‫ﺑﻪ ﻧﺎم ﺧﺪا‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﺳﯿ ﻨﺎلﻫﺎ و ﺳﯿﺴﺘﻢﻫﺎ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺳﺮی دوم‬
‫ﻣﻬﻠﺖ ﺗﺤﻮﯾﻞ‪ ٢۴ :‬اﺳﻔﻨﺪ ‪ ١٣٩۴‬ﺳﺎﻋﺖ ‪ ١٢‬ﻇﻬﺮ‬
‫ﭼﻨﺪ ﻧﮑﺘﻪ‪:‬‬
‫• ﺗﻤﺮﯾﻨﺎت ﺗﺌﻮری را ﺑﺮ روی ﮐﺎﻏﺬ در ﻣﻬﻠﺖ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﺷﺪه ﺗﺤﻮﯾﻞ ﺑﺪﻫﯿﺪ ‪ .‬ﺗﺤﻮﯾﻞ ﺑﺎ ﺗﺎﺧﯿﺮ ﺗﺎ ﻗﺒﻞ از ﮐﻼس ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ‬
‫ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ از ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ در ﮐﻼس‪ ،‬ﺗﻤﺮﯾﻨ ﺗﺤﻮﯾﻞ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻧﻤ ﺷﻮد‪ .‬ﻫﺮ داﻧﺸﺠﻮ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ در ﮐﻞ ﺗﺮم ﺳﻪ‬
‫ﺑﺎر ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺗﺌﻮری ﺧﻮد را ﺑﺎ ﺗﺎﺧﯿﺮ ﺗﺎ ﻗﺒﻞ از ﮐﻼس ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺑﺪون ﮐﺴﺮ ﻧﻤﺮه ﺗﺤﻮﯾﻞ دﻫﺪ و ﺑﯿﺶ از اﯾﻦ ﺗﻌﺪاد‪،‬‬
‫ﺗﺎﺧﯿﺮ ﻣﺤﺴﻮب ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬
‫• ﻫﻤﻔﮑﺮی راه ﺧﻮﺑﯽ ﺑﺮای ﭘﯿﺪا ﮐﺮدن ﺷﻬﻮد ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺴﺎﻳﻞ اﺳﺖ اﻣﺎ ﻧﻬﺎﯾﺘﺎ ﺧﻮدﺗﺎن راه ﺣﻞ را ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪ .‬از ﺗﻘﻠﺐ‬
‫ﮐﺮدن ﺑﭙﺮﻫﯿﺰﯾﺪ‪ .‬ﻃﺒﻖ ﺳﯿﺎﺳﺖ ﮐﻠ ﮐﻼس درﻣﻮرد ﺗﻘﻠﺐ اﮔﺮ ﺗﻘﻠﺐ در ﯾ‬
‫درس او ﺻﻔﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪ .‬ﻟﻄﻔﺎ اﯾﻦ ﺣﺮف را ﺟﺪی ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ‪.‬‬
‫‪١‬‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ از ﻓﺮدی ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد ﻧﻤﺮه ﻧﻬﺎﯾﯽ‬
‫‪ ١‬ﺳﻮاﻻت‬
‫‪ .١‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﺑﺮای ﻫﺮ ﻣﻘﺪار ‪ ،ω ∈ R‬دﻧﺒﺎﻟﻪی ﺑﻪ ﺷ ﻞ‬
‫‪n∈N‬‬
‫‪vn = ejωn ,‬‬
‫وﯾﮋهدﻧﺒﺎﻟﻪای از ﻋﻤﻞ ﭘﯿﭽﺶ در ‪ h‬اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻘﺪار ﺿﺮﯾﺐ ‪ λ‬را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪) .‬ﻓﻌﻼ ﮐﺎری ﺑﻪ ﻫﻤ ﺮاﯾﯽ ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﺪ!(‬
