Macchine matematiche: dalla storia alla scuola
1 Gli strumenti meccanici: macchine per tracciare curve e realizzare trasformazioni
1.7
La guida rettilinea
La soluzione di Watt
Il parallelogramma di Watt (1784), uno dei più antichi sistemi articolati usati nella tecnica, risolve solo approssimativamente il problema di pilotare
il moto rettilineo di un punto senza ricorrere alla predeterminazione fisica
della traiettoria. Esso costringe l'estremo di un pistone a muoversi su un arco di curva così “appiattito” che sembra un segmento di retta.
Il meccanismo è costituito da tre aste incernierate, due delle quali, AD e
BC, di egual lunghezza e una AB molto più corta. Se C e D sono punti fissati (ad altezze opportune diverse fra loro), allora muovendo l'asta AB il
suo punto medio P sembra descrivere per un tratto considerevole un segmento rettilineo verticale.
Figura 1: meccanismo di Watt
Per guidare l'asta del pistone delle macchine a vapore il più delle volte anziché usare la semplice versione ora descritta del meccanismo di Watt si è
approffittato di una sua variante, basata sullo stesso principio e nota come
“parallelogramma di Watt”. Nella Fig. 2, si ha DA = AE = BQ = BC e anche AB = EQ, i punti C e D sono fissi. Il sistema DABC è del tutto identico
al precedente: allora il punto medio P dell'asta AB descrive allora un moto
approssimativamente verticale.
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Figura 2: parallelogramma di Watt
1.7 La guida rettilinea
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La soluzione di Peaucellier
Ma nel 1864 Peaucellier inventa un sistema articolato a 7 aste in grado di
fornire una soluzione rigorosa, contenuta in una regione limitata del piano.
Figura 3: inversore di Peaucellier
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La soluzione di Kempe
Figura 4: copertina del libro di Kempe
Kempe (1873-74) risolse il problema con sistemi articolati costituiti da deltoidi simili accoppiati o da deltoidi e antiparallelogrammi opportunamente
incernierati. Qui di seguito riportiamo uno dei due strumenti considerati da
Kempe (Fig. 5).
Figura 5: guida rettilinea di Kempe
1.7 La guida rettilinea
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Figura 6
Nella Fig. 6, ABCD e BCFE sono due deltoidi articolati simili (CF=CD),
ABGD è un rombo articolato i cui vertici D e G sono fissati al piano. Durante la deformazione del sistema, il vertice F descrive un segmento della
retta r perpendicolare in D alla retta DG.
Dimostrazione
Prolungando DC fino ad incontrare la retta di AB in K si ha:
CKˆ A = ACˆ D − CAˆ B
=
1 ˆ
1
BCD − DAˆ B
2
2
=
1 ˆ
1
BCD − FCˆ B
2
2
=
1 ˆ
DCF
2
La bisettrice CH dell’angolo al vertice del triangolo isoscele DCF è in
ogni posizione parallela ad AB, quindi DF è sempre perpendicolare a
DG.
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La soluzione di Hart
La macchina di Hart (1877), leggermente più complicata da un punto di vista matematico, risolve il problema con un sistema articolato di 5 aste soltanto (che può servire anche come ellissografo): è questo il minimo numero
di aste per un sistema articolato che dia un moto rettilineo.
Figura 7: guida rettilinea di Hart