Ç¿“ üµÆû ‚÷‘Úþ ‘÷ ‚“
‚µÆÆð ö‘Þµ¡‘¨
üµÈ𥑓 ý‚Ф - ÂÖµ¨ - –‘±™ ý‘û©ø¤
85 ƒþ‘•
ü€ƒúõ ÀƒÞŸ
: !
.[
p
F℄
) p
T
[p
T℄
:
ÓÜ¡ ö‘û“
2 Àƒ€î ´“‘™
.´Æƒ÷ ‘þð
0
߃ƒã— ø ¢ÂƒÚ“ ¤ I ¤ÀÖõ ø P ý‚õ‘÷“ ý¢ø ¤ø ö€ä ‚“ ‚î ´ª÷ ý‚õ‘÷“ ö—üõ ‘þ : halting problem 0
?‚÷ ‘þ ¢ªüõ Ó쁵õ ö ýÂ› ݃û¢ P ý‚õ‘÷“ ‚“ ý¢ø ¤ø ö€ä ‚“ ¤ I ¤ÀÖõ Â𐠂î À€î
!¢¤À÷ ¢›ø ý‚õ‘÷“ ߃€ ݃€îüõ ´“‘™
.À€îüõ ۟ ¤ ÂÑ÷ ¢¤õ ‚ÜÿÆõ ‚î ¢¤¢ ¢›ø
–¤¬ ßþ ‚“ ø ¢Âƒðüõ
Ó쁵õ Â› ‚î ¢“ ßþ
.¢ªüõ ‘Þ—
K
H
P
Û·õ ý¢ø ¤ø ¤ÀÖõ ×þ
ü›ø ¡ Âð .Àû¢üõ
H
K
H
ý‚õ‘÷“ Àƒ€î ­Âê ၮõ ßþ –‘±™ ýÂ“
ý‚õ‘÷“ : Ýþ¥‘¨üõ –¤¬ ßþ ‚“ ¤
ý‚õ‘÷“
K
‚“ ý¢ø ¤ø ø¢ Âû ö€ä ‚“ ¤ ¤ÀÖõ ßþ ‚î À€îüõ ÛÞä
ýÂ› ¢ªüÞ÷ Ó쁵õ Â› ‚î ¢“ ßþ
H
ü›ø ¡ Âð ø Ýþ ¤Áðüõ
?¢“ Àû¡ ‚ ü›ø ¡ ݃û¢
K
loop
×þ
¤¢ ¢ªüõ
K
‚“ ý¢ø ¤ø ö€ä ‚“ ¤
K
Âð ñ‘Ÿ
.Àª‘“ ù¢Â“ ýÀ㓠݃— ¥ ݃— Âû ‚î ¢Âî Àƒ• ‘û݃— ¥ ý‚ó‘±÷¢ ö—üõ ´€Þ÷¤— ×þ ¤¢ Àƒ€î ´“‘™ 0
b
. a+
2
p
ab
:
forward –‘±™
bakward –‘±™
¢Àä ø¢ Âû ߃“ ø 0 ¢Àä ö‘ÆØþ ¢Àä ø¢ Âû ߃“ ‚ÜŸÂõ Âû ¤¢ .À÷ùÀª ‚µª÷ ùÂþ¢ ¤ø¢ 1 ¢Àä 4 ø 0 ¢Àä 5 0
݃û¿÷ 0 ¢Àä 9 ‚“ ù‘ðºƒû Àƒ€î ´“‘™ .݃€îüõ 푕 ¤ üÜ±ì ¢Àä 9 ø ݃û¢üõ ¤Âì 1 ¢Àä ö‘ÆØþ ƒè
.Àƒ¨¤
:
j
.24 n2
1 ù‘ðö 3 6 jn ø 2 6 jn Âð Àƒû¢ ö‘È÷
b d n2 e b n22 : ´ª¢ ݃û¡
. n
2
=
1
°¨‘€õ –„‘Ÿ ü¨¤ “
n
0
¼ƒ½¬ ¢Àä Âû ýÂ“ Àƒû¢ ö‘È÷ 0
:
(4p1 p2 :::pk
(Àþ ƒړ ÂÑ÷ ¤¢ ¤
p
2
p
2
ø
ý¢›ø –‘±™
1).¢¤¢ ¢›ø 4k + 3 –¤¬ ‚“ ñø ¢Àä üû‘€µõ‘÷ ¢Àã—
0
2 ý‘û¢Àä).´¨‘þð xy üóø À€µÆƒ÷ ‘þð ‚î y ø x À÷¤¢ ¢›ø
0
p
1) ^ 8k > 0[P (k) ! P (k + 1)℄℄ ! 8n > 0P (n)
:
[P (
Ӄ㮠ýÂÖµ¨
üþÂÖµ¨ –‘±™ ۟Âõ 0
ÂÖµ¨ ­Âê
ÂÖµ¨ ‚þ‘•
ÂÖµ¨ Ý؟
.1 + 2 + ::: + n
ý‚äÞ¹õ üú— ƒè ø i ý‚äÞ¹õÂþ¥ ý‘Ìä ’® Û¬‘Ÿ
Pi
‚î P1
1
1
+
P2
