‫نامخدا ‌‬
‫به ‌‬
‫‌‬
‫‌تمرین‌سری‌اول ‌‬
‫مدرس‪:‬دکتر‌آبام‬
‫‌ساختمان‌های‌گسسته‬
‫‌دستیار‌آموزشی‪‌:‬آریو‌سلماسی ‌‬
‫سوال‌‪‌ .1‬‬
‫الف)‌‪‌‌2p – 1‬عددی‌اول‌است‪‌.‬ثابت‌کنید‌‪‌p‬عددی‌اول‌است‪‌ .‬‬
‫ب)‌‪‌2p + 1‬عددی‌اول‌است‪‌.‬ثابت‌کنید‌‪‌،‌p‬توانی‌از‌‪‌2‬است‪‌ .‬‬
‫‌‬
‫سوال‌‪‌ .2‬‬
‫فرض‌کنید‌‪‌p‬عددی‌اول‌به‌فرم‌‪‌4k+3‬باشد‪‌.‬اگر‌‪‌x‬و‌‪‌y‬دو‌عدد‌طبیعی‌باشند‌به‌طوری‌که‌‪‌x2 + y2‬بر‌‪‌p‬بخشپذیر‌‬
‫باشد‪‌،‬ثابت‌کنید‌که‌‪‌x‬و‌‪‌y‬هر‌دو‌بر‌‪‌p‬بخشپذیر‌هستند‪(‌.‬راهنمایی‌‪‌:‬از‌قضیه‌فرما‌استفاده‌کنید‪‌ ).‬‬
‫‌‬
‫سوال‌‪‌ .3‬‬
‫ثابت‌کنید‌معادله‌زیر‌در‌مجموعه‌اعداد‌طبیعی‌جوابی‌ندارد‪:‬‬
‫‪X16 + Y16 + Z16 = 13912012‬‬
‫سوال‌‪‌ .4‬‬
‫فرض‌کنید‌‪‌n‬عددی‌طبیعی‌باشد‪‌.‬اگر‌‪‌،‌m = 3n‬ثابت‌کنید‌که‌‪‌2m + 1‬بر‌‪‌3n+1‬بخشپذیر‌است‪‌ .‬‬
‫‌‬
‫سوال‌‪‌ .5‬‬
‫به‌ازای‌هر‌عدد‌طبیعی‌‪‌n‬ثابت‌کنید‌عدد‌طبیعی‌‪‌m‬وجود‌دارد‌که‌فقط‌از‌ارقام‌‪‌3‬و‌‪‌0‬تشکیل‌شده‌باشد‌و‌‪‌m‬بر‌‪‌n‬‬
‫بخشپذیر‌باشد‪‌ .‬‬
‫‌‬
‫نامخدا ‌‬
‫به ‌‬
‫‌‬
‫‌تمرین‌سری‌اول ‌‬
‫مدرس‪:‬دکتر‌آبام‬
‫‌ساختمان‌های‌گسسته‬
‫‌دستیار‌آموزشی‪‌:‬آریو‌سلماسی ‌‬
‫سوال‌‪‌ .6‬‬
‫الف)‌اگر‌‪‌n‬عددی‌طبیعی‌بزرگتر‌از‌‪‌2‬باشد‪‌،‬ثابت‌کنید‌حداقل‌یک‌عدد‌اول‌بین‌‪‌n‬و‌!‪‌n‬وجود‌دارد‪‌ .‬‬
‫ب)‌ثابت‌کنید‌تعداد‌اعداد‌اول‌نامتناهی‌است‪‌ .‬‬
‫سوال‌‪‌ .7‬‬
‫آیا‌اعداد‌طبیعی‌‪‌a,b,c‬بزرگتر‌از‌‪‌1‬وجود‌دارند‌به‌طوری‌که‌روابط‌زیر‌همزمان‌برقرار‌باشند‪‌ :‬‬
‫‪a|b2 – 1‬‬
‫‪a|c2 – 1‬‬
‫‪b|a2 – 1‬‬
‫‪b|c2 – 1‬‬
‫‪c|a2 – 1‬‬
‫‪c|b2 – 1‬‬
‫سوال‌‪‌ .8‬‬
‫بازی‌نظریه‌اعداد!‌آریو‌و‌دوستش‌نوید‪‌،‬یک‌بازی‌نظریه‌اعدادی‌انجام‌میدهند‪‌.‬آریو‌یک‌عدد‌طبیعی‌‪‌n<1000‬انتخاب‌‬
‫میکند‪‌.‬نوید‌سعی‌میکند‌که‌عدد‌انتخابی‌آریو‌را‌حدس‌بزند‪‌.‬در‌هر‌مرحله‌او‌دو‌عدد‌طبیعی‌متمایز‌‪‌a,b <2000‬را‌‬
