PROGETTO COLLABORATIVO DI RICERCA
MIUR – Dipartimento di Matematica dell’Università di Modena e Reggio Emilia
INNOVAZIONE IN DIDATTICA DELLA MATEMATICA:
LA FUNZIONE DEGLI ‘STRUMENTI’
MACCHINE MATEMATICHE
nella produzione di congetture e costruzione di dimostrazioni
UN APPROCCIO SPERIMENTALE ALLO STUDIO
DELLE ISOMETRIE
nel primo anno di Istruzione Secondaria Superiore
a cura di Prof. Anna Lina Bonetti
Liceo Classico “G.Pico” Mirandola
Tutor del Progetto
Prof. Marco Turrini
Responsabile Scientifico
Prof. Maria G. Bartolini Bussi
Anno Scolastico 2001/2002
1
L’ESPERIMENTO
Ideazione e pianificazione:
Motivazioni
Contesto
Argomento e percorso didattico
Obiettivi didattici
Strumenti, metodologia, tempi, verifiche
Fasi della realizzazione:
Lettura e riflessioni sul testo di matematica
Attività sul pc: apprendimento di Cabri
Il disegno manuale: uso di riga e compasso
Laboratorio con uso delle macchine matematiche
Osservazioni ed analisi di dati:
Tabulazione dati (schede laboratorio macchine matematiche)
Analisi
Apprendimento contenuti. “Atteggiamento” degli studenti
Conclusioni:
Valutazioni dell’esperimento
Considerazioni finali
Allegati:
Riflessioni degli studenti
N°3 schede-guida TRASLAZIONE (Cabri)
N°12 schede-guida MACCHINE MATEMATICHE
Confronto elaborati studenti
2
IDEAZIONE E PIANIFICAZIONE
Motivazioni
Il motivo, che ha sollecitato la mia adesione ad un progetto di sperimentazione in didattica
della matematica, è il desiderio di rendere l’apprendimento sempre più motivante per gli studenti.
Per questo scopo è di notevole importanza, a mio parere, incentivare la partecipazione dei
ragazzi nel processo didattico e rendere più attivo il loro ruolo.
Contesto
La scuola in cui si attua l’esperimento è un liceo classico con sperimentazione Brocca ad
indirizzo linguistico. In particolare una classe del biennio, la prima, formata da ventuno studenti
provenienti da diverse scuole medie: quattro sono le ore settimanali di insegnamento della
matematica.
Una considerazione da evidenziare è la seguente: lo studente che sceglie come percorso di
studi il liceo classico ad indirizzo linguistico, è molto probabile che non abbia grande dimestichezza
e simpatia per la matematica!
Argomento e percorso didattico
L’ambito entro il quale scegliere una traccia, un percorso, è stato deciso al momento
dell’adesione all’esperimento.
La geometria ha un ruolo molto importante nella formalizzazione del pensiero in ragazzi
all’inizio degli studi secondari. Un approccio sperimentale può, a mio avviso, aiutarli a maturare i
processi di astrazione.
Esaminato anche il libro di testo, la scelta si è concretizzata con l’argomento delle
trasformazioni geometriche.
Nella pianificazione dell’attività didattica, questa sperimentazione è stata collocata nel II
quadrimestre: ciò ha permesso di conoscere meglio i ragazzi e di strutturare, in modo sempre più
definito questa ricerca didattica.
I contenuti attinenti con il presente lavoro hanno avuto questa collocazione temporale:
nel primo quadrimestre sono stati sviluppati i seguenti moduli:
Triangoli: studio dei punti notevoli con l’uso di Cabri
nel secondo quadrimestre, i seguenti:
Introduzione alla geometria euclidea: il metodo assiomatico - deduttivo
La congruenza delle figure: inizio dell’esperimento. Il problema delle
trasformazioni isometriche
Insiemi e relazioni
Il modulo delle trasformazioni isometriche si presta ad avere, negli anni successivi, possibili
sviluppi con
Geometria euclidea: la tecnica del dimostrare (dal metodo induttivo al metodo deduttivo)
Geometria analitica: da una trattazione sintetica ad una trattazione analitica delle
trasformazioni
Un’applicazione delle matrici alla geometria delle trasformazioni
Composizione di isometrie
3
Obiettivi didattici
Gli obiettivi formativi sono di fondamentale importanza per una classe prima; essi riguardano la
maturazione del “clima della classe” e questo è un aspetto basilare per tutto il quinquennio.
