万方数据
数
进
学
展
ｗｈｉｃｈ ａｒｉｓｅｓ ｉｎ ｓｐｅｃｉａｌ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ ｇｅｏｍｅｔｒｙ：ｉｆⅡｉｓ
ｉｎ Ｃ３ ｉｓ
Ｔｈｉｓ
ａ
ａ
３３卷
ｓｏｌｕｔｉｏｎ
ｇｒａｐｈ ｏｆ Ｄｕ
ｏｆ（２），ｔｈｅ
ｏＶｅｒ
Ｒ３
ｓｐｅｃｉａｌ Ｌａｇｒａｎ舀ａｎ ｓｕｂｍａｎｉｆｏｌｄ ｉｎ Ｃ３，ｉ．ｅ．，ｉｔｓ ｍｅａｎ ｃｕｒｖａｔｕｒｅ ｖａｎｉｓｈｅｓ ｅｖｅｒｙｗｈｅｒｅ［引．
ｓｐｅｃｉａｌ
ｃａｓｅ
ｈａｓ ｒｅｃｅｉｖｅｄ ｍｕｃｈ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ．Ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ ｔｈｅ Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ ｐｒｏｂｌｅｍ
ｉｎ【４］．Ｉｎ【１０］ａｎｄ【１７］，Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ ｔｈｅｏｒｅｍ ｆｏｒ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍａｌ ｓｕｎｍａｎｉｆｏｌｄ
（ｚ，Ｄｕ（ｚ））ｗｅｒｅ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｌｙ ｐｒｏｖｅｄ．Ｒｅｃｅｎｔｌｙ，Ｂａｏ ａｎｄ ｃｈｅｎ【１ Ｊ ｏｂｔｉａｎ ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｒｉｔｙ ｆｏｒ ｓｔｒｏｎｇ
ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ（２），ａｎｄ ｓｈｏｗ ３ ｉｓ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｓｏｂｏｌｅｖ ｅｘｐｏｎｅｎｔ．Ｉｔ ｗａｓ ｓｈｏｗｎ ｉｎ【１６】ｔｈａｔ ｃ２，ｄｍｏｒｍ
ｏｆ
ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ（２），ｎｏｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ ｃｏｎｖｅｘ，ｃａｎ ｂｅ ｂｏｕｎｄｅｄ ｂｙ ｉｔｓ ｃ１，１－ｎｏｒｍ．
ｔｏ（２）ｈａⅣｅ
ｏｂ七ａｉｎｅｄ
ｂｅｅｎ
ａ
ｕｓｉｎｇ ｕｒｂａｓ’ｓ ｉｄｅａｓ
Ｔｈｅｏｒｅｍ
ｗｉｔｈ
ｉｎ【１５】ｏｎ
ｒｅｇｌｕｌａｒｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ Ｈｅｓｓｉａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｗｅ ｈａｖｅ
Ｌｅｔ几≥３，ｕ ｂｅ
１．１
ｃｏｎｖｅｘ
ａ
ｐ＞堕竺≠坐．Ｔｈｅｎ ｔ上∈Ｃ１，１（Ｑ）ａｎｄ
Ｑ
ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｓ０１ｕｔｉｏｎｓ
Ｒｅｍａｒｋ １．２
ｅｑｕａｔｉｏｎ（１）ｉｎ Ｗ答（Ｑ）
ＩＤ２仳ｆ≤Ｃ，
７
ｏｎ礼，南，ｃ，ｐ，Ｑ７，ｄｉｓｔ（Ｑ７，ａＱ）ａｎｄ
ａｒｅ
ｏｆ ｔｈｅ
ｆｏｒ ａｎｙ ｃｏｍｐａｃｔ ｓｕｂ—ｄｏｍａｉｎｓ Ｑ７ ｏｆ Ｑ
ｓｕｐ
ｗｈｅｒｅ Ｃ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎｌｙ
ｓｔｒｏｎｇ ｓｏｌｕｔｉｏｎ
ｔｈｅ ｌｏｃａｌ Ｌｐ・ｎｏｒｍ ｏｆ Ｄ２ｕ．Ｉｎ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ，
ｓｍｏｏｔｈ．
Ｔｈｅｒｅ ｉｓ
ａｎ
ｅｘ砌ｐｌｅ
