‫نظریه رمزنگاری — تمرین دو‬
‫موعد تحویل‪ :‬سه شنبه ‪ 24‬فروردین‪ ،‬تا ساعت ‪ 12‬ظهر‬
‫نحوه تحویل‪ :‬نسخهی کاغذی (‪ )Hard Copy‬و یا ‪(1 PDF‬یا اگر عکس دست نوشته ی خوود را توا ووعوت ت ویو ایمیو ووی کنیوت‪،‬‬
‫نسخهی کاغذی را برای سهولت تص یح در اولین فرصت ت وی دهیت‪).‬‬
‫و اسبات عتدی‬
‫در تماوی وسائ سعی کنیت از کوتاهترین راه ح ووجود استفاده نماییت‪ .‬فرض کنیت که در جلسه اوت ان هستیت و زوان شوما‬
‫و تود است! بسیاری از وسائ (ولی نه همه آنها) راه ح ویانبری دارنت که با توجه به آن ح وسئله بسیار ساده خواهت شوت‪.‬‬
‫سعی کنیت تمام و اسبات را با قلم و کاغذ و حتاکثر یک واشین حساب وهنتسی انجام دهیت‪ ،‬و از نرمافزارهای رایانهای (وثو‬
‫‪ )Mathematica‬فقط برای وارسی جوابهایتان استفاده نماییت‪.‬‬
‫‪ )1‬وقادیر زیر را به کمک ‪ FLiT‬و اسبه نماییت‪:‬‬
‫‪mod 307‬‬
‫?‬
‫‪25306‬‬
‫‪mod 307‬‬
‫?‬
‫‪253062‬‬
‫‪mod 307‬‬
‫?‬
‫‪25305‬‬
‫)‪mod(2 307‬‬
‫?‬
‫‪25305‬‬
‫(راهنمایی برای وورد آخر‪ :‬کافی است از ترکیب ‪ FLiT‬و ‪ CRT‬استفاده نماییت‪).‬‬
‫‪ )2‬برای اثبات اول بودن اعتاد زیر‪ ،‬برای هر وورد یک گواه ‪ Pratt‬ارائه دهیت‪.‬‬
‫(ب) ‪523‬‬
‫(الف) ‪101‬‬
‫(ج) ‪10001‬‬
‫‪ )3‬اعتاد ورکب زیر را در نظر بگیریت‪ ،‬و برای هر وورد یک گواه ‪ Miller–Rabin‬ارائه دهیت‪.‬‬
‫(الف) ‪525‬‬
‫(ب) ‪14115‬‬
‫‪ )4‬توابع ) ‪ (n‬و ) ‪ (n‬را به ازای ‪30‬‬
‫(ج) ‪5561‬‬
‫‪ n‬رسم کنیت‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ )5‬در هریک از ووارد زیر‪ ،‬به کمک و ک اویلر (‪ )Euler’s Criterion‬وقتار‬
‫‪p‬‬
‫(الف) ‪30‬‬
‫‪ a‬و ‪43‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ 1‬ارسال به آدرس ‪maftouni@ce.sharif.edu‬‬
‫‪1‬‬
‫را و اسبه نماییت‪.‬‬
‫(ب) ‪18‬‬
‫‪ a‬و ‪97‬‬
‫(ج) ‪269‬‬
‫‪ a‬و ‪1005‬‬
‫‪p‬‬
‫‪p‬‬
‫‪ )5‬در هریک از ووارد فوق‪ ،‬نماد ژاکوبی را با کمک قانون ضرب و قانون تقاب درجه دو و اسبه نماییت‪.‬‬
‫‪ )1‬در ووارد زیر‪ ،‬نمادهای لژانتر و ژاکوبی را و اسبه نماییت‪ .‬در و اسبه نماد ژاکوبی‪ ،‬وجاز به تجزیه عتد نیستیت‪.2‬‬
‫‪24000‬‬
‫‪30011‬‬
‫?‬
‫‪19851‬‬
‫‪21377‬‬
‫?‬
‫‪ )6‬سؤال ‪ 3‬را با آزوون ‪ Solovay–Strassen‬ح نماییت‪.‬‬
‫‪ )9‬جذرهای زیر را به پیمانه وشخص شته و اسبه نماییت (اگر بوی‬
‫از یوک جوواب وجوود دارد‪ ،‬هموه جوابهوا را وشوخص‬
‫نماییت)‪:‬‬
‫?‬
‫)‪(mod 22567‬‬
‫?‬
‫)‪(mod 16637‬‬
‫‪9489‬‬
‫?‬
‫)‪(mod 16637‬‬
‫‪6572‬‬
‫‪9489‬‬
‫‪ )10‬به کمک ‪ FLiT‬و ‪ ،CRT‬وعادالت همنهشتی غیر خطی زیر را ح نماییت‪.‬‬
‫)‪(mod157‬‬
‫)‪(mod157‬‬
‫‪ 2‬البته توانهای دو را ویتوانیت استخراج کنیت‪ .‬وثالً وجازیت ‪ 100‬را به صورت ‪25‬‬
‫‪2‬‬
‫‪22‬‬
‫بنویسیت‪.‬‬
‫‪25‬‬
‫‪13‬‬
‫‪54x‬‬
‫‪10‬‬
‫‪57x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪2‬‬