Obiettivo 1) Conoscersi a vicenda in una attività di gruppo sia ristretta a due persone (al
personal computer), che allargata a quattro (uso delle macchine matematiche);
Obiettivo 2) Ascoltare l’altro (o gli altri): in un lavoro di équipe l’ascolto ed il confronto di
idee abitua al rispetto reciproco e conduce ad una evoluzione delle idee stesse e alla “nascita” di
idee nuove.
Obiettivo 3) Abituarsi ad un tipo di apprendimento “attivo”: l’insegnante spiega il percorso
da seguire, le finalità dell’attività stessa, distribuisce eventualmente schede - guida, poi il ragazzo o
il gruppo procede in modo autonomo.
Gli obiettivi trasversali sono importanti in quanto stimolano capacità gestibili anche in discipline
diverse:
Obiettivo 1) osservare, individuare e descrivere regolarità
Obiettivo 2) produrre congetture e verificarle su casi particolari
Obiettivo 3) validare le congetture sia in modo empirico che mediante argomentazioni
Obiettivo 4) giustificare le proprie idee durante una discussione anche con semplici
concatenazioni di proposizioni.
Gli obiettivi cognitivi vengono proposti in termini di conoscenze, competenze, capacità.
Conoscenze
Sapere definire le
isometrie con un
linguaggio
geometrico.
Sapere definire le
isometrie con un
linguaggio
insiemistico.
Usare con
consapevolezza i
termini del
linguaggio.
competenze
capacità
Operare con le isometrie usando Con l’uso di macchine matematiche
strumenti differenti, informatici e essere in grado di
1) riconoscere il tipo di
non (software CABRI e strumenti
isometria che essa determina
per il disegno manuale).
2) risalire, dalle caratteristiche
geometriche della macchina,
Sapere ricostruire il discorso
ai parametri che
inverso: dopo aver riconosciuto
caratterizzano l’isometria
una figura e la sua trasformata,
stessa
determinare gli elementi che
3) studiare il campo d’azione
caratterizzano l’isometria stessa.
della macchina
4) Ipotizzare come potrebbe
Distinguere nella realtà esempi di
variare il campo d’azione
isometrie: nell’arte, in natura, nel
della macchina, al variare dei
mondo della tecnica, nelle
suoi parametri
applicazioni in settori diversi
4
Strumenti – Metodologia – Tempi - Verifiche
Il materiale usato per la preparazione e per l’attuazione del progetto è il seguente:
Software Cabri2 nel laboratorio informatico con una postazione di lavoro ogni 2-3 studenti.
Sistemi articolati e biellismi: modelli fisici in numero sufficiente per organizzare
contemporaneamente lavori di gruppo di 4 persone. Le macchine sono state fornite, a titolo di
prestito gratuito, dal Laboratorio di matematica del Museo Universitario dell’Università di
Modena e Reggio Emilia. Esse sono degli esemplari ad uso didattico e sono concettualmente
equivalenti a quelli presenti al Museo e visibili sul sito http://www.museo.unimore.it/theatrum/
Unità O (trasformazioni) in “Progetto Set – Dimostrazioni e Modelli” presso il seguente sito:
http://didmat.dima.unige.it. Il lavoro ha preso spunto da questa unità per l’uso delle quattro
macchine: Traslatore del Kempe – Pantografo per la simmetria centrale – Biellismo per la
simmetria assiale - Pantografo del Sylvester per la rotazione.
