Macchine matematiche: dalla storia alla scuola
1 Gli strumenti meccanici: macchine per tracciare curve e realizzare trasformazioni
1.2
Il compasso di Nicomede
In questo paragrafo è presentato il ricorso alla concoide per la risoluzione
del problema della trisezione dell’angolo.
Triplicazione di un angolo
Figura 1
Dato XOY, costruire XBC = 3 XOY.
Posto OA = a (arbitrario) costruire
B tale che AO = AB
C tale che BA = BC
D intersezione di OY con la circonferenza di centro A e r = AO,
dunque
(1) OBˆ D è retto
(2) OD = 2 OA.
Si ha:
(3) XBˆ C + ABˆ O = BCˆ A + BAˆ C = 2 BAˆ C
(4) BAˆ C = ABˆ O + BOˆ A = 2 BOˆ A = 2 XOˆ Y
segue:
(5) XBˆ C = 3 XOˆ Y .
Si passi ora al problema della trisezione.
1 Gli strumenti meccanici: macchine per tracciare curve e realizzare trasformazioni
2
Trisezione di un angolo
Figura 2
Dato XBˆ Z costruire BOˆ C tale che 3 BOˆ C = XBˆ Z
ANALISI (Fig. 4)
Se O risolve il problema, valgono le relazioni (1), (2), (3), (4).
SINTESI (Fig.5)
Dato XBˆ Z e un segmento a arbitrario, costruire C su BZ tale che BC = a.
Sia D scelto arbitrarariarmente sulla perpendicolare a BX in B.
Sia DO = 2a sulla semiretta CD e non contenente C.
Quando il punto O sta sulla retta XB, O risolve il problema.
Trascinando D fino a che O non si trova su BX si può trovare empiricamente la soluzione, avendo ricostruito la configurazione della Figura 3.
Figura 3
1.2 Il compasso di Nicomede
3
Figura 4
Il punto O che risolve il problema appartiene all’intersezione della retta BX
con una concoide avente come base la retta BD, come polo il punto C e
come modulo il segmento 2a. Quindi, se si dispone di un compasso di Nicomede, strumento atto a tracciare concoidi, il problema della trisezione
dell’angolo è risolto in modo rigoroso.
Ci si può chiedere perché questo strumento non sia stato introdotto tra gli
strumenti ammissibili nella geometria alessandrina (almeno a giudicare dai
testi pervenuti e dalla tradizione consolidata). Probabilmente la realizzazione dello strumento non garantisce la stessa precisione, sensibilità e affidabilità ottenibile con la riga e il compasso, quando si utilizzano fogli di papiro. Questo può spiegare l’apparente minor fortuna teorica di questo strumento (vedi la discussione di Heath, I, 150-1).