Macchine matematiche: dalla storia alla scuola
6 Uso didattico delle macchine matematiche: una rassegna internazionale
6.2 Strumenti meccanici e strumenti quotidiani: le ricerche di J. L. Vincent
Introduzione
Nella tesi di dottorato1 discussa presso l’università di Melbourne (2002), Jill
L. Vincent affronta in modo diretto il problema della dimostrazione con allievi del grado 8 (corrispondente alla nostra terza media) in attività che prevedono l’uso sistematico e intenzionale di sistemi articolati.
Tra i problemi della ricerca di Vincent ci sono i seguenti che interessano
il campo degli strumenti meccanici:
“ Si può costruire una cultura della dimostrazione geometrica in una classe
del grado 8 in un contesto caratterizzato dalla presenza di sistemi articolati
e di un software di geometria dinamica?
Gli studenti del grado 8 sono motivati ad affrontare argomentazioni, congetture e ragionamento deduttivo in un contesto caratterizzato dalla presenza di sistemi articolati e di un software di geometria dinamica?
Il feedback statico e dinamico dato dai sistemi articolati e da un software
di geometria dinamica aiuta il coinvolgimento cognitivo degli studenti del
grado 8 nell’argomentazione, nella congettura e nel ragionamento deduttivo?
Il processo di argomentazione e di produzione di congetture contribuisce
alla costruzione di dimostrazioni valide?
Il feedback empirico offerto dai sistemi articolati e da un software di geometria dinamica è sufficiente a convincere gli studenti del grado 8? „
Lo studio sperimentale di Vincent riguarda una classe di 29 studentesse del
grado 8 (corrispondente alla nostra terza media), di cui l’autrice è insegnante (insegnante – ricercatore). È uno studio di lungo termine, che comprende
24 sessioni di lavoro di cui 6 di pre-test, post-test e 18 equamente distribuite tra attività collettive e attività a coppie con l’intervento dell’insegnante.
Nelle attività sono utilizzati carta e penna, l’ambiente Cabri e, in 8 sessioni
anche modelli fisici di sistemi articolati offerti dall’insegnante o costruiti
dalle studentesse con strisce di cartone o di plastica.
È impossibile dare conto dei dettagli della ricerca. Ci limitiamo ad alcune
informazioni sulle particolari consegne assegnate e su alcune questioni metodologiche.
1
Vincent J. L. (2002), Mechanical linkages, dynamic geometry software and argumentation :
supporting a classroom culture of mathematical proof, Unpublished PhD Thesis, The University
of Melbourne.
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Prima esplorazione guidata
Tre sistemi articolati sono scelti inizialmente per l’attività, avviata con tutta
la classe sotto la guida dell’insegnante:
- il carrello elevatore con cestello (vedi Fig. 1);
- il crick simmetrico per sollevare l’auto (vedi Fig. 2);
- il meccanismo di Tchebicheff (vedi Fig. 3).
In particolare, il meccanismo di Tchebicheff2 è introdotto per mostrare
che non sempre l’evidenza visiva è corretta.
Figura 1: carrello elevatore con cestello
Figura 2: crick simmetrico per sollevare l’auto
2
In questo stesso cd, nel Capitolo 2 paragrafo 7 riguardante la guida rettilinea, si trovano alcuni pannelli su Tchebicheff preveniente dalla mostra russa allestita a ICME 10.
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Figura 3: meccanismo di Tchebicheff
L’attività a coppie
Successivamente, in sessioni con lavoro a coppie, sono proposti altri sistemi articolati, tratti dalla vita di tutti i giorni:
- le grate espandibili da giardino;
- il crick per auto asimmetrico;
- il tavolo da stiro pieghevole;
o dall’ambiente delle macchine matematiche:
- il trisettore di Pascal;
- il pantografo di Scheiner piano;
- il pantografo di Sylvester;
oltre ad un vecchio strumento di calcolo per bambini (la scimmia istruita)
che consente di calcolare meccanicamente i prodotti di numeri interi da 1 a
12 (Il file monkey.zip presente nel cd è una simulazione del funzionamento).
Per ogni sistema articolato è proposto un modello fisico, in alcuni casi
realizzato dalle studentesse con strisce di cartone o di plastica e un file Cabri che simula il funzionamento. L’esplorazione è condotta prima
sull’oggetto fisico e poi sul file Cabri.
A titolo esemplificativo traduciamo due delle schede di lavoro proposte.
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Crick per auto
“ Fate funzionare il crick girando la vite.
Il disegno qui mostra un modello del sistema articolato. Il punto P scorre
avanti e indietro lungo la guida AP.
C
B
P
A
•
B è il punto medio di CP e AB = BP. Costruite il modello con le strisce di
plastica e i fermacampioni e osservate il movimento del sistema articolato.
Osservate attentamente le traiettorie (luoghi) di vari punti.