‫‪ .٢‬ﻋﮑﺲ ‪ DTFT‬را ﺑﻪ ﮐﻤ‬
‫ﺿﺮب داﺧﻠ ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ و درﺳﺘ آن را ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬دﻗﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺿﺮب داﺧﻠ ﺗﻮاﺑﻊ‬
‫ﺑﻪ ﺷ ﻞ ‪ ejωn‬ﺑﺮای ‪n‬ﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻒ‪ ،‬روی ﺑﺎزهی ]‪ [−π, π‬ﺧﺎﺻﯿﺖ ﺟﺎﻟﺒﯽ دارد‪.‬‬
‫‪ .٣‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ اﮔﺮ )‪ x ∈ ℓ1 (Z‬ﺑﺎﺷﺪ‪ DTFT ،‬وﺟﻮد دارد و ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ ω ∈ R‬ﻣﻄﻠﻘﺎً ﻫﻤ ﺮا و ﺑﻨﺎﺑﺮاﯾﻦ ﻫﻤ ﺮاﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .۴‬دﻧﺒﺎﻟﻪی زﯾﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪:‬‬
‫)‪1 sin( 12 πn‬‬
‫√‬
‫‪2 12 πn‬‬
‫)‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪πn‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫‪1‬‬
‫‪xn = √ sinc‬‬
‫‪2‬‬
‫)اﻟﻒ( ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ )‪ x ̸∈ ℓ1 (Z‬وﻟ )‪.x ∈ ℓ2 (Z‬‬
‫)ب( ﺗﺎﺑﻊ )]‪ X ∈ L2 ([−π, π‬را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ ﮐﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ﺟﺰﺋ ‪ XN‬در ﻧﺮم )]‪ L2 ([−π, π‬ﺑﻪ آن ﻣﯿﻞ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪.‬‬
‫)ج( دﻗﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﻫﻤ ﺮاﯾﯽ ﺑﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﻗﺴﻤﺖ ﻗﺒﻠ ﯾ ﻨﻮاﺧﺖ ﻧﯿﺴﺖ و در ﻧﺰدﯾ‬
‫ﻫﺎی ‪ π/2‬ﮐﻨﺪ و در ﺑﺎﻗ ﺟﺎﻫﺎ‬
‫ﺳﺮﯾﻊﺗﺮ اﺳﺖ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ در ﻧﻘﻄﻪی ‪ ω = 21 π‬ﻫﻤ ﺮاﯾﯽ ﻧﺪارﯾﻢ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﭘﺮِﺷ ﺑﻪ اﻧﺪازهی‬
‫ﺗﻘﺮﯾﺒﯽ ‪ 0.089‬در اﯾﻦ ﻧﻘﻄﻪ دارﯾﻢ )ﻣﺎﻧﻨﺪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ(‪ .‬راﻫﻨﻤﺎﯾﯽ‪:‬‬
‫)‪sin(πx‬‬
‫‪dx ≈ 0.5 + 0.089‬‬
‫‪πx‬‬
‫‪ .۵‬ﺗﺒﺪﯾﻞ ﻓﻮرﯾﻪی ﻫﺮ ﯾ‬
‫از ﺳﯿ ﻨﺎلﻫﺎی زﯾﺮ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬
‫)اﻟﻒ( ]‪x[n] = 2n sin(nπ/4)u[−n‬‬
