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Macchine matematiche: dalla storia alla scuola
1 Gli strumenti meccanici: macchine per tracciare curve e realizzare trasformazioni
1.8
Il teorema di Kempe
Esercizi sul teorema di Kempe
Esaminiamo il caso particolare di un’iperbole equilatera di equazione (forma canonica)
x2 − y 2 = 1 .
Analisi del problema
Consideriamo un punto P∈Γ e supponiamo che
d(O, P) = 2k,
P → (x, y).
Consideriamo un rombo articolato con lati
OA = AP = BP = OB > k.
In questo modo avremo un solo parametro k invece di due.
Se
α = XÔA
β = XÔB ,
si ha:
x = k cosα + k cosβ
y = k sinα + k sinβ.
Quindi l’equazione di Γ diviene:
k 2 (cos α + cos β) 2 − k 2 (sin α + sin β) 2 − 1 = 0
cioè:
cos 2α + cos 2β + 2 cos(α + β) − 1 / k 2 = 0 .
Costruiamo un sistema articolato per ciascun addendo. I sistemi articolati
devono produrre i seguenti vettori:
OL1
modulo: 1
angolo con OX:
2α
OL2
modulo: 1
angolo con OX:
2β
OL1
modulo: 2
angolo con OX:
α+β;
che devono essere addizionati per mezzo di traslatori (Lemma 4). Il punto
ottenuto P' deve stare sulla retta di equazione:
x=
1
.
k2
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Contiamo il numero di aste:
OL1
duplicatore
7 aste
OL2
duplicatore
7 aste
OL3
2 bisettori
13 aste
OL1 + OL2+ OL3
2 traslatori
12 aste
P' ∈ r
inversore
7 aste
Anche se l’equazione è molto semplice, il numero di aste è tanto grande da
rendere la costruzione “pratica” impossibile.
Analisi e sintesi “virtuale”
Nell’impossibilità di una costruzione fisica, diamo una costruzione “virtuale” del sistema, per mezzo del software Cabri. Per semplicità di disegno assumiamo k = 1. La figura mostra il vettore
OP' = OL1 + OL2 + OL3.
La costruzione non è compiuta con sistemi articolati ma con comandi di
Cabri che hanno la stessa finalità. Se il punto P appartiene ad un arco di iperbole, il punto P' descrive un luogo che è in parte coincidente con un
segmento della retta r. Sicuramente ci sono dei limiti:
- Il punto P non può essere trascinato fuori dal cerchio con centro O e
raggio 2;
- Anche in questo cerchio, la coincidenza è solo locale.
In questo modo, si vede che se P ∈ Γ (o meglio a un arco di Γ) allora P' ∈
r. Se usiamo la terminologia di Newton, P è il punto direttore e P' è il punto
tracciatore (vedi Fig. 2).
In realtà noi siamo interessati ad invertire I ruoli di P e P', poiché, se vogliamo disegnare un arco di Γ, il punto direttore deve essere P' e il punto
tracciatore P. Questo sarebbe facile da realizzare su uno strumento fisico
(se esistesse), poiché sarebbe sufficiente cambiare il punto di impugnatura.
Nella simulazione al calcolatore, l’ordine di dipendenza dei punti è rigidamente fissato nella costruzione. Quindi è necessario ripetere la costruzione
a partire dal punto P', ripercorrendo i passi in ordine inverso.
La costruzione risolve il problema. É facile verificare che se P' ∈ H'K', P ∈
Γ (vedi Fig. 2).
1.8 Il teorema di Kempe
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Figura 1
Figura 2
Osservazione
Si possono costruire alcune semplici identità goniometriche che contengono
monomi di grado qualsiasi.
Consideriamo tutti i possibili monomi di secondo grado in cos α, sen α,
cos β, sen β e vediamo di esprimerli come somma algebrica di coseni:
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cos 2 α =
1
(1 + cos 2α) ,
2
sin 2 α =
1
(1 − cos 2α) ,
2
cos α cos β =
1
( sen (α+β) + cos (α-β)),
2
cos α sen β =
1
(sen (α+β)- sen (α-β)),
2
sen α cos β =
1
(sen (α+β) + sen (α-β)),
2
sen α sen β =
1
(cos (α-β) - cos (α+β)).
2
Osserviamo poi che:
sen θ = cos (θ -
1
π),
2
- cos φ = cos (φ + π).
Con queste sostituzioni, ogni polinomio di secondo grado a coefficienti reali in cos α, sen α, cos β, sen β si può scrivere come
∑ [C cos(m α ± n β ± θ )] + C
i
i
i
i
con Ci > 0 , mi , ni ∈ {0, 1, 2}, θi ∈ {0, ±
1
π, π}.
2
Consideriamo ora monomi di grado n a coefficienti reali in cos α, sen α,
cos β, sen β; possiamo ripetere il ragionamento:
cos n α = cos α cos n −1 α ,
sin n α = sin α sin n −1 α ,
cos α sin n −1 α ,
cos α sin n −1 β ,
sin α cos n −1 α ,
sin α cos n −1 β , eccetera.
Se è quindi possibile realizzare una scrittura del tipo precedente per polinomi di grado n-1, è possibile anche realizzarla per polinomi di grado n
(dimostrazione per induzione).
1.8 Il teorema di Kempe
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Per esercizio, trasformare nella forma le equazioni delle seguenti curve algebriche, identificando le aste (vettori) necessarie.
Il riferimento è scelto in modo opportuno (forme canoniche). Si suggerisce
di porre:
a = b = 1,
limitando il numero dei parametri e limitando la regione raggiungibile con
il parallelogramma articolato (in questo caso rombo articolato) iniziale.
Le curve algebriche sono:
retta
x–k=0
circonferenza
x2 + y2 = 1
parabola
x2 − y = 0
concoide
( x 2 + y 2 )( x − d ) 2 − m 2 x 2 = 0 (ponendo: m = 1)
cissoide
x( x 2 + y 2 ) − 2ry 2 = 0
(ponendo: r = 1)
x( x 2 + y 2 ) − 2r (2 x 2 + y 2 ) = 0 (ponendo: r = 1)
lemniscata di Bernoulli
( x 2 + y 2 ) 2 − k 2 ( x 2 − y 2 ) = 0 (ponendo: k = 1)