‫ﺑﺎﺳﻤﻪ ﺗﻌﺎﻟ‬
‫آﻣﺎر و اﺣﺘﻤﺎل ﻣﻬﻨﺪﺳ‬
‫ﻧﯿﻢﺳﺎل اول ‪٩۴-٩۵‬‬
‫دﮐﺘﺮ ﻣﻄﻬﺮی‬
‫داﻧﺸ ﺪه ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ اول‬
‫‪١‬‬
‫ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ اوﻟﯿﻪ اﺣﺘﻤﺎل‬
‫ﺗﺎرﯾﺦ ﺗﺤﻮﯾﻞ‪٩۴/٧/٢٧ :‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ اول‬
‫دو ﺳ ﻪ در اﺧﺘﯿﺎر دارﯾﻢ‪ .‬ﯾ ﺳ ﻪ ﻋﺎدﻻﻧﻪ اﺳﺖ )در ﺻﻮرت ﭘﺮﺗﺎب ﺷﺪن ﺑﻪ اﺣﺘﻤﺎل ﯾ دوم ﺷﯿﺮ ﯾﺎ ﺧﻂ ﻣ آﯾﺪ( و ﺳ ﻪ ی دوم ﺑﻪ‬
‫اﺣﺘﻤﺎل دو ﺳﻮم ﺧﻂ و ﺑﻪ اﺣﺘﻤﺎل ﯾ ﺳﻮم ﺷﯿﺮ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﯾ از دو ﺳ ﻪ را ﺑﻪ ﻃﻮر ﺗﺼﺎدﻓ ﺑﺮ ﻣ دارﯾﻢ و آن را دو ﺑﺎر ﭘﺮﺗﺎب ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬
‫ﻫﺮ دو ﺑﺎر ﺧﻂ ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣ ﺷﻮد‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل اﯾﻦ ﮐﻪ ﺳ ﻪ ای ﮐﻪ ﺑﺮداﺷﺘﻪ ﺑﻮدﯾﻢ ﻋﺎدﻻﻧﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪٢‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ دوم‬
‫ﯾ ﻗﻄﺎر و ﯾ اﺗﻮﺑﻮس در زﻣﺎﻧ ﺗﺼﺎدﻓ ﺑﯿﻦ ‪ ٩‬و ‪ ١٠‬ﺻﺒﺢ ﺑﻪ اﯾﺴﺘﮕﺎه ﻣ رﺳﻨﺪ‪ .‬ﻗﻄﺎر ﺑﻪ ﻣﺪت ‪ ١٠‬دﻗﯿﻘﻪ و اﺗﻮﺑﻮس ﺑﻪ ﻣﺪت ‪ x‬دﻗﯿﻘﻪ‬
‫در اﯾﺴﺘﮕﺎه ﻣ ﻣﺎﻧﺪ‪ .‬ﻣﻘﺪار ‪ x‬ﭼﻘﺪر ﺑﺎﺷﺪ ﺗﺎ اﺣﺘﻤﺎل اﯾﻦ ﮐﻪ ﻗﻄﺎر و اﺗﻮﺑﻮس ﻫﻤﺪﯾ ﺮ را در اﯾﺴﺘﮕﺎه ﺑﺒﯿﻨﻨﺪ ﺑﺮاﺑﺮ ﯾ دوم ﺑﺎﺷﺪ؟‬
‫‪٣‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ ﺳﻮم‬
‫اﻟﻒ( ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﯾ ﻓﯿﻞ ﺳﻔﯿﺪ و ﯾ ﺷﺎه ﺳﯿﺎه را ﺑﻪ ﻃﻮر ﺗﺼﺎدﻓ در ﺻﻔﺤﻪ ی ﺷﻄﺮﻧ ‪ ۴ × ۴‬ﻗﺮار ﻣ دﻫﯿﻢ‪ .‬ﻫﻢ ﭼﻨﯿﻦ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬
‫اﮐﻨﻮن ﻧﻮﺑﺖ ﺳﻔﯿﺪ اﺳﺖ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل اﯾﻦ ﮐﻪ ﻓﯿﻞ ﺳﻔﯿﺪ ﺷﺎه را ﺗﻬﺪﯾﺪ ﮐﻨﺪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫ب( در اﯾﻦ ﻗﺴﻤﺖ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺑﻪ ﺟﺎی ﯾ ﺟﺪول ‪ ۴ × ۴‬در ﯾ ﺻﻔﺤﻪ ی ﺷﻄﺮﻧ ‪ n × n‬ﻋﺪد ‪ n‬ﺑﻪ اﻧﺪازه ی ﮐﺎﻓ ﺑﺰرگ اﺳﺖ(‬
‫ﺳﻪ ﻣﻬﺮه ی ﻓﯿﻞ ﺳﻔﯿﺪ و ﺳﺮﺑﺎز ﺳﻔﯿﺪ و ﺷﺎه ﺳﯿﺎه را ﺑﻪ ﻃﻮر ﺗﺼﺎدﻓ ﻗﺮار دﻫﯿﻢ و ﻧﻮﺑﺖ ﺳﻔﯿﺪ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﻪ ﻧﻈﺮ ﺷﻤﺎ اﺣﺘﻤﺎل اﯾﻦ ﮐﻪ ﺷﺎه ﺳﯿﺎه‬
‫ﺗﻮﺳﻂ ﻣﻬﺮه ﻫﺎی ﺳﻔﯿﺪ ﺗﻬﺪﯾﺪ ﺷﻮد در اﯾﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﺑﯿﺸﺘﺮ اﺳﺖ ﯾﺎ در ﺣﺎﻟﺘ ﮐﻪ ﻓﻘﻂ ﯾ ﻓﯿﻞ ﺳﻔﯿﺪ و ﯾ ﺷﺎه ﺳﯿﺎه ﺑﺮ روی ﺻﻔﺤﻪ ﻗﺮار‬
‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ؟‬
‫‪۴‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ ﭼﻬﺎرم‬
‫ﮔﺮاﻓ ﺗﺼﺎدﻓ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از رﺋﻮس ‪ ١, ٢, ..., ۵‬ﺑﻪ اﯾﻦ ﺷ ﻞ ﺳﺎﺧﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ در آن ﻫﺮ ﯾﺎل ﻣﻤ ﻦ ﺑﻪ اﺣﺘﻤﺎل ﯾ دوم ﻗﺮار دارد و‬