ｓｈｏｗ ｔｈａｔ Ｔｈｅｏｒｅｍ １．１ ｉｓ ｆａｌｓｅ ｉｆ
ｔｏ
ｐ＜ｎ（ｃｆ． ［２］），
ｗｈｉｃｈ ｉｍｐｌｉｅｓ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｒｅｇｕｌａｒｉｔｙ ｒｅｓｕｌｔ ｉｓ ｏｐｔｉｍａｌ ｆｏｒ ｎ＝３．
Ｉｆ礼＞２七ｏｒ礼＝３，Ｔｈｅｏｒｅｍ １．１ ｉｍｐｒｏｖｅｓ Ｔｈｅｏｒｅｍ １．１
ｗｉｔｈ
ｗｉｔｈ
ｉｎ［２】，ｗ王１ｉｃｈ
ｉｓ
ｔｈｅ ａｎａｌｏｇｏｕｓ ｒｅｓｕｌｔ
ｔｈｅｏｒｅｍ ｗｉｌｌ ｂｅ ｐｒｏＶｅｄ ｂｙ ｓｈｏｗｉｎｇ ｔｈａｔ ｉｆ
ｐ＞（ｎ一１）ｍａｘ（礼一庇，２）．Ｔｈｅ
ｕ∈Ｉ矿２，ｐ（Ｑ）
ｐ＞竺墨半，ｔｈｅｎ ｗｅ ｈａｖｅ乱∈ｗ’２，；（Ｑ）ｆｏｒ ｓｏｍｅ芦＞（扎一１）ｍａｘ（札一惫，２）（谊ｆａｃｔ，ｆｏｒ ａｎｙ
ａｂｏｖｅ
Ｆ＜。。），ａｎｄ
ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｆｏｌｌｏｗｓ
Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｐｒｏＶｅ Ｔｈｅｏｒｅｍ １．１，ｗｅ
ｔｈｅ ｍ０１ｌｍｃａｔｉｏｎ ｕ￡ｏｆ ｕ，ｗｈｉｃｈ ａｌｌｏｗｓ
ｕｓｅ
ｕｓ
ｔｏ
Ａｎｏｔｈｅｒ ａｐｐｒｏＸｉｍａｔｉｏｎ ｉｓ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ
ｆｒｏｍ［２】．
ｔｗＤ
ｋｉｎｄｓ ｏｆ ａｐｐｒｃｏｄｍａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｕ．Ｏｎｅ ｉｓ
ａｐｐｌｙ Ｒｅｉｌｌｙ’ｓ ｆｏｒＨｌｕｌａ ｔｏ ｏｂｔａｉｎ ｉｎｔｅｇｒ越ｅｓｔｉｍａｔｅｓ．
ｄｉ艉ｒｅｎｃｅ ｑｕｐｔｉｅｎｔ△是¨ｔｏ
ｄｅａｌｉｎｇ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｗ王ｔｈ ｔｈｅ ｆｏｍｔｈ ｏｒｄｅｒ Ｗｅａｋ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ ｏｆ
Ｔｈｅ
ｒｅｓｔ
ｏｆ ｔｈｅ ｐａｐｅｒ ｉｓ ｄｉＶｉｄｅｄ ｉｎｔｏ
ｐａｒｔ
ｒｅｐｌａｃｅ Ｄ２”，ｗｈｉｃｈ ａｖｏｉｄｓ
ｔ上．
ｉｎ ｔｈｅ ｎｅｘｔ ｓｅｃｔｉｏｎ
ｔｗ．ｏ ｓｅｃｔｉｏｎｓ：
ｕｐ
ｕ
ａｐｐｒｏ）（ｉｍａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ ｌａｓｔ ｓｅｃｔｉｏｎ ｉｓ ｄｅｖｏｔｅｄ ｔｏ ｔｈｅ
ｔｈｅⅣ２，ｐ
ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｔｏ ｔｈｅ
２
ｌｏｃａｌ彬２，芦⑦＜∞）ｒｅｇｕｌａｒｉｔｙ
ｏｆ
ａｎｄ ｉｔｓ
ｅｑｕａｔｉｏｎ（１）ｗｉｔｈ ｐ＞兰％型．
Ｐｒｅｌｉｍｉｎａｒｙ Ｅｓｔ ｉｍａｔｅｓ
ｗｅ
ａｌｗａｙｓ
ａｓｓ啪ｅ
ｅｑｕａｔｉｏｎ（１），ａｎｄ
Ｑ’ｉｓ
ｔｈａｔ
ａ
ｎｏｎ－ｎｅｇａｔｉＶｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｉｎ
ｕ∈皖？（Ｑ）ｗｉｔｈ ｐ＞巫专丑ｉＳ
０ｃ。ｎｖｅｘ
ｃｏｍｐａｃｔ ｓｕＫｄｏｍａｉｌｌ ｏｆ Ｑ ｉｎ Ｒｎ．Ｌｅｔ妒ｂｅ
ｃ。ｏ（Ｒ竹）ｖａｎｉ号ｈｊｎｇ
ｏｕｔｓｉｄｅ ｔｈｅ ｕｎｉ七ｂａｌｌ
ａ
ｓｔｒ。ｎｇ
Ｆｂｒ￡＞０，ｔｈｅ ｒｅｇｕｌａｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ
ｕ
ｉｓ
ｓｏｌｕｔｉｏ｜１。ｆ ｔｈｅ
ｍｏｕｉｆｉｅｒ，ｔｈａｔ ｉｓ，妒ｉｓ
Ｂｌ（ｏ）ａｎｄ ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ
妒（ｚ）ｄｚ＝ｌ
