‫ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎی ﮔﺴﺴﺘﻪ‬
‫ﻧﯿﻢﺳﺎل دوم ‪٩۵-٩۴‬‬
‫ﻣﺪرس‪ :‬ﺣﻤﯿﺪ ﺿﺮاﺑ زاده‬
‫داﻧﺸ ﺪهی ﻣﻬﻨﺪﺳ ﮐﺎﻣﭙﯿﻮﺗﺮ‬
‫ﺗﻤﺮﯾﻦ ﭘﻨﺠﻢ‬
‫اﺳﺘﻘﺮا و ﺑﺎزﮔﺸﺘ‬
‫‪ ١٢‬اردیﺑﻬﺸﺖ‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ١‬ﺳﻨ رﯾﺰهﻫﺎ‬
‫ﯾ دﺳﺘﻪی ‪ n‬ﺗﺎﯾ از ﺳﻨ رﯾﺰهﻫﺎ روی ﻣﯿﺰ دارﯾﻢ‪ .‬در ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ‪ ،‬ﯾ از دﺳﺘﻪﻫﺎی روی ﻣﯿﺰ را ﺑﻪ دو دﺳﺘﻪی ﻧﺎﺗﻬ‬
‫اﻓﺮاز ﻣ ﮐﻨﯿﻢ و ﺿﺮب ﺗﻌﺪاد ﺳﻨ رﯾﺰهﻫﺎی اﯾﻦ دو دﺳﺘﻪ را روی ﺗﺨﺘﻪ ﻣ ﻧﻮﯾﺴﯿﻢ‪ .‬در اﺑﺘﺪا ﻫﯿﭻ ﻋﺪدی روی ﺗﺨﺘﻪ‬
‫ﮐﻪ (ﺗﻨﻬﺎ دﺳﺘﻪﻫﺎﯾ ﺑﺎ اﻧﺪازهی ‪ ١‬روی ﻣﯿﺰ ﻗﺮار دارﻧﺪ‪ ،‬ﻣﺴﺘﻘﻞ از ﺷﯿﻮهی‬
‫ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻧﺸﺪه اﺳﺖ‪ .‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﺪ در اﻧﺘﻬﺎی ﮐﺎر )‬
‫‪n‬‬
‫اﻓﺮازﻫﺎ‪ ،‬ﺣﺎﺻﻞ ﺟﻤﻊ اﻋﺪاد روی ﺗﺨﺘﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪ ٢‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﺑﺮای ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ از اﺳﺘﻘﺮای ﻗﻮی روی ‪ n‬اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬
‫ﭘﺎﯾﻪی اﺳﺘﻘﺮا‪ :‬ﺑﺮای ‪ ،n = ٢‬ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ﯾ روش ﻣ ﺗﻮان اﻓﺮاز را اﻧﺠﺎم داد و ﻃ آن‪ ،‬دو دﺳﺘﻪ ﺑﺎ اﻧﺪازهﻫﺎی ‪ ١‬ﺳﺎﺧﺘﻪ‬
‫)(‬
‫ﻣ ﺷﻮﻧﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﻣﺠﻤﻮع ﺣﺎﺻﻞﺿﺮبﻫﺎ ‪ ١‬ﻣ ﺷﻮد ﮐﻪ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪ ٢٢‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺣﺎل ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺣ ﻢ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺮای ‪ n = ١, . . . , k‬درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣ ﺧﻮاﻫﯿﻢ آن را ﺑﺮای ‪ k + ١‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﻢ‪ .‬ﻓﺮض‬
‫ﮐﻨﯿﺪ در ﻣﺮﺣﻠﻪی اول‪ ،‬ﺳﻨ رﯾﺰهﻫﺎ ﺑﻪ دو دﺳﺘﻪ ﺑﺎ اﻧﺪازهﻫﺎی ‪ a‬و ‪ k + ١ − a‬اﻓﺮاز ﺷﻮﻧﺪ )‪ .(١ ⩽ a ⩽ k‬ﭘﺲ ﻋﺪد‬
‫ﮐﺮد‪.‬‬
‫ﻃﺒﻖ(‬
‫اﺳﺘﻔﺎده )‬
‫)‪ a × (k + ١ − a‬روی ﺗﺨﺘﻪ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﺣﺎل ﻣ ﺗﻮان از ﻓﺮض اﺳﺘﻘﺮا ﺑﺮای ‪ a‬و ‪(a) k + ١ − a‬‬
‫‪k+١−a‬‬
‫و‬
‫ﻓﺮض اﺳﺘﻘﺮا‪ ،‬ﺑﻌﺪ از اﻓﺮاز اﯾﻦ دو دﺳﺘﻪ‪ ،‬در اﻧﺘﻬﺎ ﺟﻤﻊ اﻋﺪاد ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ اﯾﻦ دﺳﺘﻪﻫﺎ ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫(‪٢ ( ) ٢‬‬
‫)‬
‫‪a‬‬
‫‪k+١−a‬‬
‫‪ ٢ +‬ﮐﻪ اﯾﻦ‬
‫ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬ﭘﺲ ﺟﻤﻊ ﮐﻞ اﻋﺪاد ﺑﺮای ﺣﺎﻟﺖ ‪ n = k + ١‬ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ )‪+ a(k + ١ − a‬‬
‫‪٢‬‬
‫) (‬
‫▷‬
‫‪. k+١‬‬
‫ﻣﻘﺪار ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬
‫‪٢‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٢‬رﻧ آﻣﯿﺰی‬