‫ﯾﺎل ﻫﺎ ﻧﯿﺰ از ﻫﻢ ﻣﺴﺘﻘﻞ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل اﯾﻦ ﮐﻪ اﯾﻦ ﮔﺮاف دور ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﺑﺎ ﻣﯿﻞ دادن ‪ n‬ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﺑﯽ ﻧﻬﺎﯾﺖ اﯾﻦ‬
‫اﺣﺘﻤﺎل ﺑﻪ ﭼﻪ ﻋﺪدی ﻣﯿﻞ ﻣ ﮐﻨﺪ؟‬
‫‪١‬‬
‫‪۵‬‬
‫ﻣﺴﺎﻟﻪ ﭘﻨﺠﻢ‬
‫ﺳﻪ روﯾﺪاد ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﺗﻤﺎم روﯾﺪادﻫﺎﯾﯽ ﮐﻪ ﻣ ﺗﻮان ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﺟﺘﻤﺎع و اﺷﺘﺮاک و ﻣ ﻤﻞ ﮔﯿﺮی )از ﻫﺮ ﮐﺪام ﺑﻪ‬
‫ﺗﻌﺪاد دﻟﺨﻮاه( اﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻫﺎ ﺳﺎﺧﺖ را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪ .‬ﺣﺪاﻗﻞ اﺣﺘﻤﺎل ﭼﻪ ﺗﻌﺪاد از اﯾﻦ روﯾﺪادﻫﺎ را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﻢ ﺗﺎ ﺑﺘﻮاﻧﯿﻢ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده‬
‫از آن ﻫﺎ اﺣﺘﻤﺎل ﺑﻘﯿﻪ ی روﯾﺪادﻫﺎ را ﻧﯿﺰ ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﻢ؟‬
‫‪٢‬‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻨﺎت ﺑﺮﻧﺎﻣﻪﻧﻮﯾﺴ‬
‫ﺗﻮﺿﯿﺤﺎت‬
‫در اﯾﻦ ﺑﺨﺶ ﺗﻮﺿﯿﺤﺎﺗ در ﻣﻮرد ﺗﻤﺮﯾﻦﻫﺎی ﻋﻤﻠ آورده ﺷﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻻزم اﺳﺖ ﮐﻪ ﺗﻤﺎﻣ ﻧﮑﺎت ﺑﻪ دﻗﺖ ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﺷﻮد و ﻫﻤﻪی آنﻫﺎ‬
‫در ﻫﻤﻪی ﺗﻤﺮﯾﻦﻫﺎ رﻋﺎﯾﺖ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬در ﻏﯿﺮ اﯾﻦ ﺻﻮرت ﭼﻮن ﺑﺨﺶﻫﺎﯾﯽ از ﺗﺼﺤﯿﺢ ﺗﻤﺮﯾﻦﻫﺎ ﺑﻪ ﺻﻮرت اﺗﻮﻣﺎﺗﯿ اﻧﺠﺎم ﻣ ﺷﻮد‪ ،‬ﻣﻤ ﻦ‬
‫اﺳﺖ ﻧﻤﺮه از دﺳﺖ ﺑﺪﻫﯿﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﮐﻮﭼ و ﺑﺰرگ ﺑﻮدن ﺣﺮوف ﻧﯿﺰ دﻗﺖ ﻓﺮﻣﺎﯾﯿﺪ‪.‬‬
‫• ﻫﻤﻪی ﮐﺪﻫﺎی ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﯾ ﺳﻮال را در ﯾ‬
‫در ﭘﻮﺷﻪی ”‪ ”p1‬ﻗﺮار ﻣﯿ ﯿﺮﻧﺪ‪.‬‬
‫ﭘﻮﺷﻪ ﺑﺎ ﻧﺎم ”‪ ”p+problem number‬ﻗﺮار دﻫﯿﺪ‪ .‬ﻣﺜﻼ ﮐﺪﻫﺎی ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺳﻮال ‪١‬‬
‫• ﭘﻮﺷﻪﻫﺎی ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﮐﺪﻫﺎی ﺳﻮالﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻒ را ﻫﻤ‬
‫در ﯾ‬
‫ﭘﻮﺷﻪ ﺗﺤﺖ ﻋﻨﻮان ”‪ ”src‬ﻗﺮار دﻫﯿﺪ‪.‬‬
‫• در ﺑﺮﺧ ﺳﻮالﻫﺎ از ﺷﻤﺎ ﺧﻮاﺳﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺗﻮاﺑﻊ ﺧﺎﺻ را ﭘﯿﺎدهﺳﺎزی ﮐﻨﯿﺪ و ﯾﺎ ﻧﺘﺎﯾﺞ ﺑﺮﺧ ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت را در ﻓﺎﯾﻞﻫﺎﯾﯽ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪.‬‬
‫اﯾﻦ ﮐﻪ اﯾﻦ ﺗﻮاﺑﻊ ﭼﻪ ﻧﺎم و آرﮔﻮﻣﺎنﻫﺎﯾﯽ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ و ﯾﺎ اﯾﻦ ﻓﺎﯾﻞﻫﺎ ﭼﻪ ﻧﺎم و ﺳﺎﺧﺘﺎری داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﺑﻪ دﻗﺖ در آن ﺳﻮال ﺗﺸﺮﯾﺢ‬
