YGS TEMEL MATEMAT‹K SORU BANKASI MATEMAT‹K – GEOMETR‹ ● ● ● KONU ÖZETLER‹ KONU TESTLER‹ DENEME SINAVI TEŞEKKÜR Kitabın hazırlanmasında emeğini hiç esirgemeden çok titiz çalışarak güzel bir eser ortaya koyan başta bölüm başkanı Mehmet ÖZBEK olmak üzere Ankara Zafer Dershanesi matematik öğretmenlerine ve dizgisinden baskısına kadar kitaba emek veren tüm çalışanlara teşekkür ederim. Ali DEMİR Zafer Yayınları Kurucusu COPYRIGHT ZAFER E⁄‹T‹M VE Ö⁄RET‹M L‹M‹TED fi‹RKET‹ BU K‹TAP ZAFER DERSHANELER‹ YAYINIDIR. HER HAKKI SAKLIDIR. K‹TAPTAK‹ TESTLER VE SORULAR AYNEN YA DA DE⁄‹fiT‹R‹LEREK YAYIMLANAMAZ. YEN‹ MÜFREDATA TÜMÜYLE UYGUN ANKARA Dizgi – Grafik Zehra BÜLBÜL – Muharrem ÇEL‹K – Mevsimben TEM‹ZER – Tolga YURDASAH‹P ISBN 978–605–387–049–4 İSTİKLAL MARŞI Korkma, sönmez bu şafaklarda yüzen al sancak; Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak. O benim milletimin yıldızıdır, parlayacak; O benimdir, o benim milletimindir ancak. Çatma, kurban olayım, çehreni ey nazlı hilâl! Kahraman ırkıma bir gül! Ne bu şiddet, bu celâl? Sana olmaz dökülen kanlarımız sonra helâl... Hakkıdır, Hakk'a tapan, milletimin istiklâl! Ben ezelden beridir hür yaşadım, hür yaşarım. Hangi çılgın bana zincir vuracakmış? Şaşarım! Kükremiş sel gibiyim, bendimi çiğner, aşarım. Yırtarım dağları, enginlere sığmam, taşarım. Garbın âfâkını sarmışsa çelik zırhlı duvar, Benim iman dolu göğsüm gibi serhaddim var. Ulusun, korkma! Nasıl böyle bir imanı boğar, "Medeniyet!" dediğin tek dişi kalmış canavar? Arkadaş! Yurduma alçakları uğratma, sakın. Siper et gövdeni, dursun bu hayâsızca akın. Doğacaktır sana va'dettiği günler Hakk'ın... Kim bilir, belki yarın, belki yarından da yakın. Bastığın yerleri "toprak!" diyerek geçme, tanı: Düşün altındaki binlerce kefensiz yatanı. Sen şehit oğlusun, incitme, yazıktır, atanı: Verme, dünyaları alsan da, bu cennet vatanı. Kim bu cennet vatanın uğruna olmaz ki fedâ? Şühedâ fışkıracak toprağı sıksan, şühedâ! Cânı, cânânı, bütün varımı alsın da Hüdâ, Etmesin tek vatanımdan beni dünyada cüdâ. Ruhumun senden, İlâhi, şudur ancak emeli: Değmesin mabedimin göğsüne nâmahrem eli. Bu ezanlar –ki şahadetleri dinin temeli– Ebedî yurdumun üstünde benim inlemeli. O zaman vecd ile bin secde eder –varsa– taşım, Her cerîhamdan, İlâhi, boşanıp kanlı yaşım, Fışkırır ruh–ı mücerred gibi yerden na'şım. O zaman yükselerek arşa değer belki başım. Dalgalan sen de şafaklar gibi ey şanlı hîlâl! Olsun artık dökülen kanlarımın hepsi helâl. Ebediyen sana yok, ırkıma yok izmihlâl: Hakkıdır, hür yaşamış, bayrağımın hürriyet; Hakkıdır, Hakk'a tapan, milletimin istiklâl! Mehmet Âkif Ersoy 10. YIL MARŞI Çıktık açık alınla on yılda her savaştan; On yılda on beş milyon genç yarattık her yaştan; Başta bütün dünyanın saydığı başkumandan, Demir ağlarla ördük anayurdu dört baştan. Türk'üz: Cumhuriyet'in göğsümüz tunç siperi; Türk'e durmak yaraşmaz, Türk önde, Türk ileri! Bir hızda kötülüğü, geriliği boğarız, Karanlığın üstüne güneş gibi doğarız. Türk'üz, bütün başlardan üstün olan başlarız; Tarihten önce vardık, tarihten sonra varız. Türk'üz: Cumhuriyet'in göğsümüz tunç siperi; Türk'e durmak yaraşmaz, Türk önde, Türk ileri! Çizerek kanımızla öz yurdun haritasını, Dindirdik memleketin yıllar süren yasını; Bütünledik her yönden istiklâl kavgasını... Bütün dünya öğrendi Türklüğü saymasını! Türk'üz: Cumhuriyet'in göğsümüz tunç siperi; Türk'e durmak yaraşmaz, Türk önde, Türk ileri! Örnektir milletlere açtığımız yeni iz; İmtiyazsız, sınıfsız, kaynaşmış bir kitleyiz: Uyduk görüşte bilgiye, gidişte ülküye biz. Tersine dönse dünya yolumuzdan dönmeyiz. Türk'üz: Cumhuriyet'in göğsümüz tunç siperi; Türk'e durmak yaraşmaz, Türk önde, Türk ileri! Söz: Behçet Kemal Çağlar, Faruk Nafiz Çamlıbel Müzik: Cemal Reşit Rey Sevgili Ö¤renciler, Amac›n›z, üniversite s›navlar›n› kazanmak, üniversiteli olmak. Bu nedenle, yaflam›n›z›n önemli bir dönüm noktas›nda bulunuyorsunuz. Böylesi bir noktada, üniversitenin herhangi bir ö¤retim program›n› rastgele tercih edip kazanman›n ötesinde, istedi¤iniz ö¤retim program›na girmeyi temel amaç k›lman›z gerekiyor. Çünkü tercih edip kazanaca¤›n›z üniversite ö¤retim program›, bir bak›ma gelece¤inizi belirleyecektir. Ancak, flu da biliniyor ki, ülkemizde, her ö¤rencinin istedi¤i üniversite