Macchine matematiche: dalla storia alla scuola
1 Gli strumenti meccanici: macchine per tracciare curve e realizzare trasformazioni
1.1
Tracciare segmenti o cerchi
La riga e il compasso fanno riferimento a schemi d’uso molto diversi.
La riga (il bordo rettilineo di un regolo di legno o di metallo) consente di
disegnare o di prolungare una retta (o meglio una parte limitata di retta,
cioè un segmento congiungente due punti) per copiatura: la retta, il segmento sono già incorporati in modo permanente nello strumento e la penna
che scorre sul foglio si limita a ricalcarne il bordo fissandone la traccia in
una posizione. Una mano tiene la riga, l’altra pilota il punto tracciatore tenendo la penna aderente al bordo.
Figura 1
La situazione è simile a quella che si verifica quando si tracciano cerchi ricalcando il bordo di una mascherina, o di un oggetto di forma rotonda (un
bicchiere, ad esempio).
Figura 2
Non è immediatamente evidente la proprietà che definisce il cerchio negli
Elementi di Euclide (Definizione 15, Libro I): “Un cerchio è la figura piana racchiusa da una linea tale che tutti i segmenti che sono tracciati ad essa da un punto interno alla figura sono uguali tra loro. „
Quando, invece, si usa il compasso, gli schemi d’uso sono diversi. Non
c’è nessun cerchio già incorporato da ricalcare; c’è piuttosto uno strumento
che, pilotato da una mano, determina nel tempo la traiettoria del punto tracciatore. Una mano tiene fermo il foglio, l’altra imprime al braccio del compasso che contiene il punto tracciatore un movimento di rotazione intorno
al braccio del compasso che contiene l’ago. La difficoltà dell’operazione,
come si osserva nei primi tentativi d’uso da parte dei bambini, sta nel tenere
fisso l’ago mentre si mantiene il punto tracciatore aderente al foglio.
1 Gli strumenti meccanici: macchine per tracciare curve e realizzare trasformazioni
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Figura 3
Diverso è il caso del compasso piano, costituito da un’asta fissata in uno dei
suoi estremi (o da un filo tenuto teso): essa ruotando intorno all’estremo
fisso descrive un cerchio con l’altro estremo. Se in questo estremo è praticato un occhiello in cui è collocata una matita, la mano che sostiene la matita è forzata a muoversi in cerchio. Questo procedimento evoca la genesi
costruttiva attribuita ad Erone (vedi Heath, 1956) che descrive il cerchio
come “la figura descritta quando un segmento, sempre restando nello stesso piano, si muove intorno ad un estremo mantenuto fisso fino a tornare
nella posizione di partenza „.
Figura 4
Rette e cerchi si possono naturalmente tracciare, almeno in modo rozzo,
anche a mano libera. Se le dimensioni del disegno sono abbastanza grandi,
la struttura del nostro corpo rende il tracciamento di archi di cerchio più facile del tracciamento di segmenti.
1.1 Il compasso di Euclide
3
La coppia pollice-indice rappresenta già un compasso rudimentale, in
cui il pollice gioca il ruolo dell’ago e l’indice quello del punto tracciatore.
Figura 5
Tracciare un arco di cerchio su una lavagna appesa al muro è relativamente
facile se si ha l’avvertenza di tenere la spalla ferma.
Figura 6
E’ forse questo il motivo che spiega la presenza di tante linee chiuse di
forma rozzamente circolare nei primi disegni dei bambini?
1 Gli strumenti meccanici: macchine per tracciare curve e realizzare trasformazioni
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Figura 7
Arnheim (1962), nel Capitolo 4 del suo libro Arte e percezione visiva, analizza le ragioni che possono giustificare la prevalenza di disegni di forma
circolare rispetto ai segni di forma lineare. La difficoltà a produrre un segno
lineare è giustificata dalla complessità dei controlli intenzionali.
Figura 8
Il file Cabri ar.fig illustra dinamicamente questo fatto.