‫ﻣ ﺷﻮد و ﺷﻤﺎ ﻧﯿﺰ آنﻫﺎ را ﺑﻪ دﻗﺖ رﻋﺎﯾﺖ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﮔﻮﻧﻪ ﻓﺎﯾﻞ ﻫﺎ را ﻧﯿﺰ در ﭘﻮﺷﻪی ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺳﻮال آنﻫﺎ ﻗﺮار دﻫﯿﺪ‪.‬‬
‫• ﺑﺮای ﻫﺮ ﺗﻤﺮﯾﻦ ﯾ ﻓﺎﯾﻞ ﮔﺰارش در ﻓﺮﻣﺖ ‪ pdf‬ﺗﻬﯿﻪ ﮐﻨﯿﺪ و ﺑﺮﺧ ﺳﻮالﻫﺎ ﮐﻪ ﻧﯿﺎز ﺑﻪ ﻧﻤﻮدار ﯾﺎ ﭘﺎﺳ ﺗﺸﺮﯾﺤ و ﯾﺎ ﻫﺮ ﮔﻮﻧﻪ‬
‫ﺗﻮﺿﯿﺢ دﯾ ﺮی دارﻧﺪ‪ ،‬در آن ﻣﺮﻗﻮم ﻓﺮﻣﺎﯾﯿﺪ‪ .‬ﻧﺎم اﯾﻦ ﻓﺎﯾﻞ را ﻧﯿﺰ ﺑﻪ ﺻﻮرت ”‪ ”HW+#HW+_+student number‬ﻗﺮار دﻫﯿﺪ‬
‫ﻣﺜﻼ ”‪”HW1_93604367.pdf‬‬
‫• در ﻧﻬﺎﯾﺖ ﻫﻨﮕﺎم ارﺳﺎل ﺗﻤﺮﯾﻦﻫﺎ ﭘﻮﺷﻪی ‪ src‬را در ﮐﻨﺎر ﻓﺎﯾﻞ ﮔﺰارش درون ﯾ‬
‫ﻗﺮار دﻫﯿﺪ و ارﺳﺎل ﻓﺮﻣﺎﯾﯿﺪ‪.‬‬
‫ﻓﺎﯾﻞ آرﺷﯿﻮ)زﯾﭗ( ﺷﺪه ﺑﺎ ﻧﺎم ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻓﺎﯾﻞ ﮔﺰارش‬
‫• ﻫﻢﻓﮑﺮی ﺑﺎ دﯾ ﺮان در ﺣﻞ ﺳﻮاﻻت ﺟﺎﯾﺰ و ﺑﻠ ﻪ ﻣﺴﺘﺤﺐ اﺳﺖ‪ .‬اﻣﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﮐﺪﻫﺎی دﯾ ﺮان ﺑﻪ ﻫﯿﭻ وﺟﻪ ﻣﺠﺎز ﻧﯿﺴﺖ‪ .‬در‬
‫روﻧﺪ ﺗﺼﺤﯿﺢ ﺑﻨﺎی ﻣﺎ ﺑﺮ اﻋﺘﻤﺎد اﺳﺖ و ﺑﻪ ﻃﻮر وﯾﮋه ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﮐﺸﻒ ﺗﻘﻠﺐ ﻧﯿﺴﺘﯿﻢ‪ .‬اﻣﺎ اﮔﺮ ﺑﻨﺎ ﺑﻪ ﻫﺮ دﻟﯿﻠ وﻗﻮع ﺗﻘﻠﺐ اﺣﺮاز‬
‫ﺷﻮد‪ ،‬ﻧﻤﺮهی ﺗﻤﺮﯾﻦ ﻋﻤﻠ در ﮐﻞ ﺗﺮم ﺻﻔﺮ ﻣﻨﻈﻮر ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ‪.‬‬
‫در ﺑﺨﺶ ﺗﻤﺮﯾﻨﺎت ‪ ، R‬دو دﺳﺘﯿﺎر آﻣﻮزﺷ ﺑﻪ ﺷﻤﺎ ﮐﻤ ﻣ ﮐﻨﻨﺪ‪ .‬ﺑﺮای ارﺗﺒﺎط ﺑﺎ آﻗﺎی ﺣﺎﻣﺪ واﺳﻌ از آدرس ‪vasei.hamed@gmail.com‬‬
‫و ﺑﺮای ﺗﻤﺎس ﺑﺎ آﻗﺎی ﺳﯿﻨﺎ ﯾﺰدانﺑﺪ از آدرس ‪ sina.yazdanbod@gmail.com‬اﺳﺘﻔﺎده ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪٣‬‬
‫‪۶‬‬
‫ﺳﻮال اول‬
‫اﺑﺘﺪا ﺧﻮدﺗﺎن را ﻗﺎﻧ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺗﺎﺑﻊ ‪ runif‬اﻋﺪاد ﯾ ﻨﻮاﺧﺖ در ﺑﺎزهی ]‪ [٠, ١‬ﺗﻮﻟﯿﺪ ﻣ ﮐﻨﺪ‪ .‬ﯾ ﻨﻮاﺧﺖ ﺑﻪ اﯾﻦ ﻣﻌﻨ ﮐﻪ اﺣﺘﻤﺎل‬
‫اﯾﻦﮐﻪ ﻧﻘﻄﻪ در ﯾ ﺑﺎزهی ﻣﺸﺨﺺ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﻃﻮل آن ﺑﺎزه ﻣ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬ﺣﺎل ﻗﻄﻌﻪ ﮐﺪ زﯾﺮ را اﺟﺮا ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫)"‪install.packages("plotrix‬‬
‫)"‪library("plotrix‬‬
‫;‪n <- 100‬‬
‫)‪x <- runif(n‬‬
‫)‪y <- runif(n‬‬
‫)"" = ‪plot(x,y,pch=20,cex=.1,asp=1,xlab = "",ylab‬‬
‫)‪rect(xleft = 0,xright = 1,ytop = 1,ybottom = 0‬‬
‫)‪draw.circle(x=0.5,y=0.5,radius = .5‬‬
‫ﻧﻘﺎﻃ ﮐﻪ ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣ ﮐﻨﯿﺪ ﺑﺎ ﻣﻌﻨﺎﯾﯽ ﻣﺸﺎﺑﻪ آﻧﭽﻪ در ﻣﻮرد ﯾ ﺑﺎزه ﮔﻔﺘﻪ ﺷﺪ‪ ،‬ﺑﺮ روی ﻣﺮﺑﻊ ﯾ ﻨﻮاﺧﺖ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﯾﻦ‬
‫ﺷ ﻞ ﺗﺨﻤﯿﻨ ﺑﺮای ﻋﺪد ‪ π‬ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﻓﺰاﯾﺶ ﺗﻌﺪاد ﻧﻘﺎط‪ ،‬اﻣﯿﺪواﯾﻢ ﺗﺨﻤﯿﻦ ﺑﻬﺘﺮی از ﻋﺪد ‪ π‬ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﻢ‪ .‬ﻧﻤﻮدار ﺧﻄﺎی‬
