‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری پنجم‬
‫بهنام بخشنده دانایی‬
‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری پنجم‬
‫مدرس‪ :‬آبام‬
‫دستیار آموزشی‪ :‬یزدانبد‪ ،‬شاه محمدی‬
‫مسألهی اول‪.‬‬
‫زیرمجموعه ای از اعداد طبیعی به نام ‪ A‬را در نظر بگیرید‪ .‬میدانیم از بین هر ‪ ۱۰۰‬عدد صحیح متوالی‪ ،‬حداقل یک عدد عضو مجموعه ‪ A‬است‪.‬‬
‫ثابت کنید ‪ ۴‬عدد مانند ‪ x, y, z, w‬در ‪ A‬وجود دارند که ‪.x + y = z + w‬‬
‫مسئله دوم‪.‬‬
‫‪ ۲۰۰۰‬نفر در یک کنفرانس شرکت کردهاند‪ .‬میدانیم هر شخص حداکثر می تواند با ‪ ۵‬زبان مختلف صحبت کند و در هر جمع ‪ ۳‬نفره‪ ۲ ،‬نفر‬
‫میتوانند با یک زبان یکسان با هم صحبت کنند‪ .‬ثابت کنید زبانی وجود دارد که حداقل ‪ ۲۰۱‬نفر میتوانند با آن صحبت کنند‪.‬‬
‫مسئله سوم‪.‬‬
‫‪ ۲۱‬پسر و ‪ ۲۱‬دختر در یک مسابقه ریاضی شرکت کردهاند‪ .‬میدانیم این مسابقه شامل ‪ ۶‬مسئله بوده و هر زوج دختر و پسر حتما یک مسئله‬
‫مشترک حل کردهاند‪ .‬ثابت کنید مسئلهای وجود دارد که حداقل ‪ ۳‬پسر و ‪ ۳‬دختر آن را حل کرده باشند‪.‬‬
‫مسئله چهارم‪.‬‬
‫به چند روش میتوان یک جدول ‪ ۱۰*۱۵‬را با اعداد ‪ ۰‬و ‪ ۱‬پر کرد‪ ،‬به طوری که مجموع اعداد هر ‪ ۴‬خانه متوالی )سطری یا ستونی(‪ ،‬زوج‬
‫باشد؟‬
‫مسئله پنجم‪.‬‬
‫ثابت کنید تعداد مقسومالیه های مثبت عدد ‪ ،n‬عددی فرد است‪ ،‬اگر و تنها اگر ‪ n‬مربع عددی طبیعی باشد‪.‬‬
‫مسئله ششم‪.‬‬
‫مجموعه ‪ X‬شامل ‪ n‬عدد طبیعی داده شده است‪ .‬تعداد زوج های مرتب )‪ (A, B‬از زیر مجموعه های ‪ X‬را پیدا کنید‪ ،‬به طوری که ‪ A‬زیر‬
‫مجموعه ‪ B‬باشد و ‪.A ≠ B‬‬
‫درس ساختمانهای گسسته‬
‫تمرین سری پنجم‬
‫مسئله هفتم‪.‬‬
‫در چند جایگشت از ‪ ۲۶‬حرف الفبای انگلیسی‪ ،‬حروف ‪ a‬و ‪ b‬مجاورند و بین حروف ‪ a‬و ‪ c‬دقیقا ‪ ۵‬حرف فاصله است؟‬
‫مسئله هشتم‪.‬‬
‫تعداد دنباله های ‪ A1, A2, … , An‬را پیدا کنید‪ ،‬به طوری که ‪ Ai‬ها زیر مجموعه }‪ {1, 2, …, n‬باشند و‬
‫࢔‬
‫‪ራ ࡭࢏ = ሼ૚, ૛, … , ࢔ሽ‬‬
‫‪࢏ୀ૚‬‬
‫مسئله نهم‪.‬‬
‫میخواهیم از نقطه )‪ (۰،۰‬محور مختصات به نقطه )‪ (۵،۶‬برویم‪ .‬در هر حرکت میتوانیم یک واحد به سمت باال یا سمت راست حرکت کنیم‪.‬‬
‫تعداد مسیر هایی که از نقطه )‪ (۳،۴‬نمیگذرند چند تاست؟‬
‫مسئله دهم‪.‬‬
‫یک جمع ‪ ۶‬نفره را در نظر بگیرید‪ .‬می دانیم در این جمع هر دو نفر یا هر دو با هم آشنا هستند‪ ،‬یا هیچ یک دیگری را نمی شناسد‪ .‬ثابت کنید‬
‫یا ‪ ۳‬نفر وجود دارند که دو به دو همدیگر را می شناسند‪ ،‬یا دو نفر وجود دارند که هیچ یک دیگری را نمی شناسد‪.‬‬
‫»موفق باشید!«‬