ｄｅ王ｌｎｅｄ ｂｙ ｔｈｅ ｃｏｎＶ０１ｕｔｉｏｎ
姒小￡一正妒（半）岫№＝ｋ咖Ｍ…州ｓ，
万方数据
ｗｅ ｓｅｔ
ｎｏｔａｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｅｓｔａｂＵｓｈ ｐｒｅｌｉＩｎｊｎａｒｙ ｕｎｉｆｏｒｍ ｅｓｔｉｍａｔｅｓ ｆｏｒ Ｖａｒｉｏｕｓ ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ ｉｎＶｏｌｖｉｎｇ
ａ
万方数据
学
数
Ｔｏ
ｇｅｔ（ｏ？）＞ｏ，ｗｅ
ｈａｖｅ
进
展
ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｅ１１ｉｐｔｉｃｙ ｏｆ ｔｈｅ
３３卷
ｅｑｕａｔｉｏｎ（５）ａｔ
ｔ正￡
０＜（一（嘲）＝（渊
≤（渊 ）扣１再篙网
、点－１ ｓ碧（Ｄ２ｕ。）ｓ≈（Ｄ２ｕ。）一ｓｋ（Ｄ２ｕ。）ｓ？（Ｄ２ｕ。）
／／
Ｈｅｒｅ ｗｅ ｈａＬｖｅ ｕｓｅｄ ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ
Ｌｅｍｍａ
Ｌｅｔ ｐ＞ｎ～１
２．２
ｅｓｔｉｍａｔｅｓ ｉｎ Ｑ
（佗一凫）ｓ２（Ｄ２ｕ。）
ｉｎ（７）．
ａｎｄ￡＜ｄｉｓｔ（Ｑ’，ａＱ），ｔｈｅｎ ＡＥ，Ａ￡ａｎｄ兀ｓａｔｉｓｆｙ
壶≤入。ｓ（跳）一ｌ，
△ｕ￡
Ｃ
△ｕ，
Ｃ
ｗｈｅｒｅ Ｃ ｉｓ
Ｌｅｔ入１，入２，…，入ｎ
Ｐｒｏｏｆ
ｉｓ
ｏｍｉｔｔｅｄ ｆｏｒ
（９）
≤兀≤ｎ（△ｕ。）“一１，
ｏｎ
ｎ，南ａｎｄ
（１０）
ｃ．
ｂｅ ｔｈｅ ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ ｏｆ Ｄ２ｕ￡，ｈｅｒｅ ｔｈｅ ｓ・ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ入ｊ’ｓ
ｓｉｍｐｌｉｃｉｔｙ．Ｗｉｔｈｏｕｔ
１０ｓｉｎｇ ａＩｌｙ ｇｅｎｅｒａＵｔｙ、Ｖｅ ｍａｙ
ａｎｄ Ｄ２ｕＥ ｉｓ ｉｎ ｄｉａｇｏｎａＬｌ ｆｏｒｍ ａｔ
（ｓ？（Ｄ２ｔ‘ｃ））ａｒｅ
（８）
茎Ａ。≤（△ｕ。）”一
ｐｏｓｉｔｉＶｅ ｃｏｎｓｔａ皿ｔ ｄｅｐｅｎｄｉｎｇ ｏＩｌｌｙ
ａ
ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ
７
ａｓｓｕ】ｍｅ入ｌ≥入２≥…≥入ｎ＞０，
ｔｈｅ ｐｏｉｎｔ ｕｎｄｅｒ ｃｏ璐ｉｄｅｒａｔｉｏｎ．
Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，（砖（Ｄ２ｔ正Ｅ））ａｎｄ
ｉｎ ｄｉａｇｏｎａｌ ｆｏｒｍｓ ａｓ、Ｖｅｕ，ａｎｄ
ａｏ飞、
ｃ。耻ａｉａｇ（瓮一ｃ舞， 瓦叫瓦’…’瓦叫瓦Ｊ
。ａＡｎ／
ａ盯ｎ
ａ盯七
ａ入２
。ａＡ２’
ａ仃ｎ
’ａＡ竹
Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ矗ｏｍ（７）ａ１１ｄ（６）ｔｈａｔ
入筹；
糕≥瑞狐
入１…入ｋ一盯＆（入）一’
Ａ，≥．一≥Ａ＊＋，≥占， △ｕ≥丢，
（１１）
ａｎｄ
Ａ１…入ｋＡ嚣一。≤盯。（入）＝盯ｋ（入）丘≤ｃＡｌ…Ａｋ＾，
ｉｎ ｔｕｒｎ
Ａ。≤Ｃ（丘）＾
Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｗｅ ｈａｖｅ ｂｙ
（７）ａｎｄ（１１）
Ｍ。＝入－（瓷一ｃ舞）＝仃。一ｃＡ・舞
≥ｃ（一Ａ－舞）…羽Ｍ．．＾）
狲。…ｋ。≥丢，
万方数据
（１２）
万方数据
万方数据
万方数据
３期
杨传富，黄振友，杨孝平：丽个四阶微分算子积的臼伴性ｚ９ ７
设口ｌ，９２，ｐ３，钆是２２（ｙ）＝ｏ的四个实函数解，且满足
４０（ｏ＝８） ｏ（以Ｅ４）１，
矿，）ｏ（如盯，）ｏ（２９矿，）ｏ（ｌｐ盯（
）６－４（
嚣！举一辇耋ｌ髦～装ｉｌｉＫ；５；蓄薯瑚ａ耋ｉ｜！攀・ｌ垂一骛ｄｉｉｉ妻￥；；；至ｉ薹一薹冀ｉ：螽薹兰蠢薹薹薹鬟旃；葡雾羹
