6
.1
‫‪-2‬‬
‫اولين و مهمترين کار ما ‪ :‬تعيين بازه ها‬
‫حال بايستي اقدام به تعيين بازه انتگرال براي هر کدام از احتماالت تجمعي باال بکنيم و‬
‫سپس نيز انتگرال هر يک را محاسبه نماييم‪.‬‬
‫}𝑌 ≥ 𝑋 ‪𝑃{𝑋 − 𝑌 ≤ 𝑟,‬‬
‫‪X−r≤Y≤X‬‬
‫‪𝑟≤𝑥≤1‬‬
‫‪0≤𝑟≤1‬‬
𝑃{𝑌 − 𝑋 ≤ 𝑟, 𝑌 ≥ 𝑋}
0≤X≤Y≤X+r≤1
0≤𝑋 ≤1−𝑟
0≤𝑟≤1
‫نکته اي که بايد به آن در حل باال توجه داشته باشيد اين است که تابع چگالي در هر يک‬
‫از دو احتمال تجمعي برابر ‪ 2‬مي باشد‪(.‬علت آن در کالس حل تمرين قبلي توضيح داده‬
‫شده است)‬
‫‪-3‬‬
‫در حل باال به منظور رسيدن به تابع چگالي از تابع تجمعي مستقيما از انتگرال آن مشتق‬
‫گرفته شد‪.‬اين کار ميتواند زمان رسيدن به مساله را کاهش دهد و کار شما را ساده تر‬
‫نمايد‪.‬‬
‫براي يادگيري اين روش که به قاعده اليب نيتز معروف است مي توانيد از منابع موجود‬
‫در اينترنت استفاده کنيد‪.‬‬
‫بديهي است که همواره مي توانيد از روش کالسيک استفاده نماييد و اين روش در واقع‬
‫نوعي ميانبر به منظور سادگي کار است‪.‬‬
‫خالصه اين قاعده ‪:‬‬
‫‪-4‬‬
‫ياد آوري از کتاب درسي ‪:‬‬
‫مرور يکي از مثال هاي کتاب درسي ‪:‬‬
‫راه حل گام به گام ‪:‬‬
‫𝑧 ‪𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 𝑧 => −√𝑦 2 − 𝑧 ≤ 𝑥 ≤ √𝑦 2 −‬‬
‫𝑧√ ≤ 𝑦 ≤ 𝑧√‪𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 𝑧 => 𝑥 2 ≤ −𝑦 2 + 𝑧 => −‬‬
‫‪(𝑦−𝜇)2‬‬
‫𝑦𝑑𝑥𝑑 ) ‪2𝜎2‬‬
‫‪−‬‬
‫𝑒‬
‫‪(𝑦 )2‬‬
‫𝑦𝑑𝑥𝑑 ) ‪2𝜎2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫𝜎𝜋‪√2‬‬
‫𝑒‬
‫‪1‬‬
‫‪(𝑥−𝜇)2‬‬
‫( ) ‪2𝜎2‬‬
‫‪(𝑥)2‬‬
‫( ) ‪2𝜎2‬‬
‫𝜎𝜋‪√2‬‬
‫‪−‬‬
‫𝑒‬
‫‪−‬‬
‫𝑒‬
‫‪1‬‬
‫𝜎𝜋‪√2‬‬
‫‪1‬‬
‫𝜎𝜋‪√2‬‬
‫𝑧‪√𝑦 2 −‬‬
‫(‬
‫(‬
‫∫‬
‫𝑧√‬
‫∫‬
‫𝑧‪−√𝑦 2 −‬‬
‫𝑧√ ‪−‬‬
‫𝑧‪√𝑦 2 −‬‬
‫𝑧√‬
‫∫‬
‫𝑧‪−√𝑦 2 −‬‬
‫𝑧‪√𝑦 2 −‬‬
‫∫‬
‫𝑧√ ‪−‬‬
‫‪𝑥 2 +𝑦 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫𝑦𝑑𝑥𝑑) ‪2𝜎2‬‬
‫∫ ∫‬
‫(‬
‫𝑒‬
‫‪2‬‬
‫𝜎𝜋‪−√𝑧 −√𝑦 2 −𝑧 2‬‬
‫𝑧√‬
‫از آنجايي که ما مي خواهيم تابع چگالي را داشته باشيم بايد از تابع احتمال تجمعي باال‬
‫نسبت به ‪ z‬مشتق بگيريم‪.‬قضيه اليب نيتز مي تواند به ما در اين امر کمک کند‪.‬‬
‫و در نهايت‬
‫مي رسيم‪.‬به منظور حل بهتر مساله از تغيير متغير 𝜃𝑛𝑖𝑠 𝑧√ = 𝑦 استفاده کرده ايم‪.‬‬
‫حال به بررسي سوال خودمان مي پردازيم ‪‬‬
‫‪-5‬‬
‫قبل از حل اين سوال به مثال ‪ 22-6‬کتاب مراجعه کنيد‪.‬‬
-6
2𝑎 − (2 + 1)
2𝑎 − 3
𝑃(2𝑋 + 𝑌 < 2𝑎) = 𝑃 (𝑍 <
) = 𝜙(
)
5
√16 + 9
5𝑎 − (4 − 2)
5𝑎 − 2
) = 𝑃 (𝑧 >
)
10
√64 + 36
5𝑎 − 2
2 − 5𝑎
= 1−𝜙(
) = 𝜙(
)
10
10
𝑃(4𝑋 − 2𝑌 > 5𝑎 ) = 𝑃 (𝑍 >
2𝑎 − 3 2 − 5𝑎
8
=
=> 4𝑎 − 6 = 2 − 5𝑎 => 𝑎 =
5
10
9
‫‪-7‬‬
‫براي سادکي متغير هاي تصادفي را ‪ +‬در نظر ميگيريم‪(.‬در صورت سوال جا افتاده بود)‬
‫‪-8‬‬