‫ﺗﺨﻤﯿﻦﻫﺎی ﺑﻪ دﺳﺖآﻣﺪه را ﺑﺮﺣﺴﺐ ﺗﻌﺪاد ﻧﻘﺎط رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ و در ﻣﻮرد ﺗﻌﺪاد ﻧﻘﺎط ﻣﻨﺎﺳﺐ ﺑﺮای ﺗﺨﻤﯿﻦ ﺑﺤﺚ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪۴‬‬
‫‪٧‬‬
‫ﺳﻮال دوم‬
‫در اﯾﻦ ﺳﻮال ﻣ ﺧﻮاﻫﯿﻢ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻗﻄﺒﯽ ﻧﻘﺎﻃ درون ﯾ داﯾﺮه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺑﺎ ﻫﺮ ﮐﺪام از اﯾﻦ روش ﻫﺎ ‪١٠‬ﻫﺰار ﻧﻘﻄﻪ‬
‫درون داﯾﺮه ﺗﻮﻟﯿﺪ ﮐﻨﯿﺪ و اﯾﻦ ﻧﻘﺎط را ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻧﻘﺎط ﺳﻮال ﻗﺒﻞ درون ﯾ داﯾﺮه رﺳﻢ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬در ﻫﺮ ﺑﺨﺶ اﺑﺘﺪا ﻧﺤﻮهی ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﻌﺎع )‪ (r‬و‬
‫ﺳﭙﺲ روش ﺗﻮﻟﯿﺪ زاوﯾﻪ )‪ (t‬ﮔﻔﺘﻪ ﺷﺪهاﺳﺖ‪ n .‬ﺗﻌﺪاد ﻧﻘﺎط اﺳﺖ‪.‬‬
‫)‪1. r <- runif(n‬‬
‫‪t <- runif(n)*2*pi‬‬
‫))‪2. r <- sqrt(runif(n‬‬
‫‪t <- runif(n)*2*pi‬‬
‫‪3. r <- runif(n)^2‬‬
‫‪t <- runif(n)*2*pi‬‬
‫)))‪4. r <- sqrt(sqrt(runif(n‬‬
‫‪t <- runif(n)*2*pi‬‬
‫))‪5. r <- sqrt(runif(n‬‬
‫) ‪t <- sqrt(runif(n)*2*pi‬‬
‫))‪6. r <- sqrt(runif(n‬‬
‫‪t <- sqrt(runif(n))*2*pi‬‬
‫)‪7. r <- runif(n‬‬
‫‪t <- sqrt(runif(n))*2*pi‬‬
‫ﺣﺎل ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﺷ ﻞﻫﺎ و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﻘﺎط ﺗﻮﻟﯿﺪ ﺷﺪه ﺑﻪ ﺳﻮالﻫﺎی زﯾﺮ ﭘﺎﺳ دﻫﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .١‬در ﮐﺪام ﺷ ﻞﻫﺎ زاوﯾﻪی ﻧﻘﺎط ﺑﻪ ﺻﻮرت ﯾ ﻨﻮاﺧﺖ ﺗﻮزﯾﻊ ﺷﺪه اﺳﺖ ﺑﻪ اﯾﻦ ﻣﻌﻨ ﮐﻪ اﺣﺘﻤﺎل ﻗﺮار ﮔﺮﻓﺘﻦ ﯾ ﻧﻘﻄﻪ در ﯾ ﻗﻄﺎع‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ﻧﺴﺒﺖ زاوﯾﻪی آن ﻗﻄﺎع ﺑﻪ ‪ ٢π‬ﻣ ﺑﺎﺷﺪ؟ ﺟﻮاب را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﯾ ﻓﺎﯾﻞ ‪ text‬ﻫﻔﺖ ﺧﻄ ﺑﺎ ﻧﺎم ‪ p21.txt‬ﯾﺎدداﺷﺖ ﮐﻨﯿﺪ‬
‫ﺑﻪ اﯾﻦ ﺻﻮرت ﮐﻪ اﮔﺮ ﺗﻮزﯾﻊ ﯾ ﻨﻮاﺧﺖ اﺳﺖ ‪ ١‬و اﮔﺮ ﯾ ﻨﻮاﺧﺖ ﻧﯿﺴﺖ ﻋﺪد ‪ ٠‬را در ﺧﻂ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ آن ﺷ ﻞ ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪ .‬ﻣﺜﻼ اﮔﺮ‬
‫ﺗﻨﻬﺎ روش اول و ﻫﻔﺘﻢ ﺗﻮزﯾﻊ ﯾ ﻨﻮاﺧﺖ زاوﯾﻪای داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻣﺤﺘﻮای ﻓﺎﯾﻞ ﺑﻪ ﺻﻮرت زﯾﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫دﻗﺖ دارﯾﻢ ﮐﻪ ﻓﺎﯾﻞ ﻣﺬﮐﻮر ﺑﻪ ﻫﻤﺮاه ﺗﻤﺎم ﻓﺎﯾﻞﻫﺎی دﯾ ﺮی ﮐﻪ در اﯾﻦ ﺳﻮال ﻧﺎم ﺑﺮده ﻣ ﺷﻮﻧﺪ و ﯾﺎ ﮐﺪﻫﺎی ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺑﺨﺶﻫﺎی‬
‫ﻣﺨﺘﻠﻒ اﯾﻦ ﺳﻮال ﻫﻤ ﺑﺎ ﻫﻢ در ﭘﻮﺷﻪی ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺳﻮال ‪ ٢‬ﻗﺮار ﻣ ﮔﯿﺮﻧﺪ‪ .‬ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ دﻗﺖ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﯿﺪ ﺑﻪ ﺟﺰ اﻋﺪاد ‪ ١‬و ‪ ٠‬ﭼﯿﺰ‬
‫دﯾ ﺮی ﯾﺎدداﺷﺖ ﻧﮑﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .٢‬ﺑﺮای اﯾﻦﮐﻪ اﯾﻦ ﺣﺲ ﺧﻮد را اﻣﺘﺤﺎن ﮐﻨﯿﺪ‪ ،‬ﺗﻌﺪاد ﻧﻘﺎط در ﻗﻄﺎعﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻒ را ﺑﺎ ﯾ ﺪﯾ ﺮ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﺧﺎص در‬
‫ﯾ ﻓﺎﯾﻞ ‪ text‬ﺑﺎ ﻧﺎم ‪ p22.txt‬ﻧﺴﺒﺖ ﺗﻌﺪاد ﻧﻘﺎط ﻣﻮﺟﻮد در ﻗﻄﺎعﻫﺎی ]‪ [π/۴, ٣π/۴‬و ]‪ [٣π/۴, ۵π/۴‬ﺑﻪ ﺗﻌﺪاد ﮐﻞ ﻧﻘﺎط را‬
‫ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﻓﺎﯾﻞ ﻧﯿﺰ ﯾ ﻓﺎﯾﻞ ﻫﻔﺖ ﺧﻄ اﺳﺖ ﮐﻪ در ﻫﺮ ﺧﻂ آن ﻧﺴﺒﺖﻫﺎی ذﮐﺮ ﺷﺪه ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ آﻣﺪهاﻧﺪ و در ﺑﯿﻦ آنﻫﺎ ﻓﻘﻂ‬
‫ﯾ ”‪ ”,‬وﺟﻮد دارد‪ .‬ﻣﺎﻧﻨﺪ‪:‬‬
‫‪۵‬‬
‫‪0.234,0231‬‬
‫‪0.590,1‬‬
‫‪01234,0.1234‬‬
‫‪0.76,.076‬‬
‫‪0,0.132‬‬
‫‪0.1,0.1‬‬
‫‪1,0‬‬
‫‪ .٣‬ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻗﺴﻤﺖ اول اﯾﻨﺒﺎر در ﻓﺎﯾﻞ ‪ p23.txt‬روشﻫﺎﯾﯽ ﮐﻪ از ﻧﻈﺮ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﯾ ﻨﻮاﺧﺖ ﻫﺴﺘﻨﺪ را ﻣﺸﺨﺺ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .۴‬ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻗﺴﻤﺖ دوم اﯾﻨﺒﺎر در ﻓﺎﯾﻞ ‪ p24.txt‬ﻧﺴﺒﺖ ﺗﻌﺪاد ﻧﻘﺎط ﻣﻮﺟﻮد در داﯾﺮهﻫﺎﯾﯽ ﻫﻢ ﻣﺮﮐﺰ ﺑﺎ داﯾﺮهی اﺻﻠ و ﺑﺎ ﺷﻌﺎع ﻧﺼﻒ و‬
‫‪ ٢/٣‬آن را ﻣﺸﺨﺺ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .۵‬در اﯾﻦ ﻗﺴﻤﺖ دو اﺣﺘﻤﺎل زﯾﺮ را ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺣﺴﺎب ﮐﺮده و ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻗﺴﻤﺖ دوم در ﻓﺎﯾﻠ ﺑﻪ ﻧﺎم ‪ p25.txt‬ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪.‬‬
‫‪١‬‬
‫‪π‬‬
‫] ≤ ‪|t‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪۴‬‬
‫‪١‬‬
‫]‬
‫‪٢‬‬
‫≤ ‪P[r‬‬
‫≤ ‪P[r‬‬
‫‪ .۶‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻋﺪاد ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه در ﻗﺴﻤﺖ ﻗﺒﻞ‪ ،‬در ﻣﻮرد راﺑﻄﻪی اﺳﺘﻘﻼل ﺑﯿﻦ ﺷﻌﺎع و زاوﯾﻪی ﻧﻘﺎط ﻣﺨﺘﻠﻒ در روشﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻒ‪،‬‬
‫ﻓﺎﯾﻠ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻗﺴﻤﺖ اول ﺑﺎ ﻧﺎم ‪ p26.txt‬ﺑﺴﺎزﯾﺪ‪] .‬در اﯾﻦ ﻗﺴﻤﺖ و ﻗﺴﻤﺖ ﻫﺎی ﺑﻌﺪی‪ ،‬ﻋﺪد ‪ ١‬ﺑﯿﺎﻧﮕﺮ اﺳﺘﻘﻼل و ‪ ٠‬ﺑﯿﺎﻧﮕﺮ ﻋﺪم‬
‫اﺳﺘﻘﻼل اﺳﺖ‪[.‬‬
‫‪ .٧‬در اﯾﻦ ﻗﺴﻤﺖ دو اﺣﺘﻤﺎل زﯾﺮ را ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺣﺴﺎب ﮐﺮده و ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻗﺴﻤﺖ دوم در ﻓﺎﯾﻠ ﺑﻪ ﻧﺎم ‪ p27.txt‬ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪.‬‬