‫ﮐﻨﯿﺪ ‪ A١ , . . . , An‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪﻫﺎﯾ ﻣﺘﻨﺎﻫ و ﺣﺪاﻗﻞ دوﻋﻀﻮی ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﻃﻮری ﮐﻪ ‪ .∀i, j : |Ai ∩ Aj | ̸= ١‬اﮔﺮ‬
‫ﻓﺮض ∪‬
‫‪ ،X = ni=١ Ai‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ اﻋﻀﺎی ‪ X‬را ﻣ ﺗﻮان ﺑﺎ دو رﻧ آﺑ و ﻗﺮﻣﺰ رﻧ ﮐﺮد ﻃﻮری ﮐﻪ ﻫﯿﭻﮐﺪام از ‪Ai‬ﻫﺎ‬
‫ﺗ رﻧ ﻧﺒﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﺑﺮای ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ از اﺳﺘﻘﺮا روی ‪ n‬اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬
‫ﭘﺎﯾﻪی اﺳﺘﻘﺮا‪ :‬ﺑﺮای ‪ ،n = ١‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﮐﻪ ‪ A١‬ﺣﺪاﻗﻞ دو ﻋﻀﻮی اﺳﺖ‪ ،‬ﻣ ﺗﻮان ﯾ‬
‫ﯾ را ﻗﺮﻣﺰ رﻧ ﮐﺮد و ﺑﻘﯿﻪ را ﺑﻪ دلﺧﻮاه رﻧ آﻣﯿﺰی ﮐﺮد‪.‬‬
‫از اﻋﻀﺎی ‪ A١‬را آﺑ و‬
‫ﺣﺎل ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺣ ﻢ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺮای ‪ n = k‬درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣ ﺧﻮاﻫﯿﻢ آن را ﺑﺮای ‪ n = k + ١‬ﻧﺸﺎن دﻫﯿﻢ‪ .‬ﻓﺮض‬
‫∪‬
‫ﮐﻨﯿﺪ ‪ .X ′ = ki=١ Ai‬اﺑﺘﺪا ‪ X ′‬را ﻃﺒﻖ ﻓﺮض اﺳﺘﻘﺮا رﻧ آﻣﯿﺰی ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺣﺎل ﺗﻨﻬﺎ اﻋﻀﺎی ‪X \ X ′ ⊆ Ak+١‬‬
‫رﻧ آﻣﯿﺰی ﻧﺸﺪهاﻧﺪ‪ .‬اﮔﺮ در اﯾﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ در ﻣﯿﺎن اﻋﻀﺎی ‪ Ak+١‬دو ﻋﻀﻮ ﺑﺎ رﻧ ﻫﺎی ﻣﺘﻔﺎوت وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪،‬‬
‫ﺑﻘﯿﻪی اﻋﻀﺎی ‪ Ak+١‬را ﺑﻪ دلﺧﻮاه رﻧ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ و رﻧ آﻣﯿﺰی ﻣﻄﻠﻮب ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬در ﻏﯿﺮ اﯾﻦ ﺻﻮرت‪ ،‬ﺗﻤﺎم‬
‫اﻋﻀﺎی رﻧ ﺷﺪهی ‪ Ak+١‬ﯾ رﻧ ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﺑﺪون ﮐﺎﺳﺘﻦ از ﮐﻠﯿﺖ ﻣﺴﺌﻠﻪ‪ ،‬ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ اﯾﻦ رﻧ ﻗﺮﻣﺰ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬اﮔﺮ‬
‫‪ Ak+١‬ﻋﻀﻮی رﻧ ﻧﺸﺪه داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬آن را آﺑ رﻧ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ و رﻧ آﻣﯿﺰی ﻣﻄﻠﻮب ﺣﺎﺻﻞ ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﭘﺲ ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ‬
‫در اﯾﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺗﻤﺎم اﻋﻀﺎی ‪ Ak+١‬رﻧ ﺷﺪهاﻧﺪ و ﻫﻤﻪ رﻧ ﻗﺮﻣﺰ دارﻧﺪ‪ .‬ﯾ از اﯾﻦ اﻋﻀﺎی رﻧ ﺷﺪه ﻣﺜﻞ ‪ t‬را در‬
‫ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ و رﻧ آن را ﺑﻪ آﺑ ﺗﻐﯿﯿﺮ دﻫﯿﺪ‪ .‬ادﻋﺎ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ i‬ﮐﻪ ‪ ،١ ⩽ i ⩽ k‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ‪ Ai‬دو رﻧ ﻣﺘﻔﺎوت‬
‫در ﺑﯿﻦ اﻋﻀﺎی ﺧﻮد دارد‪ .‬از آنﺟﺎ ﮐﻪ ‪ Ak+١‬ﺣﺪاﻗﻞ دو ﻋﻀﻮی اﺳﺖ‪ ،‬ﺣﺪاﻗﻞ دو ﻋﻀﻮ ﺑﺎ رﻧ ﻫﺎی ﻣﺘﻔﺎوت دارد‪.‬‬
