‫ساختمانهای‌گسسته‬
‫‌‬
‫تمرین‌سری‌هفتم‬
‫روابط‌بازگشتی‬
‫استاد‪‌:‬دکتر‌آبام‬
‫دستیار‌آموزشی‪‌:‬آرین‌اربابی‬
‫رشتههایی‌را‌پیدا‌کنید‌که‌تنها‌از‌‪‌3‬حرف‌}‬
‫به‌صورت‌یک‌رابطهی‌بازگشتی‌تعداد‌ ‌‬
‫‌‬
‫‪-1‬‬
‫{‌تشکیل‌شده‌اند‌و‌هیچ‌دو‌حرف‌ ‌‬
‫مجاوری‌ندارند‪‌.‬‬
‫ی‌بازگشتی‌تعداد‌رشتههایی‌را‌پیدا‌کنید‌که‌تنها‌از‌‪‌3‬حرف‌}‬
‫‌‬
‫‌‬
‫به‌صورت‌یک‌رابطه‬
‫‪-2‬‬
‫{‌تشکیل‌شده‌اند‌و‌حداقل‌‪‌2‬حرف‌‬
‫یکسان‌مجاور‌دارند‪‌.‬‬
‫‪ -3‬می‌خواهیم‌ ‌ سکه‌را‌دو‌ردیف‌بچینیم‌به‌گونه‌ای‌که‌هر‌سکه‌در‌ردیف‌باال‌دقیقا‌با‌دو‌سکه‌در‌ردیف‌پایین‌در‌تماس‌باشد‪‌.‬تعداد‌‬
‫ی‌انجام‌این‌کار‌را‌به‌صورت‌رابطهای‌بازگشتی‌به‌دست‌بیاورید‪.‬‬
‫‌‬
‫راهها‬
‫‌‬
‫‪ -4‬فرض‌کنید‌ ‌عددی‌ ‌رقمی‌متشکل‌از‌ارقام‌‪‌1‬و‌‪‌2‬باشد‌و‌‬
‫حذف‌‬
‫‌را‌برابر‌تعداد‌اعداد‌ ‌رقمی‌تریف‌می‌کنیم‌که‌با‌‬
‫‪‌.‬‬
‫شروع‌میشوند‌را‌نیز‌در‌نظر‌بگیرید‪‌).‬‬
‫‌‬
‫حاصل‌میشود‪(‌.‬اعدادی‌که‌با‌رقم‌‪‌0‬‬
‫‌‬
‫‌رقم‌از‌آنها‌عدد‌ ‌‬
‫‌را‌به‌‬
‫صورت‌رابطهای‌بازگشتی‌به‌دست‌بیاورید‪.‬‬
‫‌‬
‫‪ -5‬فرض‌کنید‌‬
‫میتوان‌بوجود‌آورد‪‌.‬‬
‫حداکثر‌تعداد‌ناحیههایی‌از‌صفحه‌باشد‌که‌از‌تقاطع‌ ‌بیضی‌در‌صفحه‌ ‌‬
‫‌‬
‫‌‬
‫‌را‌به‌‬
‫صورت‌یک‌رابطهی‌بازگشتی‌بدست‌آورید‪.‬‬
‫‌‬
‫‪ -6‬فرض‌کنید‌‬
‫های‌گذاشتن‌سکه‌در‌خانههای‌یک‌جدول‌‬
‫‌‬
‫‌‬
‫تعداد‌راه‬
‫‌‬
‫(مجاوری‌ضلعی)‌سکه‌قرار‌نگرفته‌باشد‪‌.‬‬
‫‪ -7‬فرض‌کنید‌‬
‫‌را‌به‌صورت‌یک‌رابطه‌بازگشتی‌به‌دست‌بیاورید‪.‬‬
‫‌تعداد‌اعداد‌ ‌رقمی‌متشکل‌از‌ارقام‌‪‌4‌،3‌،2‌،1‬و‌‪‌5‬باشد‌که‌هر‌دو‌رقم‌مجاور‌از‌این‌اعداد‌دقیقا‌یک‌واحد‌‬
‫اختالف‌دارند‪‌.‬رابطهی‌بازگشتی‌‬
‫‌‬
‫‪ -8‬فرض‌کنید‌‬
‫باشد‌به‌طوری‌که‌در‌هیچ‌دو‌خانهی‌مجاوری‌‬
‫‌‬
‫‌‬
‫‌را‌به‌دست‌بیاورید‪.‬‬
‫تعداد‌راههای‌پوشاندن‌جدولی‌‬
‫‌‬
‫‌‬
‫با‌موزاییکهای‌‬
‫‌‬