‫)‬
‫(‬
‫)ب( )‪cos(7nπ/2‬‬
‫)‪x[n] = sin(nπ/5‬‬
‫‪πn‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪1‬‬
‫∫‬
‫‪0‬‬
‫)ج(‬
‫)‪sin2 (nπ/5‬‬
‫‪(πn)2‬‬
‫= ]‪x[n‬‬
‫‪ .۶‬ﺳﯿ ﻨﺎل زﻣﺎن‪-‬ﮔﺴﺴﺘﻪی ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻫﺮﯾ‬
‫)اﻟﻒ(‬
‫از ﺗﺒﺪﯾﻞﻫﺎی ﻓﻮرﯾﻪ زﯾﺮ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬
‫‪1 − 31 e−jω‬‬
‫= ) ‪X(ejω‬‬
‫‪1 − 14 e−jω − 81 e−2jω‬‬
‫)ب(‬
‫‪|a| < 1‬‬
‫‪ .٧‬ﯾ‬
‫‪1−a‬‬
‫‪,‬‬
‫‪1 − 2a cos ω + a2‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪X(ejω‬‬
‫ﺳﯿﺴﺘﻢ ﺑﻪ ﻫﻤﺮاه ﺗﺎﺑﻊ ) ‪ H(ejω‬داده ﺷﺪه اﺳﺖ )ﺷ ﻞ را ﺑﺒﯿﻨﯿﺪ(‪ .‬آﯾﺎ ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﺪ ﺑ ﻮﯾﯿﺪ اﯾﻦ ﺳﯿﺴﺘﻢ ﭼﻪ‬
‫ﻓﺮﮐﺎﻧﺲﻫﺎﯾﯽ از ﺧﻮد ﻋﺒﻮر ﻣ دﻫﺪ؟ ) ‪ ωc‬در ﺷ ﻞ را ‪ π/4‬ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪(.‬‬
‫‪٢‬‬
‫ﺗﻮﺿﯿﺤﺎت‬
‫در اﺑﺘﺪا ﻓﻀﺎﻫﺎﯾﯽ ﮐﻪ ﻣﻄﺮح ﻫﺴﺘﻨﺪ را ﯾﺎدآوری ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬
‫ﻣﻨﻈﻮر از )‪ ℓ1 (Z‬ﺗﻤﺎم دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎﯾﯽ ﻣﺎﻧﻨﺪ } ‪ {xn‬اﺳﺖ ﮐﻪ ‪|xn | < ∞.‬‬
‫∑‬
‫‪ |xn |2 < ∞.‬در )‪ ℓ2 (Z‬ﺿﺮب داﺧﻠ ﻫﻢ دارﯾﻢ‪:‬‬
‫∑‬
‫= ⟩‪⟨x, y‬‬
‫‪xn yn∗ .‬‬
‫ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻣﻨﻈﻮرﻣﺎن از )]‪ L2 ([−π, π‬ﻧﯿﺰ ﺗﻤﺎﻣ ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ f‬اﺳﺖ ﮐﻪ‬
‫‪π‬‬
‫‪|f (t)|2 dt < ∞.‬‬
‫∑‬
‫ﻫﻤﯿﻨﻄﻮر )‪ ℓ (Z‬را دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎﯾﯽ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ﮐﻪ‬
‫‪2‬‬
‫∫‬
‫‪−π‬‬
‫∫‬
‫ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ‪ ،‬در اﯾﻦ ﻓﻀﺎ ﻧﯿﺰ ﺿﺮب داﺧﻠ دارﯾﻢ‪ .⟨f, g⟩ = f g ∗ :‬در ﻫﻤﻪی اﯾﻦ ﻓﻀﺎﻫﺎ ﻣ ﺗﻮان ﻧﺮم را ﺑﺎ ﺿﺮب‬
‫∑‬
‫= |‪.|x‬‬
‫داﺧﻠ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﺮد‪ .‬اﻟﺒﺘﻪ در )‪ ،ℓ1 (Z‬ﻧﺮم ‪ x‬را اﯾﻨﮕﻮﻧﻪ ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪|xn | :‬‬
‫‪٣‬‬
‫‪ ١.٢‬ﭼﯿﺴﺘ ‪DTFT‬‬