‫∈ ‪ t‬از ﻓﺮض اﺳﺘﻘﺮا دارﯾﻢ ﮐﻪ ‪ Ai‬ﺣﺪاﻗﻞ دو ﻋﻀﻮ ﺑﺎ دو رﻧ ﻣﺘﻔﺎوت دارد‪ .‬اﮔﺮ‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ .i ̸= k + ١‬اﮔﺮ ‪/ Ai‬‬
‫‪ ،t ∈ Ai‬آنﮔﺎه ﭼﻮن ‪ ،Ai ∩ Ak+١ ̸= ١‬اﯾﻦ دو ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺣﺪاﻗﻞ دو ﻋﻀﻮ ﻣﺸﺘﺮک دارﻧﺪ‪ .‬ﭘﺲ رﻧ‬
‫ﻣﺸﺘﺮﮐﺸﺎن ﺑﻪ ﺟﺰ ‪ t‬ﻗﺮﻣﺰ اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ‪ Ai‬ﺣﺪاﻗﻞ دو ﻋﻀﻮ ﺑﺎ رﻧ ﻫﺎی ﻣﺘﻔﺎوت دارد‪.‬‬
‫ﺗﻤﺎم اﻋﻀﺎی‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .٣‬ﻧﻘﺎط ﻫﻢﻓﺎﺻﻠﻪ‬
‫ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﺑﺮای ﻫﺮ ﻋﺪد ﻃﺒﯿﻌ ‪ n‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ‪ Pn‬از ﻧﻘﺎط ﺻﻔﺤﻪ وﺟﻮد دارد ﮐﻪ ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ از اﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‪،‬‬
‫دﻗﯿﻘﺎً ‪ n‬ﻧﻘﻄﻪی دﯾ ﺮ از اﯾﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺑﺎ ﻓﺎﺻﻠﻪی ‪ ١‬از آن وﺟﻮد داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﺑﺮای ﺣﻞ ﻣﺴﺌﻠﻪ از اﺳﺘﻘﺮا روی ‪ n‬اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬
‫ﭘﺎﯾﻪی اﺳﺘﻘﺮا‪ :‬اﮔﺮ ‪ ،n = ١‬ﮐﺎﻓ اﺳﺖ دو ﻧﻘﻄﻪ ﺑﻪ ﻓﺎﺻﻠﻪی ‪ ١‬از ﯾ دﯾ ﺮ در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﻢ‪.‬‬
‫ﺣﺎل ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺣ ﻢ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺮای ‪ n = k‬درﺳﺖ اﺳﺖ‪ .‬آن را ﺑﺮای ‪ n = k + ١‬ﺛﺎﺑﺖ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ‪ Pk‬را‬
‫در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ و ﻧﻘﺎط آن را ‪ a١ , . . . , am‬ﺑﻨﺎﻣﯿﺪ‪ .‬ﺑﺮدار ‪ v‬را در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ و ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﻧﻘﺎط ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ‪ Pk′‬ﺣﺎﺻﻞ‬
‫اﻧﺘﻘﺎل ﻧﻘﺎط ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ‪ Pk‬ﺗﺤﺖ ‪ v‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬اﯾﻦ ﻧﻘﺎط را ‪ a′١ , . . . , a′m‬ﻣ ﻧﺎﻣﯿﻢ ﮐﻪ ‪ a′i‬ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ‪ ai‬اﺳﺖ‪ .‬ادﻋﺎ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‬
‫ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب ﻣﻨﺎﺳﺐ ‪ ،v‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪی ‪ Pk ∪ Pk′‬ﺟﻮاﺑ ﺑﺮای ﻣﺴﺌﻠﻪ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺗﻮﺟﻪ ﮐﻨﯿﺪ ‪ v‬ﻫﺮ ﺑﺮداری ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺗﻌﺪاد ﻧﻘﺎط ﺑﺎ ﻓﺎﺻﻠﻪ ﯾ از ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ ﺣﺪاﻗﻞ ‪ k + ١‬ﻣ ﺷﻮد‪ .‬ﭼﺮا ﮐﻪ ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ‪ i‬ﮐﻪ‬