La metodologia adottata è stata quella del lavoro di gruppo, ristretto o allargato, intervallato
anche da momenti di impegno individuale. Questo tipo di didattica richiede la preparazione di
schede-guida per gli studenti in modo che essi siano indirizzati nelle attività di classe.
Le schede sono preparate sia per il laboratorio di Cabri che per il laboratorio di macchine
matematiche tranne che per alcune schede che sono state costruite “in itinere” dai ragazzi;
ovviamente non erano più schede-guida, ma testi descrittivi di un’attività svolta al computer.
Per quanto riguarda i tempi, l’esperimento è stato ubicato al giovedì, giorno un cui la classe
ha due unità orario consecutive di 50’ ciascuna.
Tempi:
2-3 u.o. per l’introduzione all’esperimento (è importante un certo collegamento con il
modulo della geometria, già iniziato)
2 u.o. al personal computer per ogni isometria, con relativa discussione (circa 10 u.o.)
2 u.o. per il disegno in classe
8 u.o. per il laboratorio di macchine matematiche (2 per ogni macchina)
1-2 u.o. per la sistemazione del lavoro e discussione finale
La verifica del raggiungimento degli obiettivi è concatenata con l’attività stessa: poiché i
ragazzi procedono con un lavoro attivo, l’insegnante può verificare passo a passo i progressi che gli
studenti compiono. Inoltre le schede guida contengono anche tabelle da compilare: la correzione e
la discussione finale di tale compilazione si può ritenere strumento di controllo sull’apprendimento.
5
FASI DELLA REALIZZAZIONE
I fase : lettura e riflessioni sul testo di matematica
In questo primo momento ho voluto proporre una lettura critica del libro di matematica.
Esattamente ho scelto il punto in cui si espone il concetto di congruenza di figure piane. Ad una
lettura superficiale, il discorso, fra l’altro abbastanza intuitivo, può essere ben recepito da studenti
di prima superiore, che non hanno l’abitudine a soffermarsi tanto su quello che leggono; in modo
particolare poi con un libro di matematica che usualmente viene considerato come una “bibbia” di
regole da imparare, per poi applicare negli esercizi.
L’ esperienza mi ha insegnato che espressioni come “movimento rigido” , “corrispondenza
punto a punto”, “sovrapponibilità”, “uguaglianza”, vengono usate dagli autori con prospettive
diverse coniugando l’intuizione con la formalizzazione (mediante i postulati) dei concetti primitivi:
i risultati che si ottengono, da proporre a studenti che sono nell’età della maturazione del pensiero
formale, non sono sempre della massima chiarezza, e si prestano, con una lettura attenta e guidata
dall’insegnante, ad alcune considerazioni.
Ho invitato i ragazzi a scrivere le loro riflessioni al pc; riflessioni che ho raccolto in un
unico file. Ritengo opportuno allegarne una stampa per proporre una panoramica completa di tutta
la classe, piuttosto che fare una mia cernita che sarebbe del tutto soggettiva.
Dalla lettura di quanto scritto dai ragazzi si evince come i dieci gruppi hanno recepito in
modo diverso quanto letto ed hanno verbalizzato in modo del tutto personale il loro pensiero.
La partenza dell’esperimento ha avuto questa impostazione perché ho voluto fin dall’inizio
non “fare calare tutto dall’alto” ma proporre (o meglio provare) un tipo di insegnamento un po’ più
concreto, un po’ più “sentito” da loro, e soprattutto fare capire che ciò che leggiamo può essere
anche stimolo per riflettere, per un’indagine più approfondita.
Posso osservare che non è stato facile guidare i ragazzi in questo lavoro, esprimersi con
considerazioni personali, su definizioni che in genere si chiede loro di imparare e ripetere (anche
con parole proprie) senza chiedersi tanti “perché”. Ho spiegato loro che noi non volevamo demolire
nulla di quanto esposto sul libro, ma solo chiedersi se quello scritto poteva stimolare in noi qualche
interrogativo: infatti può capitare che chi parla o chi scrive non sia in sintonia con il nostro modo di
percepire i concetti.