+ ::: +
1
= n
P2n 1
.´¨
n(n+1)
2
0
1 = n2
0
=
.1 + 3 + ::: + 2n
À€î ´“‘™ 0
f1 2
;
g
; :::; n
2n ñøÀ› öÀ÷‘ª•
. 2n 1 n
2 Àƒ€î ´“‘™
.´¨ üê‘î ü€îÂ• ±¡ ýÂ“ §‘Þ— 2
2 ¢À㗠4 ýÂ“ Àƒ€î ´“‘™
1 ‘“ ‚î Àƒû¢ ‚Ž¤ üªø ¤ .À€µÆû °—Âõ ö öµ¨ Âû ø ÂΨ Âû ¤¢ ¢Àä ‚î Ýþ ¤¢ ñøÀ› ×þ
.2n
H
n
2n
+
n
n
.¢Âî Àƒ• ñøÀ› ¤¢ ¤
P
n
2
i=1 Fi
k
n
0
0
0
0
ý¢ø ¤ø ¢Àä Û½õ öµ“ Ǩ•
1 : Àƒ€î ´“‘™ Àª‘“ i ü‘÷±ƒê ¢Àä Fi Âð 0
= Fn Fn+
¤±ä ‚ÎÖ÷ ×þ ¥ ý‘—‚¨ ºƒû ø À€µÆƒ÷ ý¥õ üþ‘— ø¢ ºƒû ‚î ý¤Ï ‚“ À÷ùÀª ùÀƒÈî ‚½Ô¬ ¤¢ Í¡
n
0
Ù÷¤Ýû ý¤ø‘¹õ ý‚ƒŸ‘÷ ø¢ ºƒû ‚î ¢Þ÷ ýƒõ Ù÷¤ ,Ù÷¤ ø¢ ‘“ ¤ üŸ÷ ö—üõ Àƒ€î ´“‘™ .À€€îüÞ÷
.À€ª‘±÷
ÂÖµ¨ ¤¢ –‘û‘±µª
.À€µÆû Ù÷¤Ýû ‘ƒ÷¢ ý‘û°¨ ‘Þ— ‚îßþ –‘±™ 0
.x
= y
´êÂ𠂹ƒµ÷ ö—üõ ,Àª‘“
max(x; y) = n
Âð
y
ø
x
´±·õ ¢Àä ø¢ Âû ýÂ“ 0
.À€›ø ¥ ü‘÷±ƒê ¢Àä ‘Þ— 0
ýì ýÂÖµ¨
.´ª÷ ñø ¢Àä ’® Û¬‘Ÿ –¤¬ ‚“ ö—üõ ¤
n
¢Àä Âû 0
ý‚÷‘¡ ¤¢ ‚î ¤ ùÂúõ ×þ ݃÷—üõ ‚ÜŸÂõ Âû ¤¢ .À÷¤¢ ¤Âì ‚þ¤ ×þ 2 ø 1 ýù¤‘Þª ý‘û‚÷‘¡ ¤¢ ùÂúõ ø¢ 0
¤ ‘ûùÂúõ ö—üõ
n
Âû ý¥ ‚“ Àƒ€î ´“‘™ .Ýþ ±“ Ü› üó‘¡ ý‚÷‘¡
.¢ÂƒÚ“ ¤Âì
2
n
k
¢À㗠‚“ ø ݃€î ’‘¿µ÷ ¢¤¢ ¤Âì
k
ý‚÷‘¡ ¤¢ ùÂúõ ×þ ‚î ¢¢ ´îŸ ý¤Ï
ø ¢Âî 푕 ‚µ¿— ¥ ¤ 1 ¥ µ𤠓 ¢Àä ×þ ö—üõ ‚ÜŸÂõ Âû ¤¢ .´¨ùÀª ‚µª÷ ù‘ƒ¨ ‚µ¿— ýø ¤ “
À÷—üõ
k
.¢ªüõ ù¢¢ ‘Þª ‚“ ¥‘ƒµõ k(n
k)
ÛÞä ßþ ý¥ ‚“ .´ª÷ ¤
n
k
ø
k
n
¢Àä 0
ý‘û¢Àä ö ý‘› ‚“
Àƒ€î ´“‘™ .À÷ª 1 “Â“ ¢Àä ‘Þ— ‘— ݃€îüõ ¤Âؗ ¤ ÛÞä ßþ .Àª‘“ n ¥ µ؝î ø 0 ¥ µ𤠓 ý¢Àä Âû
n(n 1)
.Àª Àû¿÷
¥ µȃ“ ¥‘ƒµõ áÞ¹õ ݃€î ÛÞä üªø ¤ Âû ‚“
2
Q(n) :
8 k
n
P (k)
: Ӄ㮠ýÂÖµ¨ ‚“ ýì ýÂÖµ¨ ÛþÀ±— 0
.¢¤¢ ßþ —םî Ìä ´±·õ ¢Àä ¥ üú—ƒè ý‚äÞ¹õ Âû :
ü±ƒ—— ©¡ Û¬
.¢¤¢ 3 ñÏ ‚“ ¤ø¢ ù‘ðö Àª‘“ ‚µª¢ ¤ø¢ Â𐠴€Þ÷¤— Âû 0
m
n
.´ª÷
6j
a
j
Âð .