ö¤retim program›na girmesi bir yana, üniversite s›navlar›n› kazanmas› ve üniversiteli olmas› art›k kolay de¤il. Sorun, üniversite s›navlar›na baflvuran aday say›s›n›n yüz binleri bulmas›ndan; buna karfl›l›k üniversite ö¤retim programlar›ndaki kontenjanlar›n s›n›rl›l›¤›ndan kaynaklan›yor. Bu durumda, yüz binlerin aras›ndan s›yr›l›p öne ç›karak üniversite s›navlar›nda baflar›l› olabilmenin birtak›m koflullar›yla karfl› karfl›yas›n›z demektir. Birinci koflul, yetene¤inize uygun, baflar›n›zla orant›l› üniversite ö¤retim programlar›n› sa¤l›kl› bir biçimde seçmektir. ‹kinci koflul, düzenli, disiplinli, verimli bir çal›flma temposu tutturmakt›r. Üçüncü koflul, üniversite s›navlar›na haz›rlama amac›yla ç›kar›lan ciddi yay›nlarla çal›flman›z› des-tekleyip sürdürmektir. Zafer Yay›nlar›, çal›flmalar›n›z› desteklemek amac›yla, özgün, titiz, yo¤un çal›flma ürünü olan ve yeni sisteme tamamiyle uygun yeni serisini hizmetinize sunmaktan gurur duymaktad›r. Elinizdeki YGS TEMEL MATEMAT‹K Soru Bankas› bu amaca hizmet eden ve sizlerin bu yöndeki gereksiniminizi karfl›layacak yönde haz›rlanm›fl yetkin bir baflvuru kayna¤›d›r. Üniversite adaylar›n›n tümü hangi alandan tercih yaparlarsa yaps›nlar YGS'de yer alan matematik sorular›ndan sorumludurlar. YGS TEMEL MATEMAT‹K Soru Bankas› kitab› bu ihtiyac› karfl›lamak için, Yüksekö¤retime Geçifl S›nav›nda yer alaca¤› düflünülen konulardan ç›kabilecek, zorluk katsay›s› YGS'ye uygun özgün sorulardan haz›rlanm›flt›r. fiimdiye de¤in yay›mlanan soru bankalar›ndan nitelikçe çok daha üstün olan bu kitap otuzüç bölüm ve befl deneme s›nav›ndan oluflmaktad›r. Her bölümde, test sorular›na geçilmeden önce, o bölüme iliflkin bilgi alan›n›n temel çizgileriyle, ka-rakteristik özellikleriyle gözden geçirilmesini sa¤layan konu özetleri yer almaktad›r. Özenle haz›rlanan bu konu özetlerinin ayr›nt›lardan s›yr›lm›fl fakat konunun özünü yakalayan metinler olmalar› büyük önem tafl›maktad›r. Konu özetlerini bu yönleriyle de¤erlendirmek gerekir. Konu özetlerinin d›fl›nda, her bölüm, konuyu hiç boflluk b›rakmaks›z›n tarayan sorulardan oluflmufl, geçerlili¤i ve güvenirlili¤i s›nanm›fl, yeterli say›da testlerle tamamlanm›flt›r. Gerek konu özetleri gerekse konu testleri kapsam ve nitelik aç›s›ndan YGS'deki de¤ifliklikler, ÖSYM standartlar› dikkate al›narak haz›rlanm›flt›r. Bu kitaptan yararlanarak yapaca¤›n›z al›flt›rmalar, daha önce ö¤rendi¤iniz kavramlar›n, terimlerin, zihninizde somut biçimler kazanmas›n›, giderek daha da netleflmesini sa¤layacakt›r. Tüm sorular› eksiksiz çözdü¤ünüzde, eminim, kendinizi YGS'deki matematik sorular›n› çözmeye haz›r hissedeceksiniz. Okuldan üniversiteye uzanan bu yolda, tüm ö¤rencilerimize baflfla ar›lar diliyoruz. Ankara ALİ DEMİR Zafer Yayınları Kurucusu ‹Ç‹NDEK‹LER 1. BÖLÜM : 2. BÖLÜM : 3. BÖLÜM : 4. BÖLÜM : 5. BÖLÜM : 6. BÖLÜM : 7. BÖLÜM : 8. BÖLÜM : 9. BÖLÜM : 10. BÖLÜM : 11. BÖLÜM : 12. BÖLÜM : 13. BÖLÜM : 14. BÖLÜM : 15. BÖLÜM : 16. BÖLÜM : 17. BÖLÜM : 18. BÖLÜM : 19. BÖLÜM : 20. BÖLÜM : 21. BÖLÜM : 22. BÖLÜM : 23. BÖLÜM : 24. BÖLÜM : 25. BÖLÜM : 26. BÖLÜM : 27. BÖLÜM : 28. BÖLÜM : 29. BÖLÜM : 30. BÖLÜM : 31. BÖLÜM : 32. BÖLÜM : 33. BÖLÜM : DO⁄AL SAYILAR VE TAM SAYILAR ..............................................................................................9–14 Test (1–2–3–4–5–6–7–8–9–10–11–12–13–14) ..............................................................................15–53 GERÇEK SAYILAR ........................................................................................................................54–58 Test (1–2–3–4–5–6–7–8–9–10–11) ................................................................................................59-91 ÇARPANLARINA AYIRMA ............................................................................................................92–93 Test (1–2–3–4–5–6–7–8) ..............................................................................................................94–110 ORAN VE ORANTI ....................................................................................................................111–112 Test (1–2–3–4)............................................................................................................................113–124 BAS‹T Efi‹TS‹ZL‹KLER