Formeln für den Einfeldträger
Mathcad in der Tragwerksplanung
Teil V, Kap. 1.2
Zuletzt aktualisiert: 05.12.2002
Bearbeiter: Horst Werkle
Formeln für den Einfeldträger
kN ≡ 1000 ⋅ N
MN ≡ 1000 ⋅ kN
Systemkennwerte:
l := 6m
N
E := 210000 ⋅
mm
I := 18000cm
2
4
Lagerung: gelenkig-gelenkig
Trapezlast
 l−x

 

l 


MTrap_gg ( x , qi , qk ) :=
(
)
3
 l − x  
 ⋅ qi +
 l  
−
 x
  
 l 
3
 x  
 ⋅ qk
 l   ⋅ l2
−
6
3 
2
4
  l − x 

 l − x   ⋅  7 − 3 ⋅  l − x   ⋅ q  ...  ⋅ l
−



   l   l   
 l   i  360 ⋅ E ⋅ I
3 
2
  x

x
x
 +    −    ⋅  7 − 3 ⋅    ⋅ qk

  l   l   
l 

wTrap_gg x , qi , qk :=   
Einzellast
 x ⋅ l − a ⋅ F ⋅ l  if x ≤ a


l
l
l l

l
−
x
a




 ⋅ ⋅ F ⋅ l otherwise
 l  l 
MF_gg ( x , F , a) :=
2
2
3

l − a
 x   l − a ⋅  x  ⋅ F ⋅ l if x ≤ a
 1 − 
 −   ⋅
 
l
l
  l   l   l  l  6⋅E ⋅I
2
2
3


 1 −  a  −  l − x   ⋅ a ⋅  l − x  ⋅ F ⋅ l otherwise
  l   l   l  l  6⋅E ⋅I
wF_gg ( x , F , a) :=
Einzelmomente bei i und k
(
)
 l − x + M ⋅x

k l
 l 
MM_gg x , Mi , Mk := Mi ⋅ 
2 
3
3 
l − x

l
 l − x   + M ⋅ x −  x  
wM_gg x , Mi , Mk :=
⋅  Mi ⋅ 
−

 
k
6⋅E ⋅I 
 l
 l  
 l  l  
(
)
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Lagerung: gelenkig-eingespannt
Trapezlast
(
)
MTrap_ge x , qi , qk :=
(
− 7 ⋅ qi + 8 ⋅ qk
ME ←
120
(
) ⋅ l2
)
(
MTrap_gg x , qi , qk + MM_gg x , 0 ⋅ kN ⋅ m , ME
(
)
wTrap_ge x , qi , qk :=
(
− 7 ⋅ qi + 8 ⋅ qk
ME ←
120
(
)
) ⋅ l2
)
(
wTrap_gg x , qi , qk + wM_gg x , 0 ⋅ kN ⋅ m , ME
)
Einzellast

2
 a  

 l   ⋅a⋅F
− 1 − 
MF_ge ( x , F , a) :=

ME ←
2
(
MF_gg ( x , F , a) + MM_gg x , 0 ⋅ kN ⋅ m , ME

)
2
 a  

 l   ⋅a⋅F
− 1 − 
wF_ge ( x , F , a) :=
ME ←

2
(
wF_gg ( x , F , a) + wM_gg x , 0 ⋅ kN ⋅ m , ME
)
Lagerung: eingespannt-eingespannt
Trapezlast
(
)
MTrap_ee x , qi , qk :=
(
− 1.5⋅ qi + qk
MEi ←
30
) ⋅ l2
(
− qi + 1.5⋅ qk
MEk ←
30
(
) ⋅ l2
)
(
MTrap_gg x , qi , qk + MM_gg x , MEi , MEk
(
)
wTrap_ee x , qi , qk :=
MEi ←
(
− 1.5⋅ qi + qk
30
(
) ⋅ l2
− qi + 1.5⋅ qk
MEk ←
30
(
)
) ⋅ l2
)
(
wTrap_gg x , qi , qk + wM_gg x , MEi , MEk
)
Einzellast
MF_ee ( x , F , a) :=
MEi ←
MEk ←
2
 l − a  ⋅F ⋅l

l  l 
−a
⋅
−( l − a)
l
2
 a
 ⋅F ⋅l
l
⋅
(
MF_gg ( x , F , a) + MM_gg x , MEi , MEk
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)
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wF_ee ( x , F , a) :=
MEi ←
MEk ←
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2
 l − a  ⋅F ⋅l

l  l 
−a
⋅
−( l − a)
l
2
 a  ⋅F ⋅l

l
⋅
(
wF_gg ( x , F , a) + wM_gg x , MEi , MEk
)
Beispiele
Momente und Durchbiegungen in Trägermitte für eine Einzellast
bei verschiedenen Lagerungsbedingungen
P := 20 ⋅ kN
a := 2m
gelenkig - gelenkig
 l , P , a  = 20 kN ⋅ m

2

MF_gg 
l

wF_gg  , P , a  = 2.03 mm
2


gelenkig - eingespannt
 l , P , a  = 11.11 kN ⋅ m

2

MF_ge 
l

wF_ge  , P , a  = 0.97 mm
2


eingespannt - eingespannt
 l , P , a  = 6.67 kN ⋅ m

2

MF_ee 
l

wF_ee  , P , a  = 0.44 mm
2


Momente und Durchbiegungen in Trägermitte für eine Trapezlast
bei verschiedenen Lagerungsbedingungen
kN
qa := 5 ⋅
m
kN
qb := 15 ⋅
m
gelenkig - gelenkig
l

, qa , qb  = 45 kN ⋅ m
2


MTrap_gg 
l

wTrap_gg  , qa , qb  = 4.46 mm
2


gelenkig - eingespannt
 l , q , q  = 21.75 kN ⋅ m
a b
2

MTrap_ge 
l

wTrap_ge  , qa , qb  = 1.7 mm
2


eingespannt - eingespannt
 l , q , q  = 15 kN ⋅ m
a b
2

MTrap_ee 
l

wTrap_ee  , qa , qb  = 0.89 mm
2


Momenten- und Biegelinien
xx := 0 ,
l
100
.. l
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kN
qa := 0 ⋅
m
kN
qb := 50 ⋅
m
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Momentenlinie in [kNm]
200
(
)
− MTrap_ge xx , qa , qb
100
kN ⋅ m
0
2
4
6
4
6
100
xx
i := 0 , 1 .. 100
 l ,q ,q 
MT := MTrap_ee  i ⋅
a b
i
 100

max ( MT) = 38.59 kN ⋅ m
min ( MT) = −90 kN ⋅ m
Biegelinie in [mm]
0
(
)
− wTrap_ge xx , qa , qb
mm
2
2
4
6
xx
 l ,q ,q 
wt := wTrap_ee  i ⋅

i
 100 a b 
max ( wt ) = 2.24 mm
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min ( wt ) = 0 mm
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