b
ø
j
as + bt
–¤¬ ‚“ ö—üõ ¤
݃€îüõ ´“‘™ .Àª‘“
a
0
.´¨
as + bt
=
2n m ‚î Àƒ€î ´ì¢ .´Æƒ÷ ‘þð
m n
gd(a; b)
p
2
0
‚î Àƒ€î ´“‘™ ü±ƒ—— ©¡ Û¬ ‘“ 0
–¤¬ ‚“ ´±·õ ¢Àä ßþ —םî
¢Àä Àƒ€î ­Âê
0 –¤¬ ‚“ r ‚î ¢¢ ö‘È÷ ö—üõ ø a = q + r ´ª¢ ݃û¡
as + bt
ý —±î ‚÷„ Û¬
j
.a
b
2n ýø‘Æõ —םî ¢Àä n + 1 ¥
0
1 ñÏ ‚“ üóø ÷ ‚ó‘±÷¢Âþ¥ ×þ ö—üõ ¢Àä n2 + 1 ߃“ ¥
.¢Âî Àƒ• n + 1
0
‚î ¢Âî Àƒ•
ñÏ ‚“ ý¢ã¬ ý‚ó‘±÷¢ Âþ¥ ×þ ‘þ ø
n +
b
ø
a
¢Àä ø¢ ö—üõ
µÞî ‘ûö ¥ ‘— ø¢ ý‚ܬ‘ê Àƒ€î ´“‘™ .À÷¤¢ ¤Âì 1 âÜ® ‚“ ᅮ„ ýø‘Ƶõ ¶Ü·õ ×þ Û¡¢ ¤¢ ‚ÎÖ÷ 5 0
.´¨
.´¨ ÂþÁ•Ç¿“
ùÀ÷¡ §¤¢ ´ä‘¨
n
n
“ ‚î ¢¤¢ ¢›ø Ýì¤
n
p
2 ýø‘Æõ
‘fÖƒì¢ ‘“ 1 ø 0 ‘줐 ‘“ ´±·õ ¢Àä ,n Âû ýÂ“ 0
1 ¥ø ¤ Âû ¤¢ ݃÷¢üõ .À÷¿“ §¤¢ ´ä‘¨ 30 ¥ø ¤ 20 ¤¢ ¢¤¢ ÀÊì ÂÔ÷ ×þ
0
.´¨ ùÀ÷¡ §¤¢ ´ä‘¨ 9 ‘fÖƒì¢ ‘û¥ø ¤ ßþ ¤¢ ‚î ¢Âî Àƒ• Ýû ¨ ´È• ¥ø ¤ À€ ö—üõ Àƒ€î ´“‘™ .´¨
üµÈ𥑓 ⓐ—
Tn =
(Tn
=
3Tn
1+2
)
Tn =
3n 1)
2Tn
1+1
)
Tn =
2n 1
: ý÷‘û šÂ“ 0
.¢Âî ÛÖµ€õ ¤ø‘¹õ ý‘û‚܃õ ‚“ ‘ú€— ¤ ‘ûùÂúõ öµ“ Âð 0
Fn = Fn
3n + 2n ; n!; 3
n;
1 + Fn 2 : ü‘÷±ƒê ¢Àä 0
4n ; 2n + 3
T (n) = T (
n) + n ø
2
: üµÈ𥑓 Óþ Â㗠0
T (n) = T (
n) +
2
1
0
üµÈ𥑓 ý‘ûݵþ ¤ Úó
.¢Àä ×þ öÀ÷‘¨¤ ö— ‚“ ýÂ“ üµÈ𥑓 ݵþ ¤Úó 0
3
.O(n) ö‘õ¥ ‘“ ©ø ¤
.O(log n) ö‘õ¥ ‘“ üªø ¤ ‚Ž¤ ø an
= a
n
2
a
n
2
ၮõ ßþ ¥ ù¢‘Ôµ¨
.üþø¢ø¢ üþ¹µÆ› 0
merge sort
ݵþ ¤Úó 0
3
.O(nlog2 ) ýÂ› ö‘õ¥ ‘“ À€ ø¢ ’® 0
(Ax
n=2
+ B)
(C x
n=2
.݃€î ‚±¨‘½õ ¤
.¢“ Àû¡
T (n) =
3T ( n2 ) + O(n) )
n
+ D) = AC x
(A + B)(C + D)
log3
2)
T (n) = O(n
n=2
+ (BC + AD)x
ø
BD
ø
AC
+ BD
´¨ üê‘î ŕ
ýÂ› ö‘õ¥ ý¤¢ ùÀª ‚Ž¤ ©ø ¤
¹µÆ› ´¡¤¢ 0
.ÂÖµ¨ ¥ ù¢‘Ôµ¨ ‘“ ‚õ‘÷“ ×þ üµ¨¤¢ –‘±™ 0
4