‫‪ ،١ ⩽ i ⩽ m‬ﻓﺎﺻﻠﻪی ﻧﻘﻄﻪی ‪ (a′i ) ai‬ﺗﺎ دﻗﯿﻘﺎً ‪ k‬ﻧﻘﻄﻪ از ‪ (Pk ) Pk′‬ﯾ اﺳﺖ و ﻫﻤﭽﻨﯿﻦ ﻓﺎﺻﻠﻪی آن ﺗﺎ ‪(ai ) a′i‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ‪ ١‬اﺳﺖ‪ .‬ﭘﺲ ﮐﺎﻓ اﺳﺖ ﺑﺮدار ‪ v‬را ﻃﻮری اﻧﺘﺨﺎب ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ اﯾﻦ ﺗﻌﺪاد ﺑﺮای ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ دﻗﯿﻘﺎً ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪ k + ١‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﯾﻌﻨ ﺑﺎﯾﺪ ﺑﺮای ﻫﺮ ‪ i‬و ‪ j‬ﮐﻪ ‪ ١ ⩽ i, j ⩽ m‬و ‪ ،i ̸= j‬ﻓﺎﺻﻠﻪی ‪ ai‬و ‪ a′j‬ﻧﺎﺑﺮاﺑﺮ ﯾ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ﺑﻪ ازای ﻫﺮ ‪ ،i, j‬ﺣﺪاﮐﺜﺮ دو ﻧﻘﻄﻪ وﺟﻮد دارﻧﺪ ﮐﻪ در ﻓﺎﺻﻠﻪی ﯾ از ‪ ai‬و ‪ aj‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﺣﺪاﮐﺜﺮ ﻣﺘﻨﺎﻫ ﺟﻬﺖ ﺑﺮای‬
‫اﻧﺘﺨﺎب ﺑﺮدار ‪ v‬ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﺷﺮاﯾﻂ ﻧﺎﻣﻄﻠﻮب را ﺑﻪ وﺟﻮد آورد‪ .‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﮐﻪ ﺗﻌﺪاد ﺟﻬﺖﻫﺎ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫ اﺳﺖ‪ ،‬ﺣﺘﻤﺎً‬
‫▷‬
‫ﺟﻬﺖ ﻣﻨﺎﺳﺒ ﺑﺮای ‪ v‬وﺟﻮد دارد‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۴‬اﻧﺘﻘﺎل ﺳﺮﯾﻊ اﺧﺒﺎر‬
‫‪ n‬ﻧﻔﺮ دارﯾﻢ ﮐﻪ در اﺑﺘﺪا ﻫﺮ ﯾ از آنﻫﺎ ﯾ ﺧﺒﺮ ﻣﺘﻤﺎﯾﺰ دارﻧﺪ )‪ .(n ⩾ ۴‬در ﻫﺮ ﺗﻤﺎس‪ ،‬دو ﻧﻔﺮ ﺑﺎ ﻫﻢ ﺻﺤﺒﺖ‬
‫ﻣ ﮐﻨﻨﺪ و ﺗﻤﺎﻣ اﺧﺒﺎری را ﮐﻪ ﻣ داﻧﻨﺪ ﺑﻪ ﯾ دﯾ ﺮ ﻣ ﮔﻮﯾﻨﺪ‪ .‬ﺛﺎﺑﺖ ﮐﻨﯿﺪ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﺗﻤﺎسﻫﺎ ﻣ ﺗﻮاﻧﺪ ﻃﻮری ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺑﺎ‬
‫)‪ (٢n − ۴‬ﺑﺎر ﺗﻤﺎس‪ ،‬ﺗﻤﺎﻣ اﻓﺮاد از ﺗﻤﺎﻣ اﺧﺒﺎر ﻣﻄﻠﻊ ﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬ﺑﺮای اﺛﺒﺎت ﻣﺴﺌﻠﻪ از اﺳﺘﻘﺮا روی ‪ n‬اﺳﺘﻔﺎده ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬
‫ﭘﺎﯾﻪی اﺳﺘﻘﺮا‪ :‬اﮔﺮ ‪ n = ۴‬ﺑﺎﺷﺪ و اﻓﺮاد را ‪ a١ , . . . , a۴‬ﺑﻨﺎﻣﯿﻢ‪ ،‬ﺗﻤﺎسﻫﺎ را ﺑﻪ ﺗﺮﺗﯿﺐ زﯾﺮ در ﻧﻈﺮ ﺑ ﯿﺮﯾﺪ‪:‬‬
‫} ‪{a١ , a٢ } , {a٣ , a۴ } , {a١ , a٣ } , {a٢ , a۴‬‬
‫ﭘﺲ ﻣ ﺗﻮاﻧﯿﻢ ﺑﺎ ‪ ۴ = ٢ × ۴ − ۴‬ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺗﻤﺎس‪ ،‬ﺗﻤﺎﻣ اﻃﻼﻋﺎت را ﻣﻨﺘﻘﻞ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬
‫ﺣﺎل ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ﺣ ﻢ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺑﺮای ‪ n = k‬درﺳﺖ ﺑﺎﺷﺪ‪ .‬آن را ﺑﺮای ‪ n = k+١‬ﺛﺎﺑﺖ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬اﻓﺮاد را ‪a١ , . . . , ak+١‬‬
‫ﺑﻨﺎﻣﯿﺪ‪ .‬اﮔﺮ در اوﻟﯿﻦ ﻣﺮﺣﻠﻪ ‪ ak+١‬و ‪ ak‬ﯾ ﺗﻤﺎس داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ak ،‬از ﺗﻤﺎﻣ اﺧﺒﺎری ﮐﻪ ‪ ak+١‬دارد ﻣﻄﻠﻊ ﻣ ﺷﻮد‪.‬‬
‫ﺳﭙﺲ ‪ ak+١‬را ﺣﺬف ﻣ ﮐﻨﯿﻢ و ﻃﺒﻖ ﻓﺮض اﺳﺘﻘﺮا‪ ،‬ﻣﺴﺌﻠﻪ را ﺑﺮای ‪ k‬ﻧﻔﺮ ﺑﺎﻗ ﻣﺎﻧﺪه ﺣﻞ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬در ﻧﺘﯿﺠﻪی آن‪،‬‬