• Disegnate accuratamente diagrammi con il righello e la matita per
mostrare due diverse posizioni del sistema articolato.
Fate una congettura sull’azione del sistema articolato che si può collegare
al suo utilizzo come crick per sollevare l’auto
………………………………………………………………………………….
• Aprite il file Cabri Carjack.fig. Trascinate il sistema articolato.
Siete ancora convinte della vostra congettura? …………………………
• Usate le lettere della figura per indicare tutte le forme geometriche
che potete identificare nel sistema articolato.
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…………………………………………………………………………………
• Riscrivete la vostra congettura usando le lettere.
………………………………………………………………………………….
• Spiegate perché il crick funziona costruendo una dimostrazione della
vostra congettura. Assicuratevi di poter giustificare ogni enunciato
che scrivete.
…………………………………………………………………………………
Dati: AB = BP = BC
Dimostrare che ……………………………………………………………
………………………………………………………………………………
Dimostrazione: ……………………………………………………………
………………………………………………….……………………………
Macchina matematica di Pascal
• Guardate il modello del seguente sistema articolato, dove AB = BC =
CD. Esso fu inventato da Pascal.
• Il sistema articolato può ruotare nei punti A, B, C.
• Il perno C può scorrere lungo AX e D scorre lungo AY.
• Elencate ciascun triangolo del sistema articolato e commentate tutte le
proprietà di questi triangoli.
……………………………………………………………………………
• Fate un disegno geometrico accurato del sistema articolato, con il righello e la matita, rappresentando ogni asta con un segmento.
• Indicate sul vostro disegno tutte le informazioni.
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• Osservate con cura gli angoli nel sistema articolato. Potete fare qualche congettura su come muovete il sistema articolato.
• Ora aprite il file Pascal.fig, dove vedrete una costruzione fatta come il
modello.
• Trascinate il punto Y e osservate gli angoli del sistema articolato, facendo tutte le misure che ritenete opportune.
• Fate una copia accurata, con il righello e la matita, della costruzione
Cabri, indicando sul vostro disegno tutte le relazioni importanti, prese
sia dalle informazioni date che dalle scoperte che fate.
• Quale congettura potete fare ora, o siete ancora soddisfatti della congettura precedente?
…………………………………………………………………………
• Potete dimostrare la vostra congettura? Scrivete con cura la vostra
dimostrazione, usando le vostre conoscenze geometriche o le informazioni date per giustificare ogni enunciato.
Dati: …………………………………………………………………………
Dimostrare che ………………………………………………………………
Dimostrazione: ……………………………………………………………
……………………………………………………………………………….. „
Gli strumenti di analisi di processi e prodotti
Nello studio di Vincent, alcune coppie di studentesse sono osservate con
cura durante l’esplorazione dei diversi sistemi articolati. Il prodotto finale
(dimostrazione) di ciascuna studentessa è analizzato facendo riferimento
allo schema di Toulmin (vedi il Capitolo 5 paragrafo 5). Per codificare il
processo, invece, Vincent introduce uno schema originale, che consente di
analizzare l’interazione.
Lo schema è interpretato in questo modo (Vincent, 2002).
Lo schema mostra che le due studentesse sono state impegnate in un processo argomentativo complesso che comprende quattro distinti processi:
l’orientamento del compito, la raccolta di dati, la produzione di una congettura, la costruzione di una dimostrazione.Le studentesse erano ancora
relativamente inesperte nelle investigazioni e nel ragionamento geometrico,
e lo scopo opaco del sistema articolato non offriva alcun aiuto ad Anna e
Kate per la produzione di congetture. Il mio intervento quindi ha giocato
un ruolo sostanziale nella capacità delle studentesse di dimostrare la relazione angolare implicita nella progettazione del sistema articolato, richiamando la loro attenzione su proprietà rilevanti, e spingendole a fornire ga-
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ranzie per i loro enunciati. Tuttavia, la geometria relativamente semplice e
familiare ha consentito ad Anna e Kate di impegnarsi in un ragionamento
deduttivo. Quando ad Anna e Kate è stato dato il modello Cabri, esse non
sono più ritornate ad analizzare il modello fisico. La possibilità di misurare
gli angoli in Cabri ha supportato il ragionamento deduttivo, cos’ come le
ha aiutate a scoprire altre relazioni.
Anna e Kate riescono a produrre una dimostrazione (o meglio due dimostrazioni con strutture lievmente diverse) della proprietà del trisettore:
DĈX = 3 BÂC.
I risultati dello studio consentono di dare risposte positive ai problemi di
ricerca posti inizialmente, mostrando, in particolare che lo studio di semplici sistemi articolati, sia presi dalla vita di tutti i giorni che dall’ambiente
delle macchine matematiche, è alla portata degli studenti di 13-14 anni, che
giungono a produrre dimostrazioni geometriche delle loro proprietà.
Figura 4