‫‌‬
‫باشد‪‌.‬رابطهی‌بازشگتی‌‬
‫‌‬
‫‌‬
‫‌را‌به‌دست‌‬
‫بیاورید‪.‬‬
‫ای‌از‌بازی‌برجهای‌هانوی‌را‌در‌نظر‌بگیرید‌که‌‪‌3‬میله‌داریم‌و‌‬
‫‌‬
‫‌‬
‫نسخه‬
‫‪-9‬‬
‫های‌با‌شمارهی‌فرد‌به‌ترتیب‌‬
‫‌‬
‫‌‬
‫دیسک‬
‫‌دیسک‌به‌طوری‌که‌‬
‫قرار‌دارند‪‌.‬در‌هیچ‌مرحلهای‌نباید‌دیسکی‌با‌‬
‫‌‬
‫ی‌شمارهی‌‪‌2‬‬
‫‌‬
‫‌‬
‫ی‌زوج‌به‌ترتیب‌در‌میله‬
‫‌‬
‫های‌با‌شماره‬
‫‌‬
‫و‌دیسک‬
‫در‌میلهی‌شماره‌‪‌1‬‬
‫‌‬
‫برای‌جابهجا‌کردن‌تمام‌این‌‬
‫‌‬
‫ی‌کمتر‌روی‌دیسکی‌با‌شمارهی‌بیشتر‌قرار‌بگیرد‪‌.‬اگر‌حداقل‌تعداد‌حرکات‌الزم‌‬
‫‌‬
‫ش ‌‬
‫ماره‬
‫میله‌شماره‌‪‌3‬‬
‫‪ -11‬فرض‌کنید‌‬
‫باشد‪‌،‬رابطهی‌بازگشتی‌‬
‫‌‬
‫‌‬
‫‌دیسک‌به‌‬
‫‌را‌حساب‌کنید‪.‬‬
‫بزرگترین‌مقسومعلیه‌فرد‌عدد‌طبیعی‌ ‌باشد‌و‌داشته‌باشیم‪:‬‬
‫‌‬
‫‌‬
‫∑‬
‫رابطهی‌بازگشتی‌‬
‫‌‬
‫‌را‌به‌دست‌بیاورید‌و‌سپس‌فرم‌صریح‌آن‌را‌حساب‌کنید‪.‬‬
‫‌‬
‫رابطهی‌صریح‌روابط‌بازگشتی‌زیر‌را‌به‌دست‌بیاورید‪:‬‬
‫‌‬
‫‪-11‬‬
‫الف)‌‬
‫با‌شرایط‌اولیهی‌‬
‫‌‬
‫ب)‌‌‬
‫با‌شرایط‌اولیهی‌‬
‫‌‬
‫ج)‌‬
‫با‌شرایط‌اولیهی‌‬
‫‌‬
‫د)‌‬
‫‌‬
‫) √(‬
‫‌‬
‫با‌شرایط‌اولیهی‌‬
‫‌‬
‫‌‬
‫‌‬
‫∑‬
‫به‌دنبالهی‌اعدادی‌که‌به‌صورت‌‬
‫‌‬
‫‪-12‬‬
‫بازگشتی‌با‌شرط‌اولیهی‌‬
‫‌‬
‫شود‌تنها‌جواب‌این‌رابطهی‌‬
‫‌‬
‫‌‬
‫گویند‪‌.‬ثابت‌می‬
‫‌‬
‫تاالن‌می‬
‫‌باشند‌اعداد‌کا‬
‫‌برابر‌است‌با‌) (‬
‫ی‌بازگشتی‌هر‌یک‌از‌مسائل‌زیر‌به‌صورت‌اعداد‌کاتاالن‌میباشد‪‌.‬‬
‫‌‬
‫‌‬
‫نشان‌دهید‌رابطه‬
‫الف)‌‬
‫ب)‌‬
‫تعداد‌توابع‌صعودی‌به‌صورت‌}‬
‫ها‌مثلثبندی‌یک‌‬
‫‌‬
‫‌‬
‫تعداد‌راه‬
‫‌‬
‫{‬
‫{‬
‫}‬
‫‌به‌طوری‌که‌به‌ازای‌هر‌‬
‫ی‌قطرهای‌غیر‌متقاطعش‪‌.‬‬
‫‌‬
‫‌‬
‫بوسیله‬
‫‌ضلعی‌محدب‌‬
‫‌‬
‫***‌‬
‫دربارهی‌این‌تمرین‌از‌طریق‌آدرس‌زیر‌اطالع‌دهید‪‌:‬‬
‫لطفا‌در‌صورت‌وجود‌ابهام‌یا‌مشکل‌ ‌‬
‫‪aryan.arbabi@gmail.com‬‬
‫‪‌،‬‬
‫‪‌.‬‬