！ａｊ霉ｉ薹
这里矿吼（ｏ）：ｆ巩（ｏ），ｐ：１’（ｏ），…，９：７’（ｏ）１，ｉ＝１，２ ３，４ 由引理８知日１，８２，ｅ３，日４∈Ｌ２（工）．
ｌ若季＿；冀！；坚孝｝ｆ冀ｉｉ伊再｜！∥ｉｉ菏再；；蓖；！女一ｌ雾、ｐ蓁『Ｊｉ鬓ｉｉ５ｉ
又ｚ（妒１）＝ｆ（妒２）＝ｆ（妒３）：ｆ（妒４）＝ｏ，因而、妒１，妒ｉｊ瑗｛薹ｅ霾霎１２ｌ弱；一娄薹萎；冀ｌｉ蓦！ｌ“
ｙ
） ：／ ｕ；口？
ｑ÷雾｝
／ｑ—ｚｄｘ巧Ｄ
ｘｕ：一１９。ｄｚ ≤：；ｉ丘：
・ｚｄＩｋ９１一ｓ；口）ｖ（，：丘＋∞￡ｃ７；ｕ）掣（， ｏ
ｍｐｌｅｔｅｔｈｅ
ｗｅ ｃｏ
ｏｆ
ｆ
ｏ
ｐａｒｔ
ｒｐ
ｔｈｅｌｅｍｍａ．ｏ
Ｔｈｅｒｅｍａｉ ｎｉｎｇ
ｆ
ｏ
ｏｆ ｔｈｅｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｅｆｂｕｏｗｉｎｇ ｒｅｓｕｌｔ． Ｐｒｏｐｏｓ
ｔｌｌｉｓ∞ｃｔｉｏｎ ｃｏｎｓｉｓｔｓ
ｎ≥３，ｐ＞二！ｇ；Ｆ盐ａｎｄ ｕ∈Ｉ再《等（Ｑ）ｂｅ
ｈｖｅ ｕ∈Ｖ矿翟（Ｑ）ｆｏｒ ａｎｙ Ｆ＜ｏｏ，ａｎｄ ｆｏｒ ａｎｙ ｃｏｎｌｐａｃｔ
ｎ
３．３
Ｌｅｔ ｏｉｔｉａ
ｏｆ（１）．
ｔｈｅｒｅ
Ｔｈｅｎ
ｅ ｘｉｓｔｓ ａ
ｗｅ
ｐｏｓｉｔｉＶｅ ｃｏｎｓｔａｎｔ Ｃ，ｄｅｐｅｎｄｉＩ培ｏｎｌｙ
ｏｎ
ｃｏＩｌ、ｒｅｘ
ｓｏｌｕｔｉｏｎ
ｓｔｒｏｎｇ
ｓｕｂｄｏｍａ妇Ｑ’ｏｆ
ｎ，南，ｃ，ｐ，芦，Ｑ７，ｄｉｓｔ（Ｑ’，ａＱ）ａｎｄ
Ｑ
ｔｈｅ ｌｏｃ越
工ｐ ｎｏｒｍ ｏｆ△ｕ ｉｎ Ｑ。ｓｕｄｌ ｔｈａｔ
Ｄ２ｔ上ＩＩＬＦ （ｎ，）≤Ｄ
Ｐｒｏｏｆ
ｗｈｅｒｅ ｐ∈
Ｌ ｅｔ上ｈＲ（∥）ｃ
僻，２Ｒ】．Ａｐｐｌｙｉｎｇ
Ｑ７．ｗｂ
ｂｅｇｉｎ ｗｉｔｈ
ｔｈｅ ｓｏｂ。ｌｅｖ
（ｋ）（ｕ产 ）格ｄｓ）署
阬㈣＋（＂≯）黜）ｄｓ）勰，ｃ（ｔ，（
ｓ
万方数据
ｓｏⅡｌｅ
ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅ８ｔｉｍａｔ∞ｏｎ ｔｈｅ ｓｐｈｅｒｅ
ｉｎｅｑｌ】蛳【１０＇Ｔｈｅｏｒｅｍ２．１１
０ｎ
ａＢｐ（可）ｆｏｒ
ｔ，于乒
ａＢｐ（可），
３期
保继光， 李美生：
Ｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓ ｆｏｒ Ｓｔｒｏｎｇ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ
ａ
Ｈｅｓｓｉａｎ
３ｌｌ
Ｑｕｏｔｉｅｎｔ Ｅｑｕａｔｌｏｎ
ｔｈａｔ ｉｓ．
（Ｌ，ｕ∥ｄｓ）攀ｃｋ，（胁≯ｌ端＋ｕ掣铲）崛
ｗｈｅｒｅ Ｃ ｉｓ
ａ
ｃｏｎｓｔａｎｔ
ｄｅｐｅｎｄｉｎｇ ｏｎｌｙ
Ｔａｋｅ
Ｉｔ ｉｓ
ｏｎ ｎ
ａｎｄ Ｒ
ｑ＝锱
ｃｌｅａｒ ｔｈａｔ ｑ＞ｐ一礼＋ｌ≥１ ｓｉｎｃｅ
ｐ＞坐≯．Ｂｙ
ＹｏｕＩｌｇ’ｓ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ
ａｎｄ（１０），ｗｅ
ｕ：兀≤ｕ掣＋兀尚ｓ口∥＋ｎ群（△ｔ上。）ｐ—ｎ＋１兀
ｕ：兀≤％“一２
＋兀“一１ Ｓ％“～２
ｗｂ ｃｏｍｂｉｎｅ（２１），（２６）ａｎｄ（２５）ｔｏ
（２５）
＋ｎ’茳ｆ。（△ｔ上。）ｐ一“十１兀
ｏｂｔ越ｎ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｅｓｔｉｍａｔｅｓ
ｏｎ
ｔｈｅ ｂ越ｌ
ｈａｖｅ
（２６）
Ｂｐ＠）
（ｋ唧）一ｓ ｃ（ｋ，一叱，旷％州ｚ）一
ｃ（ｋ，（ｕ掣ｍ¨一＋１兀）蚪Ｌ矿１舭）一
ｃ（ｋ，秽攀ｄｓ）谢
＋ｃ（ｋ，ｃ蚶一１椰＋Ｌ咿１叫如）一
ｓ
５
≤ｃｋ，（１。ｔ，≯ｌ渊＋ｕ掣掣）ｄｓ
＋ｃ（Ｚ引掣，（△‰）Ｐ¨１兀ｄｓ＋五加，《ｑｌ吼ｌ如），
ｗｈｅｒｅ ｃ ｓｔａｎｄｓ ｆｏｒ ｃｏｎｓｔａｎｔｓ ｄｅｐｅｎｄｉｎｇ ｏｌｌｌｙ ｏｎ佗，七，ｃ，ｐ ａ１１ｄ Ｒ，ａｎｄ ｗｅ
ｈａ僧ｕｓｅｄ（１０）ａＩｌｄ（１１）
ｃｏｎｃｈｌｄｅ
ｔｏ
（△ｕ。）ｐ—ｎ＋１兀≥丢．
Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｎｇ ｔｈｅ ａｂｏｖｅ ｉｎｅｑｕａｄｉｔｙ
ａｖｅｒ
ｐ∈【Ｒ，２嗣，ｗｅ
（２７）
ａｒｒｉｖｅ ａｔ
（ｋ似）帮
≤ｃＬ，（１。秒≯Ｉ掣＋＂掣铲＋（△¨一托删１乳ｆ）兆
（２８）
万方数据
万方数据
３期
Ｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓ ｆｏｒ Ｓｔｒｏｎｇ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ
保继光，李美生：
ａｎｄ Ｃ
ｄｅｎｏｔｅ ｃｏｎｓｔａｎｔｓ ｄｅｐｅｎｄｉｎｇ ｏｎｌｙ
ｏｎ
ａ
Ｈｅｓｓｉａｎ
Ｑｕｏｔｉｅｎｔ Ｅｑｕａｔｉｏｎ
３１３
ｎ，后，ｃ，ｐ，Ｒ ａｎｄ
△“％掣（Ｂ。。（Ⅳ））
Ｂｙ ｔｈｅ
ｓｏｂｏｌｅｖ ｉｍｂｅｄｄｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ，、ｖｅ ｈａｖｅ
ｄｅ矗ｎｉｔｉｏｎ（１ ７）ｏｆ＂￡ａｎｄ
％斗△＆ｕ，
Ｌｅｔｔｉｎｇ￡—＇ｏ
ｕｎｉｆｏｒｍｌｙ
ｉｎ
Ｂ４Ｒ（耖）．
ｉｎ（３０）ｆｏｒ ６ｘｅｄ＾＜ｄｉｓｔ（Ｂ４Ｒ（可），ａＱ），ｕｓｉｎｇ（４），（１３），ａｎｄ（２０）ｗｅ
ｏｂｔａｉｎ
（ｋ ｃ如，ａ他）÷ｓ ｋ，（ｃ啦广州小妒…－ｍ，
ｃ
（３１）
ｗｈｅｒｅ
ｎ２一ｎ＋２
Ｓ＝
＞１
（ｎ—１）（ ｎ一２、
Ｎｏｗ、Ｖｅ ｃｈｏｏｓｅ∈ｔｏ ｂｅ ｔｈｅ ｃｏｏｒｄｉｎａ七ｅ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎｓ ｅｆ，ｆ＝
ｌ，２，…，ｎ．Ｂｙ［６，Ｌｅｍｍａ ７．２３】ｗｅ
ｈａ怃
Ｉ｝△兰。。钍ＩＩ二，（风Ｒ（可））≤｝Ｉｎｆ＂ｌｌｐ（鼠Ｒ＋．（Ⅳ））．
Ｂｙ ｔｈｅ ｗｅａｋ ｃｏｍｐａｃｔｎｅｓｓ ｏｆ ｂｏｕｎｄｅｄ ｓｅｔｓ ｉｎ
ｔｏ
ｚｅｒｏ，ｓｕｃｈ ｔｈａｔ（ａｌｓｏ ｃｆ．
Ｌｐ（Ｂ４Ｒ（ｙ）），ｔｈｅｒｅ
ｏｆ【６，Ｌｅｍｍａ ７．２４］）
Ｃ ｈｅ ｐｒｏ ｏｆ
△象。ｔ上一Ｄ“ｕ，
ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｗｅａｋ １０ｗｅｒ ｓｅｍｉ－ｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ
ｗｅａｋｌｙ ｉｎ
ｅｘｉｓｔｓ
ａ
ｓｅｑｕｅｎｃｅ
Ｌｐ（Ｂ４Ｒ（耖））
｛ｂ）ｔｅｎｄｉｎｇ
（３２）
ｉｎ妒（Ｂ４Ｒ（可）），ｗｅ ｇｅｔ
｛Ｂ一 ㈨ｍ№≤１骋警厶。础）峨一ｕ№
’’
（”）
Ｊ—＋ｏ。‘，Ｂ４Ｒ（可）
＜～
ｌ
．Ⅱ．Ｊ
ｎ＿ ．盘∞
ｆ
／
Ｊ鼠Ｒ＋＾，（可）
ｌＤｆｆｕＩｐ如＝／
ｌＤｆｌｕＩｐ如．
－，Ｂ４凡（ｖ）
Ｃｏｎｓｅｑｕｅｎｔｌｙ，
、……’
土恐忪‰；ｕ怯（风只（Ⅳ））＝ｊＩＤｆｆｕ怯（风Ｒ（ｙ））．
一……
’’
，。—＋。ｏ
Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ａｐｐｌｙｉｎｇ
Ｒａｄｏｎ－瞰ｅｓｚ
Ｔｈｅｏｒｅｍ【８ｌ，ｗｅ ｈ制｜ｅ
△‰ｌｔ正叶Ｄ“ｕ
Ｉｔ ｆｏｌｌｏｗｓ ｆｒｏｍ Ｆａｔｏｕ
ｉｎ
Ｌｐ（Ｂ４Ｒ（暑，））
Ｌｅｍｍａ，（３０），（３３）ａｎｄ（１３）ｔｈａｔ
（正Ｒ。。，Ｉ。“ｕｌ。７＿。）÷≤・≥马娶ｒ（正。Ｒ。ｖ，ｌ△‰，ｕｌ。７＿ｚ）。
＜Ｃ
——
＜Ｃ
万方数据
（３３）
１骋簪五。小）（（△象。ｕ）ｐ—ｎ＋１＋（△ｕ）Ｐ一¨１）丁ｄｚ
正州√酬Ｐ叶１融
（３４）
３１４
数
学
３３卷
、｛
／，ｒ
ｌ／
＼＇，口Ｒ（Ⅳ）
ａ
展
ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｎ△ｕ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｎｏｒｍ ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｂｙ丁
