‫ﺑﻪ ﻧﺎم ﺧﺪا‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﺳﯿ ﻨﺎلﻫﺎ و ﺳﯿﺴﺘﻢﻫﺎ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺳﺮی ﺳﻮم‬
‫ﻣﻬﻠﺖ ﺗﺤﻮﯾﻞ‪ ١١ :‬اردیﺑﻬﺸﺖ ‪ ١٣٩۵‬ﺳﺎﻋﺖ ‪١۵‬‬
‫ﭼﻨﺪ ﻧﮑﺘﻪ‪:‬‬
‫• ﺗﻤﺮﯾﻨﺎت ﺗﺌﻮری را ﺑﺮ روی ﮐﺎﻏﺬ در ﻣﻬﻠﺖ ﺗﻌﯿﯿﻦ ﺷﺪه ﺗﺤﻮﯾﻞ ﺑﺪﻫﯿﺪ ‪ .‬ﺗﺤﻮﯾﻞ ﺑﺎ ﺗﺎﺧﯿﺮ ﺗﺎ ﻗﺒﻞ از ﮐﻼس ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ‬
‫ﻣﻤ ﻦ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ از ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ در ﮐﻼس‪ ،‬ﺗﻤﺮﯾﻨ ﺗﺤﻮﯾﻞ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻧﻤ ﺷﻮد‪ .‬ﻫﺮ داﻧﺸﺠﻮ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ در ﮐﻞ ﺗﺮم ﺳﻪ‬
‫ﺑﺎر ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺗﺌﻮری ﺧﻮد را ﺑﺎ ﺗﺎﺧﯿﺮ ﺗﺎ ﻗﺒﻞ از ﮐﻼس ﺣﻞ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﺑﺪون ﮐﺴﺮ ﻧﻤﺮه ﺗﺤﻮﯾﻞ دﻫﺪ و ﺑﯿﺶ از اﯾﻦ ﺗﻌﺪاد‪،‬‬
‫ﺗﺎﺧﯿﺮ ﻣﺤﺴﻮب ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬
‫• ﻫﻤﻔﮑﺮی راه ﺧﻮﺑﯽ ﺑﺮای ﭘﯿﺪا ﮐﺮدن ﺷﻬﻮد ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺴﺎﻳﻞ اﺳﺖ اﻣﺎ ﻧﻬﺎﯾﺘﺎ ﺧﻮدﺗﺎن راه ﺣﻞ را ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪ .‬از ﺗﻘﻠﺐ‬
‫ﮐﺮدن ﺑﭙﺮﻫﯿﺰﯾﺪ‪ .‬ﻃﺒﻖ ﺳﯿﺎﺳﺖ ﮐﻠ ﮐﻼس درﻣﻮرد ﺗﻘﻠﺐ اﮔﺮ ﺗﻘﻠﺐ در ﯾ‬
‫درس او ﺻﻔﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪ .‬ﻟﻄﻔﺎ اﯾﻦ ﺣﺮف را ﺟﺪی ﺑ ﯿﺮﯾﺪ ‪.‬‬
‫‪١‬‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ از ﻓﺮدی ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮد ﻧﻤﺮه ﻧﻬﺎﯾﯽ‬
‫‪١‬‬
‫ﺑﺨﺶ ﺗﺌﻮری‬
‫‪ .١‬ﻧﻤﻮدار ﺟﺮﯾﺎن ﺳﯿ ﻨﺎل ‪ ١‬را ﺑﺮای ‪FFT‬ی ‪-١۶‬ﻧﻘﻄﻪای ﺑﻪ ﻃﻮر ﮐﺎﻣﻞ رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .٢‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ اﻟ ﻮرﯾﺘﻢ ‪ FFT‬را ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ n‬ﭘﯿﺎدهﺳﺎزی ﮐﺮدهاﯾﺪ )ﻣﺜﻼ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻮﺟﻮد در ‪ .(MATLAB‬ﺑﻪ ﮐﻤ‬
‫اﻟ ﻮرﯾﺘﻢ‪ ،‬ﯾ‬
‫اﯾﻦ‬
‫ﺿﺮبﮐﻨﻨﺪهی دودوﯾﯽ ‪-n‬ﺑﯿﺘ ﺑﺴﺎزﯾﺪ ﮐﻪ ﻣﺮﺗﺒﻪی اﺟﺮاﯾﯽ آن در ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﺑﺎ ‪ n2‬ﺧﯿﻠ ﺑﻬﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﺳﻌ ﮐﻨﯿﺪ ﻣﺮﺗﺒﻪی اﺟﺮاﯾﯽ اﯾﻦ اﻟ ﻮرﯾﺘﻢ را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ )ﺑﺎﯾﺪ ﺑﺮای اﯾﻦ ﮐﺎر ﻣﺮﺗﺒﻪی اﺟﺮاﯾﯽ ‪ FFT‬را ﻧﯿﺰ ﺗﺨﻤﯿﻦ ﺑﺰﻧﯿﺪ(‬
‫‪ .٣‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ دو ﺳﯿ ﻨﺎل ﻣﺘﻨﺎﻫ ‪ ۴‬ﻧﻘﻄﻪای ‪ x‬و ‪ h‬ﺑﻪ ﺷ ﻞ زﯾﺮ دارﯾﺪ‪:‬‬