‫ﻫﻤﻪی اﯾﻦ ‪ k‬ﻧﻔﺮ ﺗﻮﺳﻂ ‪ ٢k − ۴‬ﺗﻤﺎس‪ ،‬از اﺧﺒﺎر ﯾ دﯾ ﺮ ﻣﻄﻠﻊ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ و ﭼﻮن ‪ ak‬اﺧﺒﺎر ‪ ak+١‬را ﻧﯿﺰ در ﺑﺮ‬
‫داﺷﺖ‪ ،‬ﻧﺘﯿﺠﻪ ﻣ ﮔﯿﺮﯾﻢ ﮐﻪ ‪ a١ , . . . , ak‬از ﻫﻤﻪی اﺧﺒﺎر ﮐﻞ ﺟﻤﻊ )ﺑﺎ اﺣﺘﺴﺎب ‪ (ak+١‬ﻣﻄﻠﻊاﻧﺪ‪ .‬ﺣﺎل ﯾ ﺗﻤﺎس‬
‫ﺑﯿﻦ ‪ ak+١‬و ‪ ak‬ﺑﺮﻗﺮار ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ ak .‬ﮐﻪ از ﮐﻞ اﺧﺒﺎر ﻣﻄﻠﻊ ﺑﻮد‪ ،‬اﯾﻦ اﺧﺒﺎر را ﺑﻪ ‪ ak+١‬ﻧﯿﺰ اﻧﺘﻘﺎل ﻣ دﻫﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﺑﺎ‬
‫‪ ١ + (٢k − ۴) + ١ = ٢(k + ١) − ۴‬ﺗﻤﺎس‪ ،‬اﺧﺒﺎر را ﺑﯿﻦ ﻫﻤﻪ ﭘﺨﺶ ﮐﺮدﯾﻢ‪ .‬ﭘﺲ ﺑﻨﺎ ﺑﻪ اﺳﺘﻘﺮا ﺣ ﻢ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺛﺎﺑﺖ‬
‫▷‬
‫ﻣ ﮔﺮدد‪.‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .۵‬دﻧﺒﺎﻟﻪﻫﺎی ﮐﻤ‬
‫ﻓﺮض ﮐﻨﯿﺪ ‪ an‬ﺗﻌﺪاد اﻋﺪاد ‪ n‬رﻗﻤ ﻣﺘﺸ ﻞ از ارﻗﺎم ‪ ٢ ،١‬و ‪ ٣‬ﺑﺎﺷﺪ ﮐﻪ ﺗﻌﺪاد زوﺟ رﻗﻢ ‪ ١‬دارﻧﺪ‪ .‬ﯾ‬
‫ﺑﺎزﮔﺸﺘ ﺑﺮای ‪ an‬ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ و ﺳﭙﺲ اﯾﻦ راﺑﻄﻪی ﺑﺎزﮔﺸﺘ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ﺣﻞ‪ .‬دﻧﺒﺎﻟﻪی ﮐﻤ‬
‫راﺑﻄﻪای‬
‫‪ bn‬را ﺑﺮاﺑﺮ ﺗﻌﺪاد اﻋﺪادی ﺗﻌﺮﯾﻒ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ ﮐﻪ ﻓﺮد رﻗﻢ ‪ ١‬دارﻧﺪ‪ .‬ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ‪:‬‬
‫‪an = ٢an−١ + bn−١‬‬
‫‪bn = ٢bn−١ + an−١‬‬
‫ﺟﻤﻼت اوﻟﯿﻪی اﯾﻦ دو دﻧﺒﺎﻟﻪ ‪ a١ = ٢‬و ‪ b١ = ١‬ﻫﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫ﺑﺮای ﺣﻞ راﺑﻄﻪ ﺑﺎزﮔﺸﺘ ‪ ،‬از ﻗﺴﻤﺖ ﻗﺒﻞ دارﯾﻢ‪:‬‬
‫‪bn−١ = an − ٢an−١ ⇒ bn = ٢bn−١ + an−١ = ٢an − ٣an−١‬‬
‫‪⇒ an = ٢an−١ + bn−١ = ۴an−١ − ٣an−٢‬‬
‫ﭘﺲ ﻣﻌﺎدﻟﻪی ﻣﺸﺨﺼﻪی اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ r٢ − ۴r + ٣ = ٠‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ .‬رﯾﺸﻪﻫﺎی اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ‪r١ = ٣, r٢ = ١‬‬
‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ an = α١ r١n + α٢ r٢n‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ﮐﻪ ﻣﻘﺪار ﻣﻨﺎﺳﺐ ‪ α١‬و ‪ α٢‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻣﻘﺪار‬
‫‪n‬‬
‫▷‬
‫‪ a١‬و ‪ a٢‬ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣ ﺷﻮﻧﺪ و در ﻧﻬﺎﯾﺖ ﺧﻮاﻫﯿﻢ داﺷﺖ‪.an = ٣ ٢+١ :‬‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ۶‬ﺣﻞ رواﺑﻂ ﺑﺎزﮔﺸﺘ‬
‫راﺑﻄﻪی ﺻﺮﯾﺤ ﺑﺮای رواﺑﻂ ﺑﺎزﮔﺸﺘ زﯾﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ‪a١ = ١٨, a٢ = ٢۴, an = an−١ + ۶an−٢‬‬
‫ب( ‪b١ = ٠, b٢ = ١۶, bn = ٨bn−١ − ١۶bn−٢‬‬
‫ج( ‪c١ = ٠, c٢ = ۴۶, cn = −۴cn−١ + ١٢cn−٢ − ١۴‬‬
‫د( ‪d١ = ١٨, d٢ = ١٠٢, dn = ۴dn−١ − ٣dn−٢ + ۴ × ٣n‬‬
‫ه( ‪e١ = ۴, e٢ = −٢٠, en = ٢en−١ − en−٢ − ١٢n‬‬
