﻧﻪ ﻓﻘﻂ ﺑﻪ ﺑﺮد و ﺑﺎﺧﺖ در‬
‫اﻧﺘﺨﺎﺑﺎت(‪ .‬ﺗﻌﺎدل ﻫﺎي ﻧﺶ ﺑﺎزي را ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻣﺨﺘﻠﻒ ‪ x‬ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ‪.‬‬
‫‪ n (5‬ﻛﺸﻮر ﺻﻨﻌﺘﻲ دﻧﻴﺎ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺑﺎزﻳﻜﻦ ﻫﺎي ﻳﻚ ﺑﺎزي در ﻧﻈﺮ ﻣﻲ ﮔﻴﺮﻳﻢ‪ .‬ﻣﺮدم ﻫﺮ ﻛﺪام ﻛﺸﻮرﻫﺎ ﺑﻪ‬
‫ﻧﺴﺒﺖ ﺗﻮﻟﻴﺪات ﺻﻨﻌﺘﻲ ﻛﺸﻮر ﺧﻮد ﺳﻮد ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻧﺪ و از ﻃﺮﻓﻲ ﺑﻪ ﻧﺴﺒﺖ ﻣﺠﻤﻮع ﺗﻮﻟﻴﺪات ﺻﻨﻌﺘﻲ‬
‫‪ n‬ﻛﺸﻮر از ﻣﻨﺎﺑﻊ زﻣﻴﻦ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲ ﺷﻮد و ﻛﺮﺑﻦ دي اﻛﺴﻴﺪ ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻣﻲ ﺷﻮد و ﺑﺎﻋﺚ ﺿﺮر رﺳﻴﺪن ﺑﻪ‬
‫ﺳﺎﻛﻨﺎن زﻣﻴﻦ ﻣﻲ ﺷﻮد‪ .‬ﻓﺮض ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ اﮔﺮ ﺗﻮﻟﻴﺪات ﺻﻨﻌﺘﻲ ﻛﺸﻮر ‪ i‬ام را ‪ pi‬در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ ﺗﺎﺑﻊ ﺳﻮد‬
‫ﻛﺸﻮر ‪ i‬ام ﺑﻪ اﻳﻦ ﺷﻜﻞ اﺳﺖ ‪௜ (100 − 2ܵ):‬݌ ‪௜ ଶ +‬݌ = ‪). ܷ௜‬در اﻳﻦ ﺟﺎ ‪ S‬ﻣﺠﻤﻮع ﺗﻮﻟﻴﺪات ﺗﻤﺎم‬
‫ﻛﺸﻮرﻫﺎﺳﺖ‪ (.‬ﻳﻚ ﺗﻌﺎدل ﻧﺶ ﻣﺘﻘﺎرن ﺑﺮاي اﻳﻦ ﺑﺎزي ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﺪ‪).‬ﻣﻨﻈﻮر از ﻣﺘﻘﺎرن اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺗﻤﺎم‬
‫ﻛﺸﻮرﻫﺎ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻣﻴﺰان ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻛﻨﻨﺪ(‪.‬‬
‫ب( ﺣﺎﻻ ﻣﺴﺎﻟﻪ ي ﻗﺒﻠﻲ را وﻗﺘﻲ ‪ n=2‬اﺳﺖ در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ .‬آﻳﺎ در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ دو ﺑﺎزﻳﻜﻦ ﻣﻲ ﺗﻮاﻧﻨﺪ ﺑﺎ‬
‫ﻫﻤﻜﺎري ﺑﺎ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ)ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﻨﻲ ﻛﻪ روي ﻣﻴﺰان ﺗﻮﻟﻴﺪي ﺗﻮاﻓﻖ ﻛﻨﻨﺪ و ﻫﺮ دو ﺑﻪ آن ﻣﻴﺰان ﺗﻮﻟﻴﺪ ﻛﻨﻨﺪ(‬
‫ﺑﻪ ﺳﻮد ﺑﻴﺸﺘﺮي از ﺳﻮدي ﻛﻪ در ﺗﻌﺎدل ﻧﺶ ﺑﺎﻻ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آورﻧﺪ ﺑﺮﺳﻨﺪ؟‬
