Macchine matematiche: dalla storia alla scuola
8 Didattica nel laboratorio della macchine matematiche: prospettografi e macchine mentali
8.2 Le macchine di Stevin
Introduzione
Questo esperimento è stato realizzato in una classe quarta del liceo scientifico “L. Spallanzani” di Reggio Emilia) durante la preparazione della tesi di
laurea (laureanda Annalisa De Giorgio). Lo scopo è quello di introdurre le
affinità (in particolare un caso di omologia affine) attraverso la modellizzazione delle ombre solari, utilizzando anche una macchina di Stevin a fili, in
cui l’osservatore è posto a distanza infinita.
L’esperimento è diviso in tre parti:
Obiettivo
Modalità
Prima parte
Raccolta delle concezioni sulle
ombre solari costruite dagli studenti, sulla base di esperienze
extrascolastiche o comunque
precedenti l’esperimento;
Risoluzione individuale
di problemi sulle ombre
solari
Seconda parte
Lezione frontale con
Presentazione di una macchina
l’esplorazione di una
di Stevin come concreto di un
macchina matematica
modello matematico di ombra
solare, fino alla rappresentazione
algebrica (equazioni
dell’omologia)
Terza parte
Verifica:
Risoluzione individuale
Problema critico sulle ombre solari. Problema sull’omologia.
Nella prima e nell’ultima parte sono stati utilizzati problemi ripresi o ispirati da esperimenti diretti da P. Boero sulle ombre solari1. Ne presentiamo qui
alcuni.
Prima parte: i problemi iniziali
“ PROBLEMA 1
Spiega meglio che puoi come si forma l’ombra del sole. Puoi usare disegni
e parole.
1
http://didmat.dima.unige.it/
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PROBLEMA 2
Supponiamo di avere a disposizione un paletto e una sfera come in fugura.
In un certo momento della giornata l’ombra del paletto sul pavimento è
lunga il doppio della sua lunghezza.
Prova ad immaginare come potrebbe essere in quello stesso momento
l’ombra solare della sfera. Disegnala qui sotto e spiega dettagliatamente i
ragionamenti fatti e le strategie usate.
Figura 1
PROBLEMA 3
Nel cortile e nel terrazzo di un attico ci sono due paletti verticali della stessa altezza, entrambi illuminati dal sole.
Come sono le loro ombre? Uguali? Diverse?
Spiega il tuo ragionamento. „
Figura 2
PROBLEMA 4
Nel problema 4 si chiede di confrontare le ombre di due persone che sono
su due scale disposte una di fronte all’altra.
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3
“ PROBLEMA 5
Osserva l’immagine, in cui sono evidenti i raggi solari. Cosa puoi dire di
questi?2 „
Figura 3: Raggi solari
In accordo con lo studio eseguito da Dettori, Garuti, Lemut e Mariotti
(1996), si è trovato che le risposte degli studenti si potevano interpretare
come dipendenti da nove concezioni dell’ombra.
“ C0: INTENSITA’ – LUNGHEZZA: la lunghezza dell’ombra dipende
dall’intensità e dalla brillantezza del sole.
C1: OMBRA DUPLICATO: l’ombra è una proiezione speculare del
soggetto che la produce.
C2: OMBRA APPENDICE: l’ombra è attaccata al corpo che la produce e trascinata da esso nei suoi movimenti.
C3: PREGEOMETRICA: l’ombra è proiezione di un oggetto illuminato
dal sole dalla parte opposta rispetto al sole; oggetti in ombra non
producono ombre.
C4: CONSERVAZIONE DELLA QUANTITA’ D’OMBRA: l’ombra si
modifica durante il movimento dell’oggetto che la determina, in
2
L’immagine data agli studenti mostrava in realtà in modo ancora più chiaro il parallelismo dei
raggi solari, con direzione parallela alla pellicola da impressionare
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modo da conservare l’area costante (es. allungamento ↔ restringimento).
C5: CONSERVAZIONE DELLA LUNGHEZZA: la lunghezza totale
dell’ombra si conserva anche quando essa appartiene a piani diversi.
C6: TRIANGOLO D’OMBRA: la lunghezza e la direzione di un’ombra,
l’altezza dell’oggetto che la determina e la direzione dei raggi solari sono in relazione così che due qualsiasi di essi possono determinare il terzo.
C7: SPAZIO D’OMBRA: l’ombra è l’effetto visibile su una superficie
della mancanza di luce causata dal fatto che il sole illumina oggetti
opachi.
C8: MODELLO DI TALETE: la regolarità metrica delle ombre dipende
dal parallelismo dei raggi solari (teorema di Talete sui triangoli
simili). „
Figura 4
Le concezioni riportate possono evolvere verso modelli matematici diversi:
- La concezione C3 può evolvere verso un modello che presenta
l’ombra come funzione dallo spazio al piano che conserva
l’allineamento e il parallelismo delle rette.