Ho provveduto infine anche a distribuire ai ragazzi fotocopie di altri libri sullo stesso
argomento per fare vedere loro che le considerazioni emerse dalle loro discussioni non erano
arbitrarie o vane: autori diversi infatti propongono l’argomento con prospettive differenti.
6
OSSERVAZIONE
L’idea del “movimento rigido” mi ha dato lo spunto per il collegamento con le “isometrie”.
Gli studenti avranno modo di “incontrare” il concetto di “movimento” in altri contesti lungo il
percorso degli studi liceali, non solo in ambito scientifico (come potrebbe essere il concetto di moto
nello studio della fisica). L’applicazione in matematica di tale concetto è nello studio di grandezze
geometriche omogenee: è il passo fondamentale per passare al concetto di misura.
Si può quindi provare, in matematica, a tradurre con un linguaggio specifico questo
concetto primitivo, in modo da superare l’idea fisica del movimento.
Ho invitato i ragazzi a “provare” dei movimenti piani sul loro banco per far sovrapporre
figure in modo che combaciassero perfettamente: il passaggio da questa fase a quella successiva del
computer è avvenuta proprio per studiare questi movimenti allo scopo di darne una interpretazione
tipicamente matematica.
II fase : attività sul pc: apprendimento di Cabri
I ragazzi hanno studiato al computer le quattro trasformazioni: traslazione, simmetria
assiale, simmetria centrale, rotazione.
La prima trasformazione studiata è la traslazione. I ragazzi avevano a disposizione tre
schede guida (vedere allegato) e dovevano concludere lo studio con una definizione della
trasformazione stessa.
Seguendo questa impostazione (tre schede per ogni trasformazione) i tempi si sarebbero
dilazionati più del previsto ed il metodo sarebbe risultato prolisso.
Per questo nello studio della rotazione è stata usata una sola scheda (estratta dal progetto
set\modOmat\schedarotazione.htm).
Infine nessuna scheda-guida è stata utilizzata per le ultime due trasformazioni: le due
simmetrie, assiale e centrale. In effetti, vista la rapidità di acquisire competenze nell’uso del Cabri
da parte dei ragazzi, ho proposto loro di preparare delle schede descrittive “in itinere” , aprendo
contemporaneamente due “finestre”, una di Cabri per lo studio geometrico, l’altra di Word per la
descrizione di vari passaggi. Il risultato finale è stato la realizzazione in Word di una scheda
personale descrittiva, completa di disegno “copiato” dalla finestra Cabri. Questo tipo di attività è
stato per loro molto coinvolgente.
Si può mettere in evidenza l’interesse suscitato dal comando ANIMAZIONE e dal
comando TRACCIA: con essi, quasi giocando, venivano evidenziate alcune proprietà varianti o
invarianti della trasformazione da studiare.
7
III fase : disegno manuale: uso di riga e compasso.
In questa fase i ragazzi hanno rappresentato su fogli da disegno i concetti appresi al
computer. Questo è stato il momento applicativo delle conoscenze acquisite, un modo per ognuno
di mettere alla prova le proprie competenze con una produzione individuale.
E’ stata l’occasione per misurarsi con il “proprio senso dello spazio”: il foglio da disegno è
limitato quindi bisogna fare attenzione nel disegnare in una posizione opportuna la figura da
trasformare ed anche di scegliere i parametri della trasformazione stessa: il rischio è quello di
dover disegnare la figura trasformata sul banco!
La durata di questa fase è stata di un’unità oraria in classe. Poi i ragazzi hanno completato a
casa i disegni ed hanno anche reperito immagini, fotografie, documenti significativi di isometrie
visti nel mondo della realtà. Il tutto è stato raccolto e incollato in un’apposita cartellina.