‫‪ (6‬ﻳﻚ ﺣﺮاج درﺑﺴﺘﻪ‪ ،‬ﺣﺮاﺟﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ در آن ﺗﻤﺎم ﺷﺮﻛﺖ ﻛﻨﻨﺪﮔﺎن ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻫﻤﺰﻣﺎن ﻗﻴﻤﺘﻲ را ﺑﻪ ﺣﺮاج‬
‫ﮔﺬار ﭘﻴﺸﻨﻬﺎد ﻣﻲ ﻛﻨﻨﺪ )ﭘﺲ ﻫﻴﭻ ﺷﺮﻛﺖ ﻛﻨﻨﺪه اي ﻧﻤﻲ داﻧﺪ ﻛﻪ ﺳﺎﻳﺮﻳﻦ ﭼﻪ ﻣﻘﺪاري ﭘﻴﺶ ﻧﻬﺎد ﻣﻲ‬
‫دﻫﺪ(‪ .‬ﻣﻘﺪاري را ﻛﻪ ﻛﺎﻻ ﺑﺮاي ﺷﺨﺺ ‪ i‬ام ارزش دارد را ﺑﺎ ‪ vi‬و ﻗﻴﻤﺘﻲ ﻛﻪ ﭘﻴﺸﻨﻬﺎد ﻣﻲ دﻫﺪ را ﺑﺎ ‪bi‬‬
‫ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻣﻲ دﻫﻴﻢ‪).‬ﺑﺮاي ﺳﺎدﮔﻲ ﻓﺮض ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ‪ vi‬ﻫﺎ ﻣﺘﻤﺎﻳﺰﻧﺪ‪ (.‬در ﻧﻬﺎﻳﺖ ﻛﺎﻻ ﺑﻪ ﺷﺨﺼﻲ ﻛﻪ‬
‫ﺑﻴﺸﺘﺮﻳﻦ ﻗﻴﻤﺖ را ﭘﻴﺸﻨﻬﺎد داده اﺳﺖ ﻣﻲ رﺳﺪ‪ .‬دو ﻧﻮع ﺣﺮاج درﺑﺴﺘﻪ ي زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪:‬‬
‫• ﺣﺮاج ﻗﻴﻤﺖ اول‪ :‬ﻓﺮد ﺑﺮﻧﺪه ﺑﺎﻳﺪ ﻣﻘﺪاري ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﭘﻴﺸﻨﻬﺎد ﺧﻮد ﺑﭙﺮدازد و ﺑﺎﻗﻲ اﻓﺮاد ﭼﻴﺰي ﻧﻤﻲ‬
‫ﭘﺮدازﻧﺪ‪ Payoff .‬ﻓﺮد ﺑﺮﻧﺪه ﺑﺮاﺑﺮ ‪ vi-bi‬اﺳﺖ و ‪ payoff‬ﺳﺎﻳﺮ اﻓﺮاد ﺻﻔﺮ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫• ﺣﺮاج ﻗﻴﻤﺖ دوم‪ :‬ﻓﺮد ﺑﺮﻧﺪه ﺑﺎﻳﺪ ﻣﻘﺪاري ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ دوﻣﻴﻦ ﭘﻴﺸﻨﻬﺎد ﺑﺎﻻ را ﺑﭙﺮدازد و ﺑﺎﻗﻲ اﻓﺮاد‬
‫ﭼﻴﺰي ﻧﻤﻲ ﭘﺮدازﻧﺪ‪ Payoff .‬ﻓﺮد ﺑﺮﻧﺪه ﺑﺮاﺑﺮ } ‪௜ − max௝ஷ௜ {ܾ௝‬ݒ اﺳﺖ و ‪ payoff‬ﺳﺎﻳﺮ اﻓﺮاد‬
‫ﺻﻔﺮ اﺳﺖ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( اﻳﻦ اﺳﺘﺮاﺗﮋي را ﻛﻪ ﻫﺮ ﻛﺴﻲ ﻗﻴﻤﺘﻲ ﻣﻌﺎدل ﺑﺎ ارزش ﻛﺎﻻ ﺑﺮاي ﺧﻮدش را ﭘﻴﺸﻨﻬﺎد دﻫﺪ ) ‪( bi=vi‬‬
‫در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ‪ .‬ﺑﺮرﺳﻲ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ آﻳﺎ اﻳﻦ اﺳﺘﺮاﺗﮋي در ﻫﺮ ﻳﻚ از دو ﻧﻮع ﺣﺮاج ﺑﺎﻻ ﺗﻌﺎدل ﻧﺶ ﻫﺴﺖ ﻳﺎ‬
‫ﺧﻴﺮ‪.‬‬
‫ب( ﺛﺎﺑﺖ ﻛﻨﻴﺪ در ﻫﺮ ﺗﻌﺎدل ﺣﺮاج ﻗﻴﻤﺖ اول ﻫﻤﻴﺸﻪ ﻓﺮدي ﻛﻪ ﻛﺎﻻ‪ ،‬ﺑﻴﺸﺘﺮﻳﻦ ارزش را ﺑﺮاي او دارد‬
‫ﺑﺮﻧﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد‪.‬‬
‫ج( ﺑﺮاي ﺣﺮاج ﻗﻴﻤﺖ دوم ﺗﻌﺎدل ﻧﺸﻲ ﺑﻴﺎﺑﻴﺪ ﻛﻪ در آن ﻓﺮدي ﻛﻪ ﻛﺎﻻ‪ ،‬ﺑﺮاي او ﺑﻴﺶ ﺗﺮﻳﻦ ارزش را دارد‬
‫ﺑﺮﻧﺪه ﻧﻤﻲ ﺷﻮد‪.‬‬
‫‪3‬‬