- La concezione C7 può evolvere verso un modello che presenta
l’ombra come intersezione dello spazio d’ombra con una superficie.
Figura 5
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5
- La concezione C8 è già un modello matematico che può essere riformulato come proiezione parallela in cui l’ombra di un punto su una
superficie è definita come l’intersezione con la superficie di una retta
di direzione assegnata passante per il punto.
Figura 6
Dei tre modelli proposti, il primo è relazionale e gli altri procedurali, in
quanto forniscono metodi per la determinazione dell’ombra.
L’analisi delle soluzioni dei vari problemi mostra che le concezioni C7 e
C8 sono presenti in modo generalizzato nei problemi di natura descrittiva (1
e 5) ma sono raramente utilizzate nelle soluzioni degli altri problemi.
Questo dato, coerente con quelli trovati da altri ricercatori (vedi Boero et
al., 1996a, 1996b) suggerisce di tentare altre strade per consolidare queste
concezioni. Qui si colloca la lezione sulla macchina di Stevin.
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Seconda parte: la macchina di Stevin
La lezione di due ore inizia con una ripresa dei problemi della prima parte,
in cui si insiste sul parallelismo dei raggi solari, giustificando in questo
modo l’introduzione del modello fisico che può concretizzare il fenomeno.
Figura 7
Figura 8
Figura 9
La macchina, con i due piani in posizione orizzontale e verticale, è interpretata come un modello di determinazione dell’ombra, in cui i fili tesi paralleli rappresentano raggi di sole (o meglio raggi d’ombra). Infittendo i fili, si
evoca l’idea di uno spazio (tridimensionale), lo spazio d’ombra. Il modello
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può quindi favorire l’evoluzione delle concezioni verso i tre modelli che
abbiamo evidenziato.
La matematizzazione della macchina di Stevin può anche essere realizzata
nel quadro analitico. Riportiamo qui lo schema dell’intervento, come è stato
poi consegnato agli studenti.
Tale modello può essere schematizzato con l’introduzione di due sistemi
di riferimento cartesiani in questo modo:
3. Le equazione della corrispondenza
P = (x, y)
P' = (x', y')
ω(P) = P'
Per come sono stati scelti i sistemi di riferimento sui due piani, possiamo
già dire che:
x = x'
allora P' = (x, y')
D=(x,y)
D' = ( x ' , y ' )
ω(D) = D'.
Anche in questo caso, per quanto detto prima
x ' = x allora D' = ( x , y ' )
Ma cosa dire di y ' e di y'?
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I triangoli PHP' e DKD' sono due triangoli simili. Allora:
KD KD '
=
=k
HP HP '
HP = y
KD = y
k>0
HP' = y'
KD' = y ' .
Da cui si ricava che
KD ' HP'
=
=k
KD HP
y ' y'
= =k
y y'
e quindi
y' = ky
e
y' = k y
∀ P, D
Le equazioni dell’omologia affine sono:
 x' = x

 y ' = ky
⇒
 x'  1 0
  =
 y' 0 k
 x
⋅   .
 y
4. La trasformazione
Utilizzando le equazioni cos’ trovate si ottiene che la circonferenza di equazione
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
viene trasformata nell’ellisse di equazione
(x'−a )2 + ( y '−kb)2
r2
k 2r 2
=1.
Terza parte: la verifica finale
A conclusione dell’esperienza è stato assegnato agli studenti un compito
della durata di un’ora nel quale sono stati proposti due esercizi:
- Il problema 6 sulle ombre solari, già ampiamente utilizzato in esperimenti didattici come problema critico finalizzato a sondare la concezione C8;
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- Un esercizio di tipo tradizionale sulle omologie affini (non riportato)
“ PROBLEMA 6
Lo schizzo rappresenta in sezione una situazione di ombre del solo in un
cortile, una persona si sta avvicinando al muretto che nasconde la profonda intercapedine costruita per dare aria al piano interrato dell’edificio di
fronte. La persona è rappresentata con la sua ombra,, una parte della quale è sulla parete verticale del muretto. Nell’ipotesi che la persona avanzi di
80 cm dove fa a finire la sua ombra? Giustificare la risposta. Queste sono
le misure approssimate:
altezza della persona circa 1,50 m
distanza della persona dal muretto circa 1,50 m
altezza del muretto circa 50 cm
altezza dell’ombra sul muretto circa 30 cm
spessore del muretto circa 25 cm
distanza del muretto dall’edificio di fronte circa 1,00 m
profondità dell’intercapedine circa 1,50 m „
In tutti gli elaborati gli studenti tracciano raggi del sole paralleli. In molti
elaborati il parallelismo dei raggi è usato nella soluzione grafica del problema. In solo 5 casi su 18 si usa il modello additivo (conservazione della
lunghezza dell’ombra), che è il più diffuso nelle sperimentazioni fatte con
gruppi di studenti (anche universitari) che non hanno partecipato a lezioni
del tipo di quelle presentate nella seconda parte di questo esperimento.
Figura 10