8
IV fase : laboratorio, uso delle macchine
I scheda (si veda la pag.1 per ogni macchina)
E’ la scheda di primo approccio alla macchina, la scheda che serve anche da collegamento
con quanto già esplorato nell’ambiente CABRI.
E’ stata preparata con la seguente struttura:
1. eseguire uno schizzo (anche a mano libera) della macchina.
2. usare la macchina tracciando qualche disegno (il trasformato di un punto, di un segmento, di
una semplice figura piana…) e riportare un disegno significativo nell’apposita casella
3. misurare, controllare le proprietà geometriche (ad esempio il parallelismo) e di conseguenza
compilare la scheda nelle varie richieste (completamento di tabelle e/o testi, risposte a
domande aperte o già strutturate).
4. infine riconoscere l’ isometria già studiata col software CABRI e proporre una definizione.
Questa prima parte del lavoro con le macchine è forse la più interessante per i ragazzi:
1) è la prima scheda (quella di partenza) ed essi hanno l’attenzione pronta,
2) è il momento della scoperta della macchina (e questo crea un clima di indagine
coinvolgente),
3) le richieste per la compilazione della scheda non presentano particolare difficoltà
(scrivere la definizione è anche ricordare ciò che è stato formulato al laboratorio
CABRI). Personalmente sono convinta che ritornare sugli stessi concetti in contesti
diversi non sia una inutile ripetizione ma un modo per richiamare alla mente ciò che
è già stato appreso (o scoperto) ed eventualmente “risistemarlo” alla luce di nuove
esperienze.
9
IV fase : laboratorio di matematica – uso delle macchine
II scheda (si veda la pag.2 per ogni macchina)
In questa scheda si vuole guidare il ragazzo ad esprimere il concetto di trasformazione
geometrica mediante il linguaggio degli insiemi, o meglio delle relazioni fra insiemi, come
corrispondenza biunivoca. E’ una scheda formata da quattro parti:
1. premessa: si richiama il concetto di relazione e di corrispondenza biunivoca fra insiemi, già
studiato in un altro modulo. (La lettura, fatta dall’insegnante, ad alta voce della scheda
serve per attivare un dialogo con gli studenti e renderli più consapevoli dei concetti che si
vorranno usare).
2. due immagini della trasformazione (riportate su un foglio WORD da una costruzione con
CABRI) affiancate da una tabella da compilare, allo scopo di fare ben recepire i punti che
sono in corrispondenza (quindi le coppie di punti)
3. richiesta di una definizione come corrispondenza biunivoca fra punti del piano: in base a
quali caratteristiche due punti del piano si corrispondono?
4. tabella VERO-FALSO sugli invarianti di una trasformazione
Questa seconda scheda richiede una maggiore concentrazione, in quanto usare il linguaggio
degli insiemi e delle relazioni, in ambiente geometrico è un “passaggio” formale significativo
per studenti di questa età: la geometria usualmente viene studiata a parte (anzi a volte per
comodità di suddivisione oraria vengono fissate – all’interno dell’orario di matematica - le ore
di geometria e le ore di algebra) e senza l’uso degli “strumenti” offerti dalla teoria degli
insiemi.
In questa seconda fase sono in numero maggiore le richieste di chiarimenti e di suggerimenti
da parte degli studenti; è anche un momento in cui l’insegnante si può rendere conto della capacità
dei suoi studenti di “traslare concetti” da un settore all’altro della matematica.
10
IV fase : laboratorio di matematica – uso delle macchine
III scheda (si veda la pag.3 per ogni macchina)
Questa scheda ha lo scopo di guidare il ragazzo ad osservare e ad analizzare la macchina, a
comprendere il suo funzionamento, a determinare i confini spaziali entro cui essa può operare.
Lo studio, partendo da considerazioni concrete, tangibili, guida il ragazzo verso processi di
astrazione, quali ad esempio, deduzioni, associazioni, confronti, rielaborazioni.