‫‪h n = 2n‬‬
‫‪xn = cos(nπ/2),‬‬
‫)اﻟﻒ( ‪ DFT‬ﭼﻬﺎر ﻧﻘﻄﻪای ‪ Xk‬را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬
‫)ب( ‪ DFT‬ﭼﻬﺎر ﻧﻘﻄﻪای ‪ Hk‬را ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬
‫)ج( ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﭘﯿﭽﺶ داﯾﺮهای ‪ ٢‬ﺳﯿ ﻨﺎل ‪ y = h ~ x‬را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬
‫)د( ﺑﻪ ﮐﻤ‬
‫ﺿﺮب ﻧﻘﻄﻪ ﺑﻪ ﻧﻘﻄﻪی ‪ Xk‬و ‪ Hk‬و ﺳﭙﺲ ﮔﺮﻓﺘﻦ ‪ DFT‬وارون‪ y ،‬ﻗﺴﻤﺖ )ج( را دوﺑﺎره ﺑﺪﺳﺖ‬
‫ﺑﯿﺎورﯾﺪ‪.‬‬
‫‪ .۴‬ﺗﻘﺎرنﻫﺎی زﯾﺮ را ﺑﺮای ‪DFT‬ی ﺳﯿ ﻨﺎلﻫﺎی ﺣﻘﯿﻘ ‪ x‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫)اﻟﻒ( ﺑﺨﺶ ﺣﻘﯿﻘ ‪ X‬ﺗﺎﺑﻌ زوج اﺳﺖ‪.‬‬
‫∗‬
‫‪(Xk = X−k‬‬
‫)ب( ﺑﺨﺶ ﻣﻮﻫﻮﻣ ‪ X‬ﺗﺎﺑﻌ ﻓﺮد اﺳﺖ‪) .‬ﺟﻤﻊ دو ﻋﺒﺎرت ﻗﺒﻠ ﯾﻌﻨ‬
‫)ج( ﻓﺎز ‪) X‬ﯾﺎ ﻫﻤﺎن ‪ (∠X‬ﺗﺎﺑﻌ ﻓﺮد اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .۵‬اﺗﺤﺎد ﭘﺎرﺳﻮال را ﺑﺮای ‪ DFT‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪? 1‬‬
‫= ‪||x||2‬‬
‫= ‪|xn |2‬‬
‫‪|Xk |2 = ||X||2‬‬
‫‪N n=0‬‬
‫‪N‬‬
‫‪n=0‬‬
‫‪N‬‬
‫‪−1‬‬
‫∑‬
‫‪N‬‬
‫‪−1‬‬
‫∑‬
‫‪ .۶‬رﺷﺘﻪ ﺑﺎ ﻃﻮل ﻣﺤﺪود ‪ x‬ﻣﻄﺎﺑﻖ ﺷ ﻞ زﯾﺮ رﺳﻢ ﺷﺪه اﺳﺖ‪:‬‬
‫)اﻟﻒ( ﺳﯿ ﻨﺎل ‪ y‬ﺑﺎ ﻃﻮل ﻣﺤﺪود دارای ‪ DFT‬ﺷﺶ ﻧﻘﻄﻪای زﯾﺮ را رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ‪:‬‬
‫‪Yk = W64k Xk‬‬
‫)ب( ﺳﯿ ﻨﺎل ﺑﺎ ﻃﻮل ﻣﺤﺪود ‪ q‬را رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ‪ DFT‬ﺷﺶ ﻧﻘﻄﻪای آن ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت ﺑﺎﺷﺪ‪:‬‬
‫} ‪Qk = ℜ{Xk‬‬
‫‪signal flow diagram١‬‬
‫‪circular convolution٢‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪ .٧‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬
‫)‬
‫‪2π‬‬
‫‪n ,‬‬
‫‪32‬‬
‫(‬
‫‪yn = cos‬‬
‫)‬
‫‪2π‬‬
‫‪n ,‬‬
‫‪16‬‬
‫(‬
‫‪xn = cos‬‬
‫ﮐﻪ اﯾﻦ ﺳﯿ ﻨﺎلﻫﺎ ﺑﺮای ‪n‬ﻫﺎی ﺑﯿﻦ ‪ 0‬و ‪ 15‬ﺗﻌﺮﯾﻒ ﺷﺪهاﻧﺪ و ﺷﻬﻮد ﻣﺎ ﻣ ﮔﻮﯾﺪ ﮐﻪ اﺣﺘﻤﺎﻻ در ﺣﻮزهی ﻓﺮﮐﺎﻧﺲ‪،‬‬
‫ﺑﯿﺸﺘﺮ ﺣﺎوی ﻓﺮﮐﺎﻧﺲﻫﺎی ﭘﺎﯾﯿﻦﺗﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ )اﯾﻦ ﺷﻬﻮد از ﮐﺠﺎ آﻣﺪ؟( ]ﻧﻤﻮدار اول را ﺑﺒﯿﻨﯿﺪ[‪.‬‬
‫اﻣﺎ اﮔﺮ ‪ ١۶ DFT‬ﺗﺎﯾﯽ اﯾﻦ ﺳﯿ ﻨﺎلﻫﺎ را ﺣﺴﺎب ﮐﻨﯿﻢ ﺑﺎ ﻧﻤﻮدار دوم ﻣﻮاﺟﻪ ﻣ ﺷﻮﯾﻢ‪.‬‬
‫ﮐﻪ اﮔﺮ دﻗﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﻣ ﺑﯿﻨﯿﺪ ﮐﻪ | ‪ |Xk‬ﻓﻘﻂ ﺑﺮای ‪ k = ±1‬ﻣﻘﺪار دارد در ﺣﺎﻟ ﮐﻪ | ‪ |Yk‬در ﺗﻤﺎﻣ ﻓﺮﮐﺎﻧﺲﻫﺎ ﻣﻘﺪار‬
‫ﻧﺎﺻﻔﺮ دارد‪ .‬اﯾﻦ ﭘﺪﯾﺪه را ﭼﻄﻮر ﺗﻮﺟﯿﻪ ﻣ ﮐﻨﯿﺪ؟‬
‫‪٣‬‬