‫انتخاب‌کرده‌و‌به‌آریو‌میگوید‪‌.‬آریو‌در‌جواب‪‌،‬ب‪.‬م‪.‬م‌دو‌عدد‌‪‌a , b+n‬را‌به‌نوید‌میگوید‪‌.‬ثابت‌کنید‌نوید‌میتواند‌بعد‌‬
‫از‌‪‌11‬مرحله‪‌،‬عدد‌مورد‌نظر‌آریو‌را‌پیدا‌کند‪‌ .‬‬
‫نامخدا ‌‬
‫به ‌‬
‫‌‬
‫‌تمرین‌سری‌اول ‌‬
‫مدرس‪:‬دکتر‌آبام‬
‫‌ساختمان‌های‌گسسته‬
‫‌دستیار‌آموزشی‪‌:‬آریو‌سلماسی ‌‬
‫سوال‌‪‌ .9‬‬
‫ثابت‌کنید‌معادله‌زیر‌در‌مجموعه‌اعداد‌طبیعی‌جوابی‌ندارد‪‌ :‬‬
‫‪n2 – 5m2 – 2 = 0‬‬
‫سوال‌‪‌ .11‬‬
‫فرض‌کنید‌دو‌عدد‌طبیعی‌‪‌a‬و‌‪‌b‬این‌خاصیت‌را‌دارند‌که‌میتوان‌هر‌کدام‌را‌به‌صورت‌مجموع‌مربع‌های‌دو‌عدد‌‬
‫صحیح‌نوشت‪‌.‬ثابت‌کنید‌عدد‌‪‌ab‬نیز‌این‌خاصیت‌را‌دارد‪‌ .‬‬
‫‌‬
‫سوال‌‪‌ .11‬‬
‫ثابت‌کنید‌به‌ازای‌هر‌عدد‌طبیعی‌‪‌8n+1 + 92n-1‌،n‬بر‌‪‌73‬بخشپذیر‌است‪‌ .‬‬
‫‌‬
‫سوال‌‪‌ .12‬‬
‫الف)‌همه‌اعداد‌طبیعی‌‪‌n‬را‌پیدا‌کنید‌به‌طوری‌که‌‪‌n4 + 1‬عددی‌اول‌باشد‪‌ .‬‬
‫ب)‌همه‌اعداد‌اول‌‪‌p‬را‌پیدا‌کنید‌به‌طوری‌که‌‪‌p2 + 2p‬عددی‌اول‌باشد‪‌ .‬‬
‫‌‬
‫سوال‌‪‌ .13‬‬
‫گزاره‌زیر‌را‌ثابت‌یا‌رد‌کنید‪‌ :‬‬
‫گزاره‪‌:‬فرض‌کنید‌ ‪i‌،Pi‬امین‌عدد‌اول‌باشد‪‌.‬در‌این‌صورت‌‪‌P1.P2.P3....Pn + 1‬به‌ازای‌هر‌عدد‌طبیعی‌‪‌،n‬عددی‌اول‌‬
‫است‪‌ .‬‬
‫نامخدا ‌‬
‫به ‌‬
‫‌‬
‫‌تمرین‌سری‌اول ‌‬
‫مدرس‪:‬دکتر‌آبام‬
‫‌ساختمان‌های‌گسسته‬
‫‌دستیار‌آموزشی‪‌:‬آریو‌سلماسی ‌‬
‫سوال‌‪‌ .14‬‬
‫‌فرض‌کنید‌‪‌m‬عددی‌طبیعی‌بزرگتر‌از‌‪‌1‬باشد‪‌a‌.‬و‌‪‌b‬و‌‪‌c‬اعداد‌طبیعی‌هستند‌به‌طوری‌که‌‪‌ :‬‬
‫‪(‌ab=bc‬به‌پیمانه‌‪‌ )‌m‬‬
‫اگر‌)‪‌d = gcd(m,c‬ثابت‌کنید‌که‌‪‌ :‬‬
‫‪(‌a=b‬به‌پیمانه‌‪‌ )m/d‬‬
‫سوال‌‪‌ .15‬‬
‫تمام‌اعداد‌طبیعی‌‪‌a‬را‌چنان‌بیابید‌به‌طوری‌که‌)‪‌ 4(an + 1‬به‌ازای‌هر‌عدد‌طبیعی‌‪‌،n‬مکعب‌کامل‌باشد‪.‬‬
‫**********************‬
‫‌‬
‫‪ ‬اگر‌هر‌گونه‌ابهام‌یا‌مشکل‌در‌مورد‌تمرین‌داشتید‪‌،‬به‌آدرس‌زیر‌بفرستید‪‌ ‌.‬‬
‫‪ario.salmasi@gmail.com‬‬
‫‌‬