La scheda è suddivisa in quattro parti:
1. tabella che contiene una foto della macchina (tratta dal cd Theatrum Machinarum) associata
ad un testo descrittivo da completare da parte dello studente
2. tabella di osservazioni (da compilare) su INVARIANTI e VARIANTI della macchina
stessa
3. studio del campo d’azione della macchina stessa, con passaggi guidati (domande aperte,
frasi da completare, alternative da scegliere).
4. studio degli elementi componenti della macchina che caratterizzano la trasformazione
stessa. In modo esplicito si intende questo:
Nel TRASLATORE DI KEMPE qual è il componente della macchina che
rappresenta il vettore traslazione?
Nel PANTOGRAFO DELLA SIMMETRIA CENTRALE qual è l’elemento fisico
che corrisponde al centro di simmetria?
Nel BIELLISMO DELLA SIMMETRIA ASSIALE qual è l’elemento fisico che
rappresenta l’asse della simmetria?
Nel PANTOGRAFO DI SYLVESTER ( ROTAZIONE) quali sono gli elementi
che individuano la rotazione (il centro di rotazione e l’angolo di rotazione?)
Questa scheda richiede una attenzione particolare da parte dei ragazzi in quanto, dopo
aver studiato le componenti della macchina stessa, essi devono esplorare e dimostrare di
avere capacità di tipo trasversale:
produrre congetture
caratterizzare oggetti matematici mediante le proprietà di cui godono
giustificare e dimostrare le proprie idee con discussioni matematiche
11
OSSERVAZIONI E ANALISI DI DATI
Tabulazione dati
TAB.1 Tabulazione dati scheda I: disegno della macchina
Esatto
Incompleto
Con errori
traslazione
09/05/02
Gr.3,5
Gr.1,2,4
-----
Simm. Centrale
18/05/02
Gr.5
Gr.2,3,4
Gr.1
Simm. Assiale
23/05/02
Gr.4,5
Gr.1,2,3
--------
Rotazione
25/05/02
Gr.5
Gr.1,2.3.4
---------
TAB.2 Tabulazione dati scheda I: definizione della trasformazione
Esatto
Incompleto
Con errori
traslazione
09/05/02
Gr.2,5
Gr.1,3,4
.- - - - -
Simm. Centrale
18/05/02
Gr.1,2,3,4,
Gr.5
-----
Simm. Assiale
23/05/02
Gr.1,3,4
---Gr.2,5,
Rotazione
25/05/02
Gr.1,
Gr.2,3,4,5
---------
TAB.3 Tabulazione dati scheda II: definizione delle trasformazioni come corrispondenze
biunivoche:
Esatto
Incompleto
Con errori
traslazione
09/05/02
Gr.1,3,5
Gr.4
Gr.2
Simm. Centrale
18/05/02
Gr.1,3,4
Gr.5
Gr.2
Simm. Assiale
23/05/02
Gr.1,3,4,5
----Gr.2
Rotazione
25/05/02
Gr.1
Gr.3
Gr.2,4,5
TAB.4 Tabulazione dati scheda III: studio del campo d’azione della macchina.
Esatto
Incompleto
Con errori
traslazione
09/05/02
---------Gr.2,4,5
Gr.1,3
Simm. Centrale
18/05/02
Gr.1,2,4
Gr.3,5
--------
Simm. Assiale
23/05/02
Gr.2,3,5
---------Gr.1,4
Rotazione
25/05/02
Gr.1,2,3,4
Gr.5
---------
12
Analisi della tabella
La prima tabella sintetizza una richiesta molto semplice: quella di eseguire un disegno della
macchina, in modo schematico. Un gruppo ha errato il disegno del pantografo della simmetria
assiale (vedere allegato). Tutti gli altri disegni risultano sostanzialmente corretti.