VE SIRALAMA ......................................................................................125–126 Test (1–2) ..................................................................................................................................127–132 MUTLAK DE⁄ER ..............................................................................................................................133 Test (1–2–3) ..............................................................................................................................134–142 I. DERECEDEN DENKLEMLER ........................................................................................................143 Test (1–2–3) ..............................................................................................................................144–152 PROBLEMLER ..........................................................................................................................153–154 Test (1–2–3–4–5–6–7–8–9–10–11–12–13–14–15–16–17) ..........................................................155–205 MANTIK VE KÜMELER..............................................................................................................206–207 Test (1–2–3–4)............................................................................................................................208–218 KARTEZYEN ÇARPIM – BA⁄INTI ............................................................................................219–221 Test (1–2) ..................................................................................................................................222–227 FONKS‹YON ..............................................................................................................................228–229 Test (1–2–3) ..............................................................................................................................230–238 ‹fiLEM ................................................................................................................................................239 Test (1–2–3) ..............................................................................................................................240–248 MODÜLER AR‹TMET‹K ....................................................................................................................249 Test (1–2–3) ..............................................................................................................................250–258 PERMÜTASYON, KOMB‹NASYON, B‹NOM, OLASILIK VE ‹STAT‹ST‹K ..................................259–261 Test (1–2–3–4–5–6–7–8–9–10) ..................................................................................................262–291 DO⁄RUDA AÇILAR ..................................................................................................................292–295 Test (1–2) ..................................................................................................................................296–301 ÜÇGENDE AÇILAR....................................................................................................................302–303 Test (1–2–3) ..............................................................................................................................304–312 ÜÇGENDE KENAR AÇI BA⁄INTILARI ..............................................................................................313 Test (1–2) ..................................................................................................................................314–319 AÇIORTAY ........................................................................................................................................320 Test (1–2)....................................................................................................................................321-326 KENARORTAY ..........................................................................................................................327-328 Test (1–2)....................................................................................................................................329-334 D‹K