Ｔｈｕｓ ｗｅ ａｒｒｉＶｅ ａｔ
ｗｈｅｒｅ Ｃ ｉｓ
进
ｃｏｎｓｔａｎｔ
ｃ五。舶，（酬Ｐ叶１丁ｄ茁，
１
（△ｕ）ａ丁ｄｚ
／
ｄｅｐｅｎｄｉｎｇ ｏｎｌｙ
ｏｎ
（３５）
ｎ，南，ｃ，ｐ，Ｒ ａｎｄ
△ｕ忆鹄≯（Ｂ：Ｒ（ｐ））。
Ｎｏｔｉｎｇ ｑ＞ｐ一礼＋１
ａｎｄ（３５）ｈｏｌｄｓ
ｆｂｒ ａ１１ｙ
ｐ＞！！ｉ：≥墨立，ｉｔ
ｃａｎ
ｂｅ ｉｔｅｒａｔｅｄ ｆｉｎｉｔｅｌｙ ｍａｎｙ
ｔｉｍｅｓ ｔｏ ｙｉｅｌｄ乞ｈｅ ｄｅｓｉｒｅｄ ｅｓｔｉｍａｔｅｓ．Ｉｎ ｆａｃｔ，ｆｏｒ ａＩｌｙ ｐｒｅａｓｓｉｇＩ坨ｄ ｎｕＩＩｌ＿ｂｅｒ Ｆ＜。。，ｃｈｏｏｓｅⅣｓｕｃｈ
ｔｈａｔ
ｗｈｅｒｅ
Ｆ≥圪Ⅳ（ｐ一佗＋１），
Ｌｅｔ
Ｒ＜虫掣Ⅳｆｏｒ
Ｋ＝南＞１
ｐ—ｎ十ｌ
ｔｈｅ ｃ。ｍｐａｃｔ ｓｕｂ．ｄ。ｍａｉｎ Ｑ７。ｆ Ｑ．Ｂｙ
ｉｔｅｒａｔｉｎｇ（３５）Ⅳｔｉｍｅｓ，、ｖｅ。ｂｔａｉｎ
丘舶，（酬吼ｚ ｓ厶础，ｍ广（ｐ－时１）他
≤（ｃＬ√酬∥ｂ…他）８
∥（Ｇ正。：小，ｃ酬扩２（ｐ－州慨
５２
一～叶ｓⅣ（Ｌｏ妒州他）∥
Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｗｅ
ｏｂｔ豳ｂｙ（１０）ａｎｄ（１１）
／
（△ｕ）ｐ７讹
（△ｔ‘）ｐ如≤ｃ／
ＪＢＲ（！，）
＇，Ｂ只（掣）
≤ｃ（Ｌｏ妒州做）。≤ｃ（小妒如）”，
ｗｈｅｒｅ Ｃ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎｌｙ
３．３
Ｗｅ、阳ｕｌｄ
ｏｎ
ｏｎ
ｎ，岛，ｃ，ｐ，Ｆ ａｎｄ ｄｉｓｔ（Ｑ’，ａＱ）．Ｔｈｉｓ ｃｏｍｐｋｔｅ ｔｈｅ ｐｒｏｏｆ ｏｆ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ
ｂｙ ａｐｐｌｙｉｎｇ ｔｈｅ ｆｌｎｉｔｅ ｃｏ、ｒｅｒｉｎｇ ｔｈｅｏｒｅｍ．
ｌｎ【ｅ ｔｏ ｐｏｉｎｔ ｏｕ乞ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏＩｌｓｔａｎｔ Ｃ ａｂｄｖｅ，ｈｅｎｃｅ ｉｎ Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ３．３，ｄｅｐｅｎｄｓ
Ｆ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ Ｌｏｏ ｅｓｔｉｍａｔｅｓ ｆｏｒ△ｔ‘ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｆｏｕｏｗ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｂｙ ｌｅｔｔｉＩｌｇ Ｆ－＋∞．
Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ
【１】Ｂａｏ Ｊｉｇｕ她ｇ孤ｄ ｃｈｅｎ
【Ｊ】．７Ｉｂ
ａｐｐｅａｒ ｉｎ
Ｊｔｎ科ｉ．ｏｐｔｈａｌ
ｒｅｇｕｌ酣ｉｔｙ ｏｆ ｓｐｅｃｉａｌ Ｌａｇｒａｎｇｉ弛ｅｑｕａｔｉｏｎ８
（２］Ｂａｏ Ｊｉｇｕａｎｇ，ｃｈｅｎ Ｊｉｎ酣ｉ，Ｇｕａｎ
Ｂｏ
ａｎｄ
Ｊｉ
Ｍｉｎ．ＬｉｏｕＶｉｌｌｅ ｐｒ叩ｅｒｔｙ
ｅｑｕａｔｉｏｎ【Ｊ】．Ａｍｅｒ．．，．Ｍ口忱．，２００３，１２５：３０１—３１６．
万方数据
ｉｎ
ｄｉｍｅｎ８ｉｏｎａｌ ｔｈｒｅｅ
Ｊｎｄ‘口ｎ口ｃ，ｎｉｔ，．＾ｆ口ｔ＾．ＪＤｔ‘ｒ．．
ａｎｄ ｒｅｇｕｌａｒｉｔｙ ｏｆ
ａ
Ｈｅｓｓｉａｎ
ｑｕｏｔｉｅｎｔ
３期
李美生：
保继光，
【３１
ｃａｆｆａｒｅｌｌｉ
Ｌ
Ｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓ ｆｏｒ Ｓｔｒｏｎｇ Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ
Ｍ，Ｋｏｃａｎ Ｍ．ａｎｄ
Ａ，ｃｒａｎｄａｌｌ
ｓｗｉｅｃｈ
Ａ．Ｏｎ
ａ
Ｈｅｓｓｉａｎ
Ｑｕｏｔｉｅｎｔ Ｅｑｕａｔｉｏｎ
ｖｉｓｃｏｓｉｔｙ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ
３１５
ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ
ｆｕｌｌｙ
ｍｅａｓｕｒａｂｌｅ
ｗｉｔｈ
【４ｌ ｃａ鼢ｒｅｌｌｌ
Ｌ
ｉｎｇｒｅｄｉｅｎｔｓ【Ｊ】．ＧＤｍｍ．Ｐｔ‘ｒｅ Ａｐ州．Ｍ口忱．，１９９６，４９：３６５．３９７．
Ａ，Ｎｌｒｅｎｂｅｒｇ Ｌ ａｎｄ ｓｐｒｕｃｋ Ｊ．Ｔｈ Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ
ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ＩＩＩ．Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ
Ｂｏ ａｎｄ
【５】Ｇｕａｎ
ｏｆ ｔｈｅ
ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｓ
ｏｆ ｔｈｅ
８ｅｃｏｎｄ．ｏｒｄｅｒ
ｅｌｌｉｐ乞ｉｃ
Ｈｅｓｓｉａｎ【Ｊ】．Ａｃ￡ｎ Ｍｏｔ＾．，１９８５，１５５：２６１．３０１．
Ｇｕａｎ Ｐｅｎｇｆｅｉ．ｃｏｎＶｅｘ ｈｙｐｅｒｓｕｒｆ；屺ｅｓ ｏｆ ｐｒｅｓｃｒｉｂｅｄ
ｃｕｒｖａｔｕｒｅ【Ｊ１．Ａｎｎｏｌ５ ｏ，Ｍｏ￡ｈｅｍｏ“ｃ３，
２００２．１５６：６５５・６７４．
【６】Ｇｉｌｂａｒｇ
Ｄ
ａｎｄ‘ＩＹｕｄｉｎｇｅｒ Ｎ
［７】ＨａｒＶｅｙ Ｒ ａｎｄ
１８１
Ｈｅｗｉｔｔ
ｏｆ
Ｅ
ｓ．Ｅｕｉｐｔｉｃ
ｄｅｒ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｓｃｈｅｎ
Ｇｒｕｎｄｌｅｈｒｅｎ
ａｎｄ
Ｌａｗｓｏｎ
Ｈ Ｂ．ｃａｌｉｂｒａｔｅｄ
ｓｔｒｏｍｂｅｒ Ｋ．Ｒｅａｌ
Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ
Ｐａｒｔｉａｌ
ｏｆ ｓｅｃｏｎｄ
ｏｒｄｅｒ【Ｍ］．ｓｅｃｏｎｄ
ｅｄｉｔｉｏｎ，
Ｗｉｓｓｅｎｓｃｈａｆｔｅｎ，２２４，Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖ色ｒｌａｇ，１９９８．
ａｎｄ
ｇｅｏｍｅｔｒｙ【Ｊ】．Ａｃ￡口Ｍｎｔ＾．，１９８２，１４８：４７－１５７．
Ａｎａｌｙｓｉｓ，Ａ Ｍｏｄｅｒｎ Ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｏｆ ｔｈｅ Ｔｈｅｏｒｙ
Ａｂｓｔｒａｃｔ
ｏｆ
Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ
ａ Ｒｅａｌ
ｖａｒｉａｂｌｅ【Ｍ１．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：ｓｐｒｉｎｇｅｒ＿ｖｅｒｌａｇ，１９６５．
【９ｌ Ｉｖｏｃｈｋｉｕａ Ｎ Ｍ，Ｌｉｎ Ｍｉ ａｎｄ孓ｕｄｉｎｇｅｒ Ｎ ｓ．Ｔｈｅ Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ ｐｒｏｂｋｍ
ｅｑｕａｔｉｏｎｓ
ｗｉｔｈ
ｇｅｎｅｒａｌ
ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅｓ．Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ
ａｎａｌｙｓｉｓ
ｆｏｒ
ｔｈｅ ｐｒｅｓｃｒｉｂｅｄ
ａｎｄ ｔｈｅ ｃａｌｃｕｌｕｓ
ｃｕｒｖａｔｕｒｅ ｑｕｏｔｉｅｎｔ
ｏｆ ｖ材ｉａｔｉｏｎｓ［ｑ，ｃａｍｂｒｉｄｇｅ：
Ｉｎｔｅｒｎａｔ．Ｐｒｅｓｓ，ＭＡ，１９９６，１２５．１４１．