La seconda tabella riguarda la definizione dell’isometria che gli studenti dovevano scrivere
al termine della prima scheda. Nel considerare una definizione “corretta”, non ho tenuto conto del
linguaggio, che ho sempre sollecitato essere spontaneo. A titolo di esempio trascrivo due
definizioni classificate “corrette” riguardanti la simmetria assiale:
gr.3) la simmetria assiale è un movimento rigido attraverso il quale due figure risultano
speculari ed equidistanti dall’asse di simmetria
gr.1) trasferimento di un oggetto tramite l’asse di simmetria, mediante un movimento
rigido, ribaltando una figura di 180° attorno l’asse di simmetria
Sempre a tale proposito ho classificato incompleta la seguente definizione:
gr.2) trasformazione rispetto un asse di simmetria i cui punti sono in corrispondenza a
due a due e sono equidistanti dall’asse di simmetria.
La terza tabella dimostra che gli studenti hanno trovato difficoltà a interpretare le
trasformazioni come corrispondenze biunivoche. Come è stato specificato altrove mancava loro un
buon consolidamento dei prerequisiti necessari alla richiesta stessa.
L’ultima tabella, che raccoglie i dati relativi allo studio del campo d’azione della macchina,
mette in evidenza la difficoltà che gli studenti hanno avuto con la prima macchina, pur essendo il
traslatore una macchina non particolarmente impegnativa. E’ evidente che l’inesperienza ha giocato
un ruolo preponderante sui risultati di questo primo studio.
Ritengo doveroso specificare che le tabulazioni sopra riportate sono state compilate
dall’insegnante e non sono state discusse con i ragazzi. Potrebbe essere costruttivo proporre una
discussione alla classe; anzi, un’alternativa senz’altro proficua potrebbe essere quella di
coinvolgere gli studenti nella tabulazione stessa, dopo aver analizzato insieme le definizioni ed
averle valutate con alcuni indicatori di riferimento (es.: chiarezza espositiva, correttezza di
contenuti, originalità/creatività nell’esposizione…)
13
Apprendimento dei contenuti. “Atteggiamento” degli studenti
In questo lavoro anche la verifica ha avuto connotati diversi dalle verifiche tradizionali:
senz’altro ha prevalso “il dialogo” insegnante/studente ma l’aspetto nuovo si è manifestato con la
possibilità, da parte del docente, di valutare l’apprendimento degli studenti anche durante i momenti
di dialogo fra gli studenti stessi. Da precisare che questi ultimi avvenivano durante l’esecuzione del
lavoro (quindi spontanei) ma anche al termine della compilazione delle schede, sollecitati
dall’insegnante per stimolare sia un confronto, che una giustificazione di quanto scritto, nonchè una
eventuale autocorrezione del proprio operato.
Con questo tipo di didattica i momenti di apprendimento e di verifica sono estremamente
collegati fra loro, la compilazione stessa delle schede-guida risente di questa caratteristica.
Riporto una nota dal mio diario del 20 aprile, giorno in cui sono state prodotte le isometrie
con riga e squadra. Un gruppo ha osservato, in modo del tutto autonomo,che la simmetria centrale
si può ottenere anche con una rotazione di 180° . Inoltre, sempre in questo giorno, pur essendo il
lavoro di tipo individuale, i ragazzi si consultavano spesso a vicenda, per esempio su come
posizionare la figura da trasformare in modo che il trasformato avesse una posizione ben
inquadrata nel foglio: riportavano in classe un modo di procedere già acquisito nel laboratorio
informatico.
Come esempio di produzione, in seguito allo studio della macchina “pantografo per la
simmetria centrale” si possono riportare le due definizioni riportate da un gruppo:
movimento rigido con queste caratteristiche: 1)un punto ed il suo trasformato sono
equidistanti dal centro; 2)ogni punto ed il suo trasformato sono allineati con il centro.
Insieme di coppie di punti tali che sono allineati con il centro di simmetria ed
equidistanti dal centro.
In queste due definizioni cambia la prima parte: il linguaggio del movimento rigido, che è
rimasto impresso agli studenti come linguaggio “tipicamente geometrico”, viene sostituito nella
seconda definizione con un linguaggio algebrico.