‫ﺣﻞ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ﻣﻌﺎدﻟﻪی ﻣﺸﺨﺼﻪی اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ r٢ − r − ۶ = ٠‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪r٢ − r − ۶ = ٠ ⇒ r١ = −٢, r٢ = ٣ ⇒ an = α١ (−٣)n + α٢ ۵n‬‬
‫ﺑﺎ ﺟﺎیﮔﺬاری ﻣﻘﺎدﯾﺮ اوﻟﯿﻪی راﺑﻄﻪ در اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‪ ،‬ﻣﻘﺪار ﻣﻨﺎﺳﺐ را ﺑﺮای ‪ α١‬و ‪ α٢‬ﭘﯿﺪا ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺟﻮاب ﻧﻬﺎﯾ‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ an = −٣ × (−٢)n + ۴ × ٣n‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪.‬‬
‫ب( ﻣﻌﺎدﻟﻪی ﻣﺸﺨﺼﻪی اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ r٢ − ٨r + ١۶ = ٠‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪r٢ − ٨r + ١۶ = ٠ ⇒ r١ = r٢ = ۴‬‬
‫‪⇒ bn = α١ ۴n + α٢ n۴n‬‬
‫ﺑﺎ ﺟﺎیﮔﺬاری ﻣﻘﺎدﯾﺮ اوﻟﯿﻪی راﺑﻄﻪ در اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‪ ،‬ﻣﻘﺪار ﻣﻨﺎﺳﺐ را ﺑﺮای ‪ α١‬و ‪ α٢‬ﭘﯿﺪا ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﺟﻮاب ﻧﻬﺎﯾ‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ bn = ۴n − n۴n‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪.‬‬
‫ج( راﺑﻄﻪی ﻫﻤ ﻦ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه از اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ cn = −۴cn−١ + ١٢cn−٢‬اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪی ﻣﺸﺨﺼﻪی‬
‫اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ r٢ + ۴r − ١٢ = ٠‬اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ r١ = −۶‬و ‪ r٢ = ٢‬رﯾﺸﻪﻫﺎی آن ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﺟﻮاب‬
‫ﻋﻤﻮﻣ اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ cn = α١ (−۶)n + α٢ ٢n‬اﺳﺖ‪ .‬ﺣﺎل ﯾ ﺟﻮاب ﺧﺎص ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﻪ دﺳﺖ‬
‫ﻣ آورﯾﻢ‪ .‬ﻣ داﻧﯿﻢ ﯾ ﺟﻮاب ﺧﺎص اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ cn = β٠‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ ﺟﺎیﮔﺬاری اﯾﻦ ﺟﻮاب در‬
‫راﺑﻄﻪی ﺑﺎزﮔﺸﺘ ‪ ،‬ﻣﻘﺪار ﻣﻨﺎﺳﺐ ‪ β٠‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﯾ ﺟﻮاب ﺧﺎص ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ cn = ٢‬ﺑﻪ دﺳﺖ‬
‫ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﺟﻮاب راﺑﻄﻪی ﺑﺎزﮔﺸﺘ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﮐﻪ ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ و ﺟﻮاب ﺧﺼﻮﺻ راﺑﻄﻪ اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻪ‬
‫ﺻﻮرت ‪ cn = α١ (−۶)n + α٢ ٢n + ٢‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﺑﺎ ﺟﺎیﮔﺬاری ﻣﻘﺎدﯾﺮ اوﻟﯿﻪی راﺑﻄﻪ در اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‪،‬‬