ÜÇGEN................................................................................................................................335-336 Test (1–2)....................................................................................................................................337-342 ‹K‹ZKENAR VE EfiKENAR ÜÇGEN............................................................................................343-344 Test (1–2)....................................................................................................................................345-350 BENZERL‹K – ALAN ..................................................................................................................351-353 Test (1–2–3–4–5–6–7–8) ............................................................................................................354-377 ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER ..............................................................................................378-380 Test (1–2)....................................................................................................................................381-386 PARALELKENAR........................................................................................................................387-389 Test (1–2–3)................................................................................................................................390-398 D‹KDÖRTGEN VE KARE ............................................................................................................399-400 Test (1–2–3)................................................................................................................................401-409 EfiKENAR DÖRTGEN VE DELTO‹D ..........................................................................................410-411 Test (1–2)....................................................................................................................................412-417 YAMUK ......................................................................................................................................418-420 Test (1–2–3)................................................................................................................................421-429 ÇEMBERDE TE⁄ET – K‹R‹fi ÖZELL‹KLER‹ ..............................................................................430-431 Test (1) ......................................................................................................................................432-434 ÇEMBERDE AÇI ........................................................................................................................435-436 Test (1–2)....................................................................................................................................437-442 ÇEMBERDE UZUNLUK ............................................................................................................443-444 Test (1–2–3)................................................................................................................................445-453 ÇEMBERDE ÇEVRE, ALAN VE BENZERL‹K ............................................................................454-455 Test (1–2–3)................................................................................................................................456-464 UZAY GEOMETR‹S‹ VE KATI C‹S‹MLER ..................................................................................465-471 Test (1–2–3–4–5) ........................................................................................................................472-486 KOORD‹NAT S‹STEM‹, VEKTÖR, DO⁄RU DENKLEMLER‹ VE DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹ ......487-492 Test (1–2–3–4–5–6-7-8) ............................................................................................................493-515 DENEME SINAVLARI Test (1–2)....................................................................................................................................516-528 9 Bölüm – 1 / Doğal Sayılar ve Tam sayılar D O Ğ A L S AY I L A R V E TA M S AY I L A R RAKAM: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarından her birine rakam denir. Gerçel sayılar lR ile gösterilir. Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayıların birleşimine gerçel sayılar ZAFER YAYINLARI Her rakam bir sayıdır. Fakat her sayı bir rakam değildir. 1 V. GERÇEL (REEL) SAYILAR SAYI: Rakamlardan oluşan ifadelere sayı denir. U YA R I BÖLÜM kümesi denir. TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR I. ÇİFT TAM SAYILAR: SAYI KÜMELERİ n ∈ Z olmak üzere 2n sayısına çift tam sayı denir. I. DOĞAL SAYILAR N = {0, 1, 2, 3, ....., n, ......} kümesinin elemanlarından her biri doğal sayıdır. II. TEK TAM SAYILAR: n ∈ Z olmak üzere 2n–1 N+ = {1, 2, 3, ...., n, ....} elemanlarının her birine sayma sayısı denir. sayısına tek tam sayı denir. T = Tek sayılar ve Ç = Çift sayılar olmak üzere ll. TAM SAYILAR Tam sayılar kümesi Z ile gösterilir. Z = {....., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 ......} kümesinin her bir elemanına tam sayı denir. Z+ = {1, 2, 3, 4, ...., n, ...} kümesinin elemanlarına pozitif tam sayı denir. Ç±Ç=Ç T.Ç=Ç n ∈ Z+ iken T±T=Ç Ç.Ç=Ç Çn = Ç Ç±T=T T.T=T Tn = T Z– = {...., –n, ...., –3, –2, –1} kümesinin elemanlarına negatif tam sayı denir. Z = Z– ∪ {0} ∪ Z+ dir. Sıfır ne negatif ne de pozitiftir. III. RASYONEL SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir. a, b ∈ Z ve b ≠ 0 olmak üzere a biçimindeki sayılara rasyonel b sayılar denir. Q = { a | a, b ∈ Z, b ≠ 0 } biçiminde ifade edilir. b ZAFER YAYINLARI NOT: 1. Katsayısı çift olan tam sayılar çifttir. 2. Sayının kuvveti (üssü), sayının tek ya da çift olmasını değiştirmez. 3. 0! = 1 , 1! = 1, n ≥ 2 ve n ∈ Z+ için n! = Çift Çarpımları verilen pozitif en küçük olması için sayıların farkının en küçük olması lV. İRRASYONEL SAYILAR Rasyonel olmayan sayılara irrasyonel sayı denir. gerekir. Toplamları ÖRNEK yonel sayılardır. 5, – 3 12 , 4 iki sayının toplamının 3 , π, e sayıları irras- verilen iki sayının çarpımlarının en büyük olması için aralarındaki farkın en küçük olması gerekir. Bölüm – 1 / Doğal Sayılar ve Tam sayılar 10 ARDIŞIK SAYILAR VE ARDIŞIK SAYILARIN TOPLAMI DOĞAL SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ VE TABAN ARİTMETİĞİ l. Ardışık sayılar. a, b, c, d birer rakam olmak üzere Belirli bir kurala göre arka, arkaya gelen sayı dizileridir. (aritmetik dizi) İki basamaklı bir doğal sayı: ab = 10a + b n bir tam sayı olmak üzere. üç basamaklı bir doğal sayı: Ardışık tam sayılar = {..., (n–1), (n), (n+1), ...} abc =100a + 10b + c ve Ardışık çift tam sayılar ={..., (2n–2), (2n), (2n+2), ...} dört basamaklı bir doğal sayı şeklinde gösterilir. ll. Terimleri arasında daima sabit fark olan sayı dizilerinde Terim sayısı = (Son terim) – (Ilk terim) +1 Ortak fark ZAFER YAYINLARI Ardışık tek tam sayılar={..., (2n–1), (2n+1), (2n+3), ...} abcd = 1000a + 100b + 10c + d şeklinde çözümlenir. İki basamaklı bir sayı: A = mn = 10m + n ise bu sayının rakamları yer değiştirildiğinde elde edilen sayı B = nm = 10n + m dir. A + B = (10m + n) + (10n + m) = 11(m + n) lll. Terimleri arasında daima sabit fark olan sayı dizilerinin toplamı T= A – B = (10m + n) – (10n + m) = 9(m – n) olur. TABAN ARİTMETİĞİ terim sayısı (ilk terim + son terim) 2 0, 1, 2, ....., (t – 1) rakamları kullanılarak bir sayı t tabanında yazılabilir. lV. Ardışık sayıların toplamını veren bazı formülller: n (n + 1) a) 1 + 2 + 3 + .... + n = 2 (abcd)t = a . t3 + b . t2 + c . t + d . t0 eşitliği ile t tabanında bir sayı 10 tabanına çevrilmiş olur. b) 2 + 4 + 6 + .... + 2n = n(n+1) c) 1 + 3 + 5 + ... + 2n –1 = n2 dir. V. Aşağıdaki formüllerin bilinmesinde yarar vardır. 1) Taban aritmetiğinde taban daima 1 den büyük sayma sayılar olmalıdır. n (n + 1) (2n + 1) a) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 6 n. (n + 1) H 2 n+1 c) 1 + a + a2 + a3 + .... + an = 1 – a , a≠1 1– a d) 1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + .... + n.n! = (n + 1)! – 1 İŞLEM SIRASI İşlem yaparken öncelik sırası 1. Parantez içleri 2. Kuvvet alma 3. Bölme, çarpma 4. Toplama, çıkarma biçimindedir. ZAFER YAYINLARI b) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = > 2) Taban aritmetiğinde sayıyı oluşturan rakamlar daima tabandan küçüktür. 2 HERHANGİ BİR TABANDAKİ SAYININ 10 LUK SİSTEMDE YAZILMASI Herhangi bir tabandan 10 luk tabana geçilirken verilen sayı hangi tabanda ise o tabana göre çözümlenir. ÖRNEK (234)5 = 2.52 + 3 . 