Il fatto che non sia evidenziata la corrispondenza biunivoca fra i punti nel piano è dovuto ad
un prerequisito non ancora ben assimilato da parte loro: per questioni di tempo non è stato
sviluppato il modulo delle “funzioni” e quindi delle “corrispondenze biunivoche”. (Sempre in
riferimento a questa isometria c’è da rilevare che due gruppi, nella prima definizione, non usano il
concetto di “movimento rigido” ma parlano di trasformazione).
Un’altra osservazione da evidenziare è la seguente: invece di definire l’ isometria con un
linguaggio algebrico alcuni gruppi hanno messo in evidenza le proprietà della isometria vista come
relazione. Ad esempio, usando il pantografo di Sylvester per la rotazione c’è chi ha specificato che
la rotazione gode della proprietà antiriflessiva e antisimmetrica: si può prendere atto di questo
tentativo di utilizzare nozioni già acquisite per applicarle in contesti nuovi. (anche su queste
affermazioni si può avviare una interessante discussione).
14
CONCLUSIONI
Valutazioni dell’esperimento
Questa ricerca didattica è maturata di giorno in giorno nel corso di tutto l’anno scolastico. Il
fatto stesso d’aver dilazionato la sua realizzazione nel corso di un quadrimestre, ha permesso di
lasciare spazio a riflessioni sulle “modalità di risposta” della classe, di calibrare il lavoro in base ai
ritmi della classe stessa (qualche pausa c’è stata, ed è servita per sviluppare altri parti del
programma).
L’esperienza accumulata è d’incentivo a riproporre il modulo didattico in oggetto, anche per
le future classi prime, usando lo stesso materiale, per avere eventualmente una conferma alle
seguenti valutazioni relative a questo primo approccio:
la seconda scheda per lo studio delle macchine potrebbe essere modificata, soprattutto nella
parte centrale, dove viene richiesta la definizione della corrispondenza biunivoca (non mi è
parsa di facile interpretazione per i ragazzi).
La terza scheda andrebbe meglio organizzata, bisognerebbe evidenziare con chiarezza le
finalità che si vogliono raggiungere con questa scheda.
Sarebbe opportuno anche fare una “verifica esplicita”, non solo in itinere, per poter
puntualizzare meglio i concetti e per non infondere la convinzione che il laboratorio di
matematica escluda momenti di verifica a se stanti.
Inoltre anche gli altri docenti di matematica hanno espresso il desiderio di predisporre nel
futuro piano di lavoro un modulo comune a tutte le classi prime, inerente al laboratorio di
matematica. (Si potrebbe dotare l’Istituto di un certo numero di modelli di macchine matematiche).
Questo porterebbe ad un confronto delle esperienze dei singoli docenti, con l’opportunità di uno
scambio di idee, al fine di rendere sempre più efficace l’insegnamento.
Un’altra interessante ipotesi da sviluppare potrebbe essere quella di allargare questa ricerca
anche agli altri due istituti di istruzione superiore agglomerati al liceo.
Termino queste valutazioni con un interrogativo: perché non proporre anche alle scuole
medie, presenti nel territorio, una semplice sperimentazione di laboratorio matematico?
Considerazioni finali
L’impegno che ha richiesto questa ricerca, è stato sostanzioso. Ritengo tuttavia positiva
l’esperienza in quanto mi ha permesso di percorrere itinerari nuovi. La “risposta” degli studenti in
termini di attenzione, partecipazione, interesse ed assimilazione dei contenuti è andata oltre le mie
aspettative.
Continuare anche nella futura classe seconda con un successivo modulo, relativo ad altre
trasformazioni (omotetie, similitudini), penso sia proficuo per gli studenti, che, altrimenti
vedrebbero il laboratorio di matematica come relegato alla prima classe di accesso alle superiori,
non come un’attività “in crescita” insieme a loro.
%-%-%-%
15