‫ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﮐﻪ در ﺑﺮرﺳ ﺳﯿﺴﺘﻢﻫﺎی ‪ LTI‬دﯾﺪﯾﺪ‪ ،‬ﻋﻤﻞ ﭘﯿﭽﺶ ‪ ١‬ﻧﻘﺸ اﺳﺎﺳ ﺑﺎزی ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬در ﺑﺮرﺳ ﺗﻮاﺑﻊ ﺧﻄ )ﮐﻪ‬
‫دﻧﺒﺎﻟﻪی ﻣﺸﺨﺺ ‪ h‬ﻫﻢ ﯾ‬
‫ﭘﯿﭽﺶ ﺑﺎ ﯾ‬
‫از آنﻫﺎﺳﺖ( ﯾ‬
‫از ﻣﻮﺿﻮﻋﺎت ﻣﻬﻢ ﻣﻮرد ﺑﺮرﺳ ‪ ،‬وﯾﮋهﺑﺮدارﻫﺎ )در اﯾﻨﺠﺎ‬
‫وﯾﮋهدﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎ ﻧﺎم دارﻧﺪ( ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬در اداﻣﻪی ﺗﻤﺮﯾﻦ و درس ﺧﻮاﻫﯿﺪ دﯾﺪ ﮐﻪ ﻋﻠﺖ اﯾﻦ ﻧﻘﺶ ﻣﻬﻢ ﭼﯿﺴﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر دﻗﯿﻖﺗﺮ‪،‬‬
‫ﻣﻨﻈﻮر از ﯾ‬
‫وﯾﮋهدﻧﺒﺎﻟﻪ‪ ،‬دﻧﺒﺎﻟﻪی } ‪ {vn‬اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﺮای ﻣﻘﺪار ‪ λ ∈ C‬داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ ‪ .h ⋆ v = λv‬ﺣﺎل ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﺪ ﺳﻮال ‪١‬‬
‫را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ﺑﺎ اﯾﻦ ﺣﺴﺎب‪ ،‬اﮔﺮ ‪ vn = ejωn‬ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ‪ DTFT‬ﺑﺮای دﻧﺒﺎﻟﻪی ‪ h‬را ﻫﻤﺎن ﺿﺮﯾﺐ ‪ λ‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﮐﺮد‪:‬‬
‫‪h ⋆ v = H(ejω ) v‬‬
‫ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﺑﺎ داﺷﺘﻦ ﺗﺎﺑﻊ ) ‪ ،H(ejω‬ﻣ ﺗﻮان دﻧﺒﺎﻟﻪی ‪ h‬را ﺑﺎزﯾﺎﺑﯽ ﮐﺮد‪ .‬اﯾﻦ ﮐﺎر را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺎ ﺿﺮب داﺧﻠ در ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻨﺎﺳﺐ‬
‫اﻧﺠﺎم داد‪ .‬ﺣﺎل ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﺪ ﺳﻮال ‪ ٢‬را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪٢.٢‬‬
‫ﻫﻤ ﺮاﯾﯽ و وﺟﻮد ﺑﺮای ﺗﻮاﺑﻊ در )‪ℓ1 (Z‬‬
‫اﺑﺘﺪا ﺳﻮال ‪ ٣‬را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﺣﺎل ﺑﻪ ﺑﺮرﺳ ﺣﺎﺻﻞ ‪ DTFT‬ﻣ ﭘﺮدازﯾﻢ‪ .‬ﻗﻄﻌﺎً ﺗﺎﺑﻊ ) ‪ X(ejω‬ﯾ‬
‫ﻣﺠﻤﻮعﻫﺎی ﺟﺰﺋ زﯾﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪:‬‬
‫‪xn e−jωn‬‬
‫‪N‬‬
‫∑‬
‫ﺗﺎﺑﻊ ‪-2π‬ﻣﺘﻨﺎوب اﺳﺖ‪.‬‬
‫= ) ‪XN (ejω‬‬
‫‪n=−N‬‬
‫اﻧﺘﻈﺎر دارﯾﻢ اﯾﻦ ﺗﻮاﺑﻊ‪ ،‬وﻗﺘ ∞ → ‪ ،N‬ﺑﻪ ﺧﻮد ‪ X‬ﻣﯿﻞ ﮐﻨﻨﺪ‪ ،‬و ﺧﻮشﺑﺨﺘﺎﻧﻪ اﯾﻦ اﺗﻔﺎق ﺑﻪ ﻧﺤﻮ اﺣﺴﻦ اﺗﻔﺎق ﻣ اﻓﺘﺪ! در‬