‫ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﻣﻨﺎﺳﺐ ‪ α١‬و ‪ α٢‬را ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪ .‬ﺟﻮاب ﻧﻬﺎﯾ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ cn = (−۶)n + ٢ × ٢n + ٢‬ﺑﻪ‬
‫دﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪.‬‬
‫د( راﺑﻄﻪی ﻫﻤ ﻦ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه از اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ dn = ۴dn−١ − ٣dn−٢‬اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪی ﻣﺸﺨﺼﻪی‬
‫اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ r٢ − ۴r + ٣ = ٠‬اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ r١ = ١‬و ‪ r٢ = ٣‬رﯾﺸﻪﻫﺎی آن ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﺟﻮاب‬
‫ﻋﻤﻮﻣ اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ dn = α١ + α٢ ٣n‬اﺳﺖ‪ .‬اﺑﺘﺪا ﯾ ﺟﻮاب ﺧﺎص ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪.‬‬
‫ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﮐﻪ ‪ ٣‬ﯾ رﯾﺸﻪی ﻣﻌﺎدﻟﻪی ﻣﺸﺨﺼﻪ اﺳﺖ‪ ،‬ﻣ داﻧﯿﻢ ﯾ ﺟﻮاب ﺧﺎص اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫‪ dn = β١ n٣n‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ ﺟﺎیﮔﺬاری اﯾﻦ ﺟﻮاب در راﺑﻄﻪی ﺑﺎزﮔﺸﺘ ‪ ،‬ﻣﻘﺪار ﻣﻨﺎﺳﺐ ‪ β١‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪.‬‬
‫ﯾ ﺟﻮاب ﺧﺎص ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ dn = ۶n٣n‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﺟﻮاب راﺑﻄﻪی ﺑﺎزﮔﺸﺘ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﮐﻪ‬
‫ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ و ﺟﻮاب ﺧﺼﻮﺻ راﺑﻄﻪ اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ dn = α١ + α٢ ٣n + ۶n٣n‬ﺑﻪ دﺳﺖ‬
‫ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﺑﺎ ﺟﺎیﮔﺬاری ﻣﻘﺎدﯾﺮ اوﻟﯿﻪی راﺑﻄﻪ در اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‪ ،‬ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﻣﻨﺎﺳﺐ ‪ α١‬و ‪ α٢‬را ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪.‬‬
‫ﺟﻮاب ﻧﻬﺎﯾ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ dn = ۶ − ٢ × ٣n + ۶n٣n‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪.‬‬
‫ه( راﺑﻄﻪی ﻫﻤ ﻦ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه از اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ en = ٢en−١ − en−٢‬اﺳﺖ‪ .‬ﻣﻌﺎدﻟﻪی ﻣﺸﺨﺼﻪی اﯾﻦ‬
‫راﺑﻄﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ r٢ − ٢r + ١ = ٠‬اﺳﺖ ﮐﻪ ‪ r١ = r٢ = ١‬رﯾﺸﻪﻫﺎی آن ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ .‬ﭘﺲ ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ‬
‫اﯾﻦ راﺑﻄﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ en = α١ + α٢ n‬اﺳﺖ‪ .‬اﺑﺘﺪا ﯾ ﺟﻮاب ﺧﺎص ﺑﺮای ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪ .‬ﺑﺎ‬