5 + 4 . 1 = 69 Herhangi bir tabandaki ondalık bir sayıyı 10 luk sistemde yazılımı; (ab, cd)x = a . x + b + c . x–1 + d . x–2 biçimindedir. Bölüm – 1 / Doğal Sayılar ve Tam sayılar 11 10 LUK SİSTEMDE VERİLEN BİR SAYININ HERHANGİ BİR TABANDA YAZILMASI ASAL SAYILAR Bir ve kendisinden başka tam böleni olmayan ve 1 den büyük olan sayma sayılardır. 10 tabanında verilen bir sayıyı t tabanında yazmak için; Verilen sayı t ye ardışık olarak bölüm t den küçük oluncaya kadar bölünür. Son olarak elde edilen bölümden başlayarak kalanlar sağdan sola doğru yazılır. Asal sayılar = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ....} U YA R I ÖRNEK En küçük asal sayı 2 dir. 194 sayısının 5 tabanındaki eşitini bulunuz. 194 5 190 38 5 4 35 7 5 3 5 1 (194)10 = (1234)5 2 ZAFER YAYINLARI 2 hariç bütün asal sayılar tek sayılardır. ÇÖZÜM: On tabanındaki 194 sayısını 5 tabanında yazmak için; 194 sayısı 5 ile ardışık olarak bölüm 5 ten küçük oluncaya kadar bölünür. Son olarak elde edilen bölümden başlayarak kalanlar sondan başa doğru yazılır. Yani U YA R I n sayısının asal olup olmadığını anlamak için n den küçük asal sayılara bölünüp bölünmediğine bakmak yeterlidir. ARALARINDA ASAL SAYILAR Birden başka pozitif ortak böleni olmayan pozitif tam sayılara aralarında asaldır denir. (194)10 = (1234)5 bulunur. NOT: ÖRNEK t tabanındaki bir sayıdan k tabanına geçmek için; t tabanındaki sayıdan 10 tabanına geçilir, sonrada bu sayıdan k tabanına geçilir. 3 ile 7 aralarında asal iki sayı 8 ile 15 aralarında asal iki sayı 8, 15, 17 aralarında asal üç sayıdır. TABAN ARİTMEĞİNDE AYNI TABANDA U YA R I TOPLAMA – ÇIKARMA – ÇARPMA 1) 1 sayısı her pozitif tam sayı ile aralarında asaldır. ÖRNEK 2) Ardışık pozitif iki tam sayı aralarında asaldır. (321)4 – (133)4 (122)4 (34)5 x DOĞAL SAYILARIN KUVVETİ (43)5 212 + 301 (3222)5 TABAN ARİTMETİĞİNDE TEK VE ÇİFT SAYILAR ZAFER YAYINLARI (234)5 (434)5 + (1223)5 Bir sayının 1 ve kendisi dışında asal böleni varsa sayı asal değildir. (Bileşik sayı) TANIM: x ve n birer doğal sayı ve n ≠ 0 olmak üzere, n .x4.x2 . ... 1x4 44x3 = x dir. n tane xn de, x e taban, n e üs ya da kuvvet denir. (abcd)n sayısında xn “x üssü n” ya da “x in n. inci kuvveti” diye okunur. I. n çift ise son rakamı d çift ise sayı çift, tek ise sayı tektir. TANIM: x sıfırdan farklı bir doğal sayı olmak üzere, xo = 1 dir. II. n tek ise rakamları toplamı a + b + c + d sayısı tek ise sayı tek, çift ise sayı çifttir. U YA R I 00 belirsizdir. Bölüm – 1 / Doğal Sayılar ve Tam sayılar 12 ÜSLÜ SAYILARIN ÖZELLİKLERİ BİR SAYININ ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI x, y ∈ N ve n, m sıfırdan farklı doğal sayılar olmak üzere, 24 = 2 . 2 . 2. 3 = 23 . 3 olup 2 ve 3 sayılarına 24 sayısının asal çarpanları denir. 1. xm . xn = xm+n 2. xn . yn = (x . y)n 3. (xm)n = xm.n dir. A.10m 70 = 2 . 5 . 7 olduğundan 70 in asal çarpanları 2, 5 ve 7 dir. sayısı n ve m doğal sayı olmak üzere B = A.2n.5m sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğu araştırılırken 2 ve 5 in kuvvetleri olan n ve m sayılarına bakılır. Sondan sıfır olan basamak sayısı küçük kuvvet kadardır. ZAFER YAYINLARI A, n basamaklı bir doğal sayı ise n + m basamaklı bir doğal sayıdır. ÖRNEK ÖRNEK: 720 sayısını asal çarpanlara ayıralım FAKTÖRİYEL 1 den n e kadar olan tüm doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir. 0! = 1 8! = 7! . 8 1! = 1 12! = 10! . 11 . 12 2! = 1.2 n! = (n–1)! . n 3! = 1. 2.3 (n+2)!=n!.(n+1)(n+2) biçimindedir. BİR DOĞAL SAYININ TAM BÖLENLERİ Bir sayı asal çarpanlarına ve asal çarpanlarının çarpımlarına tam bölünür. Bir A sayısının asal çarpanları x, y, z ve A = xa . yb . zc ise 4! = 1.2.3.4 1) Pozitif bölenlerinin sayısı = (a+1).(b+1).(c+1) n! = 1.2.3. ..... n dir. 2) Tüm bölenlerinin sayısı=2. (a+1).(b+1).(c+1) 3) Pozitif bölenlerinin toplamı U YA R I a + 1 1–y b + 1 1–z c + 1 = 1–x . . veya 1–x 1–y 1–z a ve x birer doğal sayı olmak üzere U YA R I 1) n! sayısının sonunda 5 asal çarpanlarının sayısı kadar “0” rakamı bulunur. 2) a ile b asal sayı ve a > b ise n! içerisinde (a.b) çarpanının sayısı büyük olan asal çarpan a sayısı kadardır. = (1+x+.....+xa).(1+y+...+yb).(1+z+... +zc) dir. ZAFER YAYINLARI a ≥ x ve a! içindeki x çarpanlarının sayısı x in en büyük asal çarpanının a! içindeki sayısına eşittir. 