‫‪١‬‬
‫‪π‬‬
‫] ≤ ‪|t‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪۴‬‬
‫‪١‬‬
‫]‬
‫‪٢‬‬
‫≤ ‪P[x‬‬
‫≤ ‪P[x‬‬
‫‪ .٨‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻋﺪاد ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه در ﻗﺴﻤﺖ ﻗﺒﻞ‪ ،‬در ﻣﻮرد راﺑﻄﻪی اﺳﺘﻘﻼل ﺑﯿﻦ ﻣﺨﺘﺼﻪی ﻃﻮل و زاوﯾﻪی ﻧﻘﺎط ﻣﺨﺘﻠﻒ در روشﻫﺎی‬
‫ﻣﺨﺘﻠﻒ‪ ،‬ﻓﺎﯾﻠ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻗﺴﻤﺖ اول ﺑﺎ ﻧﺎم ‪ p28.txt‬ﺑﺴﺎزﯾﺪ‪.‬‬
‫‪ .٩‬در اﯾﻦ ﻗﺴﻤﺖ دو اﺣﺘﻤﺎل زﯾﺮ را ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺣﺴﺎب ﮐﺮده و ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻗﺴﻤﺖ دوم در ﻓﺎﯾﻠ ﺑﻪ ﻧﺎم ‪ p29.txt‬ﺑﻨﻮﯾﺴﯿﺪ‪.‬‬
‫‪١‬‬
‫‪١‬‬
‫] ≤ ‪|y‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪٢‬‬
‫‪١‬‬
‫]‬
‫‪٢‬‬
‫≤ ‪P[x‬‬
‫≤ ‪P[x‬‬
‫‪ .١٠‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻋﺪاد ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه در ﻗﺴﻤﺖ ﻗﺒﻞ‪ ،‬در ﻣﻮرد راﺑﻄﻪی اﺳﺘﻘﻼل ﺑﯿﻦ ﻃﻮل و ﻋﺮض ﻧﻘﺎط ﻣﺨﺘﻠﻒ در روشﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻒ‪،‬‬
‫ﻓﺎﯾﻠ ﻣﺎﻧﻨﺪ ﻗﺴﻤﺖ اول ﺑﺎ ﻧﺎم ‪ p210.txt‬ﺑﺴﺎزﯾﺪ‪.‬‬
‫‪۶‬‬
‫‪٨‬‬
‫ﺳﻮال ﺳﻮم‬
‫اﺑﺘﺪا ﺗﺎﺑﻊ ‪ sample‬را ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از آن ﺑﻪ ﺳﻮاﻻت زﯾﺮ ﺟﻮاب دﻫﯿﺪ‪ .‬ﺟﻮاب ﻫﺮ ﺳﻮال را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﯾ ﻋﺪد در ﯾ ﺧﻂ‬
‫در ﻓﺎﯾﻠ ﺑﻪ ﻧﺎم ‪ p3.txt‬وارد ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬در اﯾﻦ ﺳﻮال ﻣﻨﻈﻮر آن ﻧﯿﺴﺖ ﮐﻪ اﺣﺘﻤﺎﻻت را ﺑﻪ ﺻﻮرت دﻗﯿﻖ و ﺑﺮ اﺳﺎس رواﺑﻂ رﯾﺎﺿ ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ‪،‬‬
‫ﺑﻠ ﻪ ﺑﺎﯾﺪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﺎﺑﻊ ‪ sample‬و ﻧﻤﻮﻧﻪ ﺑﺮداری از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎی ﻣﻨﺎﺳﺐ اﯾﻦ اﺣﺘﻤﺎﻻت را ﺗﺨﻤﯿﻦ ﺑﺰﻧﯿﺪ‪ .‬اﻟﺒﺘﻪ ﺑﺴﯿﺎر ﺧﻮب اﺳﺖ‬
‫ﻋﺪدﻫﺎی ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه را ﺑﺎ آﻧﭽﻪ ﻓﮑﺮ ﻣ ﮐﻨﯿﺪ از رواﺑﻂ رﯾﺎﺿ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ ﻣﻘﺎﯾﺴﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ .١‬ﯾ‬
‫ﻋﺪد ﺑﻪ ﺗﺼﺎدف از ﺑﯿﻦ اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ١٠٠‬اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل اﯾﻦ ﮐﻪ اﯾﻦ ﻋﺪد زوج ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪ .٢‬ﺳﻪ ﻋﺪد از ﺑﯿﻦ اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ١٠٠‬ﺑﺪون ﺟﺎﯾ ﺬاری اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل آﻧﮑﻪ ﻫﺮ ﺳﻪ زوج ﺑﺎﺷﻨﺪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪ .٣‬ﺳﻪ ﻋﺪد از ﺑﯿﻦ اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ١٠٠‬ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺬاری اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل آﻧﮑﻪ ﻫﺮ ﺳﻪ زوج ﺑﺎﺷﻨﺪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪ .۴‬ﺳﻪ ﻋﺪد از ﺑﯿﻦ اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ١٠٠‬ﺑﺪون ﺟﺎﯾ ﺬاری اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل آﻧﮑﻪ ﻣﺠﻤﻮع آنﻫﺎ از ‪ ٢٠٠‬ﮐﻮﭼ ﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪ .۵‬ﺳﻪ ﻋﺪد از ﺑﯿﻦ اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ١٠٠‬ﺑﺪون ﺟﺎﯾ ﺬاری اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل آﻧﮑﻪ ﻣﺠﻤﻮع آنﻫﺎ از ‪ ١۵٠‬ﮐﻮﭼ ﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪ .۶‬ﺳﻪ ﻋﺪد از ﺑﯿﻦ اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ١٠٠‬ﺑﺪون ﺟﺎﯾ ﺬاری اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل آﻧﮑﻪ ﻣﺠﻤﻮع آنﻫﺎ از ‪ ١٠٠‬ﮐﻮﭼ ﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪ .٧‬ﺳﻪ ﻋﺪد از ﺑﯿﻦ اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ١٠٠‬ﺑﺪون ﺟﺎﯾ ﺬاری اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل آﻧﮑﻪ ﻣﺠﻤﻮع آنﻫﺎ از ‪ ٧٠‬ﮐﻮﭼ ﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪ .٨‬ﺳﻪ ﻋﺪد از ﺑﯿﻦ اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ١٠٠‬ﺑﺪون ﺟﺎﯾ ﺬاری اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل آﻧﮑﻪ ﻣﺠﻤﻮع آنﻫﺎ از ‪ ۵٠‬ﮐﻮﭼ ﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪ .٩‬ﺳﻪ ﻋﺪد از ﺑﯿﻦ اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ١٠٠‬ﺑﺪون ﺟﺎﯾ ﺬاری اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل آﻧﮑﻪ ﻣﺠﻤﻮع آنﻫﺎ از ‪ ١٠‬ﮐﻮﭼ ﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪ .١٠‬ﺳﻪ ﻋﺪد از ﺑﯿﻦ اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ١٠٠‬ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺬاری اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل آﻧﮑﻪ ﻣﺠﻤﻮع آنﻫﺎ از ‪ ٢٠٠‬ﮐﻮﭼ ﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪ .١١‬ﺳﻪ ﻋﺪد از ﺑﯿﻦ اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ١٠٠‬ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺬاری اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل آﻧﮑﻪ ﻣﺠﻤﻮع آنﻫﺎ از ‪ ١۵٠‬ﮐﻮﭼ ﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪ .١٢‬ﺳﻪ ﻋﺪد از ﺑﯿﻦ اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ١٠٠‬ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺬاری اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل آﻧﮑﻪ ﻣﺠﻤﻮع آنﻫﺎ از ‪ ١٠٠‬ﮐﻮﭼ ﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪ .١٣‬ﺳﻪ ﻋﺪد از ﺑﯿﻦ اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ١٠٠‬ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺬاری اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل آﻧﮑﻪ ﻣﺠﻤﻮع آنﻫﺎ از ‪ ٧٠‬ﮐﻮﭼ ﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪ .١۴‬ﺳﻪ ﻋﺪد از ﺑﯿﻦ اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ١٠٠‬ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺬاری اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل آﻧﮑﻪ ﻣﺠﻤﻮع آنﻫﺎ از ‪ ۵٠‬ﮐﻮﭼ ﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪ .١۵‬ﺳﻪ ﻋﺪد از ﺑﯿﻦ اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ١٠٠‬ﺑﺎ ﺟﺎﯾ ﺬاری اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل آﻧﮑﻪ ﻣﺠﻤﻮع آنﻫﺎ از ‪ ١٠‬ﮐﻮﭼ ﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪ .١۶‬ﭘﻨ ﻋﺪد از ﺑﯿﻦ اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ١٠٠‬ﺑﺪون ﺟﺎﯾ ﺬاری اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل آﻧﮑﻪ ﯾ‬
‫اﺳﺖ؟‬
‫از آﻧﻬﺎ ﺑﺮ ﯾ‬
‫دﯾ ﺮ ﺑﺨﺶﭘﺬﯾﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻘﺪر‬
‫‪ .١٧‬ده ﻋﺪد از ﺑﯿﻦ اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ١٠٠٠‬ﺑﺪون ﺟﺎﯾ ﺬاری اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل آﻧﮑﻪ ﻣﺠﻤﻮع آنﻫﺎ ﮐﻮﭼ ﺘﺮ از ‪ ٢٠٠٠‬ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻘﺪر‬
‫اﺳﺖ؟‬
‫‪ .١٨‬ده ﻋﺪد از ﺑﯿﻦ اﻋﺪاد ‪ ١‬ﺗﺎ ‪ ١٠٠٠‬ﺑﺪون ﺟﺎﯾ ﺬاری اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل آﻧﮑﻪ ﻣﺠﻤﻮع آنﻫﺎ ﮐﻮﭼ ﺘﺮ از ‪ ١٠٠٠‬ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻘﺪر‬
‫اﺳﺖ؟‬
‫‪ .١٩‬از ﯾ ﮐﯿﺴﻪ ﮐﻪ در آن ﺳﻪ رﻧﮓ آﺑﯽ و ﻗﺮﻣﺰ و ﺳﺒﺰ ﻫﺮ ﮐﺪام ‪ ۶٠‬ﻣﻬﺮه وﺟﻮد دارد‪ ،‬ﺑﻪ ﺗﺼﺎدف و ﺑﺪون ﺟﺎﯾ ﺬاری ‪ ٣٠‬ﻣﻬﺮه ﺑﺮ ﻣ‬
‫دارﯾﻢ‪ .‬اﺣﺘﻤﺎل آﻧﮑﻪ ﺣﺪاﻗﻞ ‪ ١۵‬ﻣﻬﺮه از اﯾﻦ ‪ ٣٠‬ﻣﻬﺮه ﻫﻢ رﻧﮓ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪ .٢٠‬ﯾ ﻣﻌﻠﻢ ﻫﻤﯿﺸﻪ ﺑﻪ ﺗﺼﺎدف از ﯾ از ﺷﺎﮔﺮدان ﺧﻮد ﺳﻮال ﻣ ﭘﺮﺳﺪ‪ .‬اﮔﺮ ﮐﻼس دارای ‪ ٢٣‬ﻧﻔﺮ داﻧﺶآﻣﻮز ﺑﺎﺷﺪ و ﻣﻌﻠﻢ در ﻃﻮل‬
‫ﺳﺎل ‪ ١١٢‬ﺑﺎر از داﻧﺶ آﻣﻮزان ﺳﻮال ﺑﭙﺮﺳﺪ‪ ،‬اﺣﺘﻤﺎل اﯾﻦ ﮐﻪ ﺑﺪﺷﺎﻧﺲ ﺗﺮﯾﻦ داﻧﺶآﻣﻮز ﺣﺪاﻗﻞ ‪ ١٠‬ﺑﺎر اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻘﺪر‬
‫اﺳﺖ؟ ﺑﺪﺷﺎﻧﺲﺗﺮﯾﻦ داﻧﺶآﻣﻮز ﮐﺴ اﺳﺖ ﮐﻪ ﺑﯿﺸﺘﺮﯾﻦ ﺗﻌﺪاد ﺑﺮای ﭘﺎﺳ ﺑﻪ ﺳﻮال اﻧﺘﺨﺎب ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪٧‬‬