‫ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﯾﻦ ﮐﻪ ‪ ١‬ﯾ رﯾﺸﻪی درﺟﻪی دو از ﻣﻌﺎدﻟﻪی ﻣﺸﺨﺼﻪ اﺳﺖ‪ ،‬ﻣ داﻧﯿﻢ ﯾ ﺟﻮاب ﺧﺎص اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ en = β٢ n٢ + β٣ n٣‬اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺎ ﺟﺎیﮔﺬاری اﯾﻦ ﺟﻮاب در راﺑﻄﻪی ﺑﺎزﮔﺸﺘ ‪ ،‬ﻣﻘﺪار ﻣﻨﺎﺳﺐ ‪β٢‬‬
‫و ‪ β٣‬را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣ ﮐﻨﯿﻢ‪ .‬ﯾ ﺟﻮاب ﺧﺎص ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ en = −۶n٢ − ٢n٣‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﭘﺲ‬
‫ﺟﻮاب راﺑﻄﻪی ﺑﺎزﮔﺸﺘ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﮐﻪ ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻮاب ﻋﻤﻮﻣ و ﺟﻮاب ﺧﺼﻮﺻ راﺑﻄﻪ اﺳﺖ‪ ،‬ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫‪ en = α١ + α٢ n − ۶n٢ − ٢n٣‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آﯾﺪ‪ .‬ﺑﺎ ﺟﺎیﮔﺬاری ﻣﻘﺎدﯾﺮ اوﻟﯿﻪی راﺑﻄﻪ در اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‪ ،‬ﻣﻘﺎدﯾﺮ‬
‫ﻣﻨﺎﺳﺐ ‪ α١‬و ‪ α٢‬را ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣ آورﯾﻢ‪ .‬ﺟﻮاب ﻧﻬﺎﯾ ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ en = ۴ + ٨n − ۶n٢ − ٢n٣‬ﺑﻪ دﺳﺖ‬
‫ﻣ آﯾﺪ‪.‬‬
‫▷‬
‫ﻣﺴﺌﻠﻪی ‪ .⋆ ٧‬ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﻮﻟﺪ‬
‫رواﺑﻂ ﺑﺎزﮔﺸﺘ زﯾﺮ را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﻮﻟﺪ ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫اﻟﻒ( ‪a٠ = ٢, an = ٢an−١ + ٣‬‬
‫ب( ‪a٠ = ۵, a١ = ۵, an = ٢an−٢‬‬
‫ﺣﻞ‪.‬‬
:‫ دارﯾﻢ‬.‫ اﺳﺖ‬G(x) =
∑∞
i=٠
ai xi ‫اﻟﻒ( ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻮﻟﺪ اﯾﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
an = ٢an−١ + ٣ ⇒ an xn = ٢an−١ xn + ٣xn
∞
∞
∞
∑
∑
∑
n
n
⇒
an x =
٢an−١ x +
٣xn
n=١
n=١
⇒ G(x) − a٠ = ٢xG(x) +
n=١
∞
∑
٣xn
n=١
٣x
١−x
٢
٣x
۵
٣
⇒ G(x) =
+
=
−
١ − ٢x (١ − x)(١ − ٢x)
١ − ٢x ١ − x
∑
∑∞
٣
۵
i
i i
‫ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬G(x) ‫ در‬xi ‫ ﭘﺲ ﺿﺮﯾﺐ‬، ١−x
= ∞
i=٠ ٣x ‫ و‬١−٢x =
i=٠ (۵ × ٢ )x ‫ﺣﺎل ﭼﻮن‬
.ai = ۵ × ٢i − ٣ ‫ ﭘﺲ‬.۵ × ٢i − ٣
∑
i
:‫ دارﯾﻢ‬.‫ اﺳﺖ‬G(x) = ∞
i=٠ ai x ‫ب( ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻮﻟﺪ اﯾﻦ دﻧﺒﺎﻟﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
⇒ G(x) − ٢xG(x) = ٢ +
an = ٢an−٢ ⇒ an xn = ٢an−٢ xn
∞
∞
∑
∑
n
⇒
an x =
٢an−٢ xn
n=٢
n=٢
⇒ G(x) − a٠ − a١ x = ٢x٢ G(x)
⇒ G(x) − ٢x٢ G(x) = ۵x + ۵
∞
∞
∑
∑
n
۵x + ۵
n ٢n
⇒ G(x) =
= (۵x + ۵)
٢ x =
۵ × ٢⌊ ٢ ⌋ xn
٢
١ − ٢x
n=٠
n=٠
.ai = ۵ × ٢⌊ ٢ ⌋ ‫ ﭘﺲ‬.۵ × ٢⌊ ٢ ⌋ ‫ ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬G(x) ‫ در‬xi ‫ﭘﺲ ﺿﺮﯾﺐ‬
n
▷
n