［１０】Ｊｏｓｔ
ａｎｄ ｘｉｎ Ｙｕｎｌｏｎｇ．
Ｊ
Ｄｉ肌ｒｅｎｔｉｏｆ
［１ｌ】Ｌｉｎ Ｍｉ
Ａ
ＢｅｒｎＳｔｅｉｎ
ｔｈｅｏｒｅｍ
ｆｏｒ
ｇｒａｐｈｓ【Ｊ】．仇ｆｃ． ％ｒ．
ｓｐｅｃｉａｌ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ
ｐ口ｎｉ口ｊ
Ｅｑｕｎ“Ｄｎ，２００２，１５：２９９—３１２．
ａｎｄ ７Ｉ＇ｒｕｄｉｎｇｅｒ
Ｎ ｓ．Ｔｈｅ Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ ｐｒｏｂｌｅｍ
ｆｏｒ
ｔｈｅ
ｅｑｕａｔｉｏｎｓ
ｐ】．
ｇｅｎｅｒ越ｉｚｅｄ ｓｕｂｍａｎｉｆＤｌｄｓ ｏｆ兄ｎ
ｆ硼．
ｐｒｅ８ｃｒｉｂｅｄ
Ｚ’Ｄｐ．Ｍｅｔ＾Ｄｄ３ ｉｎⅣｏｎｆｉｎｅｏｒ Ａｎｏｆ！，５ｉ５，１９９４，３：３０７－３２３．
【１２）Ｍｉｃｈａｅｌ Ｊ Ｈ ａｎｄ ｓｌｍｏｎ Ｌ Ｍ．ｓｏｂｏｌｅｖ ａｎｄ ｍｅａｎ＿ｖａｌｕｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ
ｏｎ
ｃｕｒｖａ土ｕｒｅ
ｑｕｏｔｉｅｎｔ
Ｇｏ竹ｌｍ．Ｐｕｒ℃Ａｐｐｆ．＾彳口ｔ＾．，１９７３，２６：３６ｌ一３７９．
【１３１
Ｒ．ｅｍｙ Ｒ ｃ．Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ
ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ
ｏｆ ｔｈｅ ｍｅａｎ
ｃｕｒｖａｔｕｒｅ
ｆＤｒ
ｈｙｐｅｒｓｕｒｆａｃｅｓ
ｉｎ
ｓｐａｃｅ￡Ｄｒｍｓ【Ｊ】．
，。Ｄｉ历ＧｅＤｍ．，１９７３，８：４６５－４７７．
【１４】７ｎｕｄｉｎｇｅｒ
【１５】ｕｒｂａｓ
Ｎ
Ｊ．Ａｎ
ｓ．Ｏｎ ｔｈｅ Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ Ｈｅ８ｓｉａｎ
ｉｎｔｅｒｉｏｒ ｓｅｃｏｎｄ
ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｂｏｕｎｄ ｆｏｒ
ｅｑｕａｔｉｏｌｌｓ【Ｊ】．Ａｃｔ口Ｍａ抽．，１９９５，１７５：１５１．１６４．
Ｈｅｓｓｉａｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ８［Ｊ】．仇ｆｃ． ％ｒ． Ｐ口ｒｔｉ口ｚ
ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ
Ｄ派ｒｅｎ￡ｉ引Ｅｇｔ‘口“ｏｎｓ，２００１，１２：４１７－４３１，
ｆ１６】Ｙｕａｎ Ｙｕ．Ａ
ｐｒｉｏｒｉ
ｅｓｔｉｍａｔｅｓ ｏｆ ｆｕｌｌｙ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ
ｓｐｅｃｉａｌ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ
ｅｑｕ８ｔｉｏ璐（Ｊ】．Ａ，ｌｎ．ｍ“．鼠尸ｂ讯ｃ口俺
Ａｎｏｆ．＾ｒｏｎ Ｌｉ竹∈ａ打℃，２００１，１８：２６１—２７０．
【１７］Ｙｕａｎ Ｙｕ．Ａ Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ｓｐｅｃｉａｌ Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ
ｅｑｕａｔｉｏｎｓ【Ｊ】．ｍｔ，ｅｎｔ．讹地．，２００２，１５０：１１７．１２５．
一个Ｈｅｓｓｉａｎ商方程强解的光滑性
保继光－，李美生ｚ
（１．北京师范大学数学系，北京，
１００８７５；２．北京航空航天大学应用数学系，北京，
１０００８３）
摘要：我们获得了一个Ｈ蝴ｉａｎ商方程ｗ２，强解当ｐ＞掣时的ｃ－，－局部估计，并证明
了这些解是光滑的．有反例表明这个正贝ｌｊ性结果在ｎ＝３时是最优的．
关键词：Ｇ１，１局部估计； Ⅳ２ｒ强解；Ｈｅ∞ｉａｎ商方程；光滑性
万方数据