‫واﻗﻊ ﻣ ﺗﻮان ﺛﺎﺑﺖ ﮐﺮد ﮐﻪ )‪ (١‬اﯾﻦ ﺗﻮاﺑﻊ ﺑﻪ ﻃﻮر ﯾ ﻨﻮاﺧﺖ ﺑﻪ ‪ X‬ﻣﯿﻞ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ )ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ ﻫﻤ ﺮاﯾﯽ ﻣﻄﻠﻖ در ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ( و‬
‫ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ )‪ (٢‬ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻬﺎﯾﯽ‪ ،X ،‬ﺗﺎﺑﻌ ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ )ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ ﻓﺸﺮده ﺑﻮدن داﻣﻨﻪ(‪ .‬اﻣﺎ اﯾﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﺑﺮای دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎی )‪ℓ2 (Z‬‬
‫درﺳﺖ ﻧﯿﺴﺖ‪.‬‬
‫‪٣.٢‬‬
‫ﻫﻤ ﺮاﯾﯽ و وﺟﻮد ﺑﺮای ﺗﻮاﺑﻊ در )‪ℓ2 (Z‬‬
‫ﺑﺮای دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎﯾﯽ ﮐﻪ در )‪ ℓ1 (Z‬ﻧﯿﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﻣﻨﻈﻮرﻣﺎن از وﺟﻮد ‪ DTFT‬را اﯾﻨﮕﻮﻧﻪ ﻣ ﮔﻮﯾﯿﻢ ﮐﻪ دﻧﺒﺎﻟﻪی ﺗﻮاﺑﻊ ‪ XN‬در‬
‫)]‪ L2 ([−π, π‬ﻫﻤ ﺮا ﺷﻮد‪ .‬ﻣﺜﻼ ﻣ ﺗﻮان ﮔﻔﺖ ﮐﻪ ﺑﺮای دﻧﺒﺎﻟﻪی )‪ XN ،x ∈ ℓ2 (Z‬ﺑﻪ )]‪ X ∈ L2 ([−π, π‬ﺑﻪ اﯾﻨﺼﻮرت‬
‫ﻣﯿﻞ ﻣ ﮐﻨﺪ ﮐﻪ‬
‫‪lim ||X(e ) − XN (e )|| = 0‬‬
‫‪jω‬‬
‫‪jω‬‬
‫∞→ ‪N‬‬
‫و ﻣﻨﻈﻮر از || · || ﻫﻤﺎن ﻧﺮم در )]‪ L2 ([−π, π‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫اﯾﻦ ﻫﻤ ﺮاﯾﯽ ﺑﺎ ﻧﺮم )]‪ ،L2 ([−π, π‬ﻫﻤ ﺮاﯾﯽ را ﺑﺮای ﺗﻘﺮﯾﺒﺎً ﺗﻤﺎﻣ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ‪ ω‬را ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ دﻫﺪ‪ .‬اﻣﺎ اﯾﻦ ﻫﻤ ﺮاﯾﯽ ﻧﻪ‬
‫ﻟﺰوﻣﺎً ﯾ ﻨﻮاﺧﺖ اﺳﺖ و ﻫﻤﯿﻨﻄﻮر ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻬﺎﯾﯽ ﻟﺰوﻣﺎً ﭘﯿﻮﺳﺘﻪ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺮای ﯾ‬
‫ﺑﻪ اﯾﻦ اﺗﻔﺎق ﭘﺪﯾﺪهی ‪ Gibbs‬ﮔﻔﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬
‫‪Convolution١‬‬
‫‪۴‬‬
‫ﻧﻤﻮﻧﻪی ﻣﺸﻬﻮر ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﺪ ﺳﻮال ‪ ۴‬را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