4) Tüm bölenlerinin toplamı sıfırdır. 5) Pozitif bölenlerinin çarpımı (a + 1) (b + 1) (c + 1) A 2 dir. 6) Tüm bölenlerinin çarpımı (–A)(a+1) . (b+1) . (c+1) dir. 7) A sayısının asal bölenleri x, y, z dir. Bölüm – 1 / Doğal Sayılar ve Tam sayılar 13 TAM SAYILARDA BÖLME VE BÖLÜNEBİLME A, B, C ∈ Z, B ≠ 0 k ∈ N ve 0 ≤ k < |B| olmak üzere A – B C 6) 5 ile bölünebilme Birler basamağındaki rakamı 0 ya da 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür. Eğer sayının son rakamı 0 ya da 5 değilse bu sayının 5 ile bölümünden kalan birler basamağının 5 ile bölümünden kalana eşittir. ise A = B . C + k dir. k U YA R I Bir sayının 5 ile bölümünden kalan a ise birler basamağındaki rakam a veya a + 5 dir. U YA R I 2) k < |C| ise B ile C yer değiştirdiğinde k değişmez. BÖLÜNEBİLME KURALLARI 1) 0 ile bölünebilme ZAFER YAYINLARI 1) k = 0 olursa A = B . C olur, bu işleme tam bölme adı verilir. 7) 6 ile bölünebilme 6 sayısının asal çarpanları olan 2 ve 3 ile tam bölünebilen doğal sayılar, 6 ile tam bölünür. 8) 7 ile bölünebilme Bir x sayısı, x = 10 . A + B (A bir sayı, B bir rakam) şeklinde yazıldıktan sonra A–2B sayısı 7 ile tam bölünür ise x sayısı da 7 ile tam bölünür. Bir sayının sıfır ile bölümü tanımsızdır. Sıfırın sıfıra bölümü belirsizdir. Ancak sıfır kendisi dışındaki tüm sayılara bölünür ve bölüm sıfırdır. 9) 8 ile bölünebilme 0 = 0, A = tanımsız ve 0 = Belirsiz A 0 0 Bir sayının son üç rakamı “000” veya 8 in katı ise bu sayı 8 ile tam bölünür. 2) 1 ile bölünebilme 10) 9 ile bölünebilme Her sayı 1 ile bölünür ve bölüm kendisine eşittir. Rakamları toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür. 3) 2 ile bölünebilme U YA R I Birler basamağı çift {0, 2, 4, 6, 8} olan sayılar 2 ile tam bölünür. Birler basamağı {1, 3, 5, 7, 9} olan sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir. Rakamlar toplamının 9 ile bölümünden kalan verilen sayının 9 ile bölümünden kalanı olur. 11) 10 ile bölünebilme 4) 3 ile bölünebilme Birler basamağı 0 olan sayılar 10 ile tam bölünür. Sayıyı oluşturan rakamların toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür. U YA R I Bir sayının 3 ile bölümündeki kalan rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir. 5) 4 ile bölünebilme Son iki rakamın oluşturduğu sayı 4 ün tam katı ya da 00 olan doğal sayı 4 ile bölünür. U YA R I Sayının son iki basamağı 4 ün tam katı değilse, 4 ün katının kaç fazlası ise kalan o olur. ZAFER YAYINLARI U YA R I Bir sayının 10 ile bölümünden kalan birler basamağındaki rakamdır. 12) 11 ile bölünebilme a, b, c, d, e birer rakam olsun a b c d e + – + – + sayısının sağından başlayarak sola doğru +, –, .... işaretleriyle sınıflandırılır. + (+) işaretli rakamlar ile (–) işaretli rakamlar toplamı arasındaki fark sıfır veya 11 in katı ise verilen sayı 11 ile tam bölünür. Bölüm – 1 / Doğal Sayılar ve Tam sayılar 14 13) 13 ile bölünebilme NOT: A doğal sayısı A = 10a + b biçiminde yazıldığında Kısa yol olarak sayılar aynı anda asal çarpanlara a + 4b sayısı 13 ile tam bölünüyor ise A doğal sayısı da ayrılır. Sayıları aynı anda bölenlerin yanlarına ✬ işareti 13 ile tam bölünür. konur. İşaretli olanların çarpımı OBEB i, tümünün çarpımı OKEK i verir. 14) 17 ile bölünebilme A doğal sayısı A = 10a + b biçiminde yazıldığında a –5b sayısı 17 nin katı ise A sayısı 17 ye tam bölünür. A doğal sayısı A = 10 . a + b biçiminde yazıldığında a + 2b sayısı 19 un katı ise A sayısı 19 a tam ZAFER YAYINLARI 15) 19 ile bölünebilme SONUÇ: bölünür. 1) x, y ∈ N+ x . y = OBEB(x,y) . OKEK (x,y) 2) x, y ∈ N+ ve x < y olmak üzere OBEB (x, y) ≤ x < y ≤ OKEK (x, y) 3) x ile y aralarında asal iki sayı ise U YA R I Aralarında asal iki sayıya ayrı ayrı bölünebilen bir OBEB (x, y) = 1 sayı, bu iki sayının çarpımına tam bölünür. OKEK (x, y) = x . y 3 ve 4 ile bölünebilen bir sayı 12 ile tam bölünür 4) a ve c kesirleri için b d 3 ve 5 ile bölünebilen bir sayı 15 ile tam bölünür OKEK (a, c) a) OKEK e a . c o = b d OBEB (b, d) 3 ve 11 ile bölünebilen bir sayı 33 ile tam bölünür gibi OBEB (a.d, b.c) b) OBEB e a , c o = b d OKEK (b, d) OBEB ve OKEK U YA R I I. ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ (OBEB) 1) OBEB (a, b, c) . OKEK (a, b, c) ≠ a . b . c İki veya daha fazla sayıyı aynı anda bölebilen en 2) a ve b sayma sayılarının OBEB leri d ise d, a ve b yi tam böler ve çıkan bölümler aralarında asaldır. OBEB’ini bulmak için sayılar asal çarpanlara ayrılır, ortak olan asal çarpanlardan üsleri en küçük olanlarla, üstleri eşit olanlardan birer tanesinin çarpımı OBEB i verir. ZAFER YAYINLARI büyük sayıya bu sayıların OBEB i denir. Sayıların Buna göre a = d .x 4 olur. b = d.y (x ve y aralarında asaldır) Bu durumda OKEK (a, b) = d.x .y olur. ll. ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ (OKEK) İki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüdür. Bu sayıların OKEK ini bulmak için verilen sayılar asal çarpanlarına ayrılır, üsleri en büyük olanlarla üsleri eşit olanlardan birer tanesi ve ortak olmayanların tümünün çarpımı ise OKEK lerini verir. U YA R I OBEB ve OKEK problemleri çözülürken verilen birimler büyüyor ise OKEK, küçülüyor ise OBEB i alınır. Bölüm – 1 / Doğal Sayılar ve Tam sayılar 15 DOĞAL SAYILAR (Temel Kavramlar) 1. x < y < z olmak üzere, x, y, z ardışık çift tamsayılardır. 5. 2. C) –8 D) –16 E) 16 a, b, c sırasıyla ardışık çift sayılardır. f 1 + a p. f 1 + b p. f 1 + c p = 2 2 2 2 3 olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? ZAFER YAYINLARI B) –4 1 a>b>c Buna göre, (x – z) . (y – x) . (z – y) ifadesinin değeri kaçtır? A) –2 TEST A) 18 B) 24 C) 30 D) 42 E) 54 Ardışık 6 tek doğal sayının toplamı 96 dır. Bu sayıların arasında kalan çift sayılar toplamı kaçtır? A) 76 B) 78 C) 80 D) 82 6. E) 84 Aşağıdakilerden hangisi çift sayıdır? A) (174)0! B) 237 + 576 D) 5 . 0! 3. C) 3 . 9! + 93 E) 1546 + (546)2 (5n – 2) ve (3n – 8) sayıları ardışık çift sayılardır. A) –8 B) –6 C) 0 D) 4 E) 6 ZAFER YAYINLARI Buna göre, n değerleri toplamı kaçtır? 7. a, b, c tam sayılar a + 2b = 3c 4 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) b çift sayıdır. 4. Ardışık 13 tek sayının toplamı 923 ise en küçük sayının bir fazlasının 5 te biri kaçtır? B) b + c çift sayıdır. C) a + b . c tek sayıdır. D) a . b çift sayıdır. A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18 E) b tek ise c tek sayıdır. Bölüm – 1 / Doğal Sayılar ve Tam sayılar 16 8. x, y, z ∈ N olmak üzere, 12. 2x = 3y = 5z x • • • 2 4 • • • +4 3 6 A B C D ifadesi için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? A) 224 A) x çift ise y çift z tektir. Yandaki çarpma işlemine göre dört basamaklı ABCD sayısı, rakamları toplamının kaç katına eşittir? B) 246 C) 302 D) 312 E) 436 B) x, y, z çifttir. C) x, y, z tektir. D) y, z çifttir. z tek ise y çifttir. ZAFER YAYINLARI E) 9. a ve b çift, c ise tek sayma sayılarıdır. 5a + 3c – 7b = 3 13. olarak verildiğine göre, a + b + c ifadesinin alacağı en küçük doğal sayı değeri aşağıdakilerden hangisidir? x + A) 1 B) 3 C) 9 D) 13 E) 25 x y xy iki basamaklı, abc üç basamaklı 2 5 doğal sayılardır. a b c Bir öğrenci yandaki çarpma işled e minde de sayısını kaydırıp sonucu 1 7 5 175 bulmuştur. Bu işlemin doğru sonucu kaçtır? A) 690 10. B) 675 C) 625 D) 515 E) 495 n tam sayısı için, 2n – 3 sayısından büyük en küçük tek tam sayının, 2n + 3 sayısından küçük en büyük çift tam sayıya oranı 5 dır. 6 Buna göre, n kaçtır? B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 ZAFER YAYINLARI A) 8 11. a ve b pozitif doğal sayılar olmak üzere, a + b = 12 5 olduğuna göre, a nın alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 60 B) 58 C) 55 D) 50 E) 45 14. a, b, c negatif sayılardır. Bu sayılar arasında 3a = 7b ve 11b = 9c bağıntıları bulunduğuna göre, bu sayıların doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? A) a < c < b B) a < b < c C) c < a < b D) c < b < a E) b<c<a 17 Bölüm – 1 / Doğal Sayılar ve Tam sayılar 15. Bir kitabın sayfalarını numaralandırmak için 567 tane rakam kullanılmıştır. 18. Her biri 3 basamaklı 5 farklı doğal sayının toplamı 1568 ise en büyüğü en az kaçtır? Kitap kaç sayfadır? A) 312 B) 223 C) 225 D) 227 E) 229 ZAFER YAYINLARI A) 220 B) 313 C) 314 D) 316 E) 317 16. 19. a ve b birbirinden farklı doğal sayılardır. Bunların arasında, x, y ve z birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. x + 2y + 3z = 36 3a + 5b = 36 olduğuna göre, x . y . z çarpımının en büyük değeri kaç olabilir? bağıntısı vardır. Bu şartı sağlayan b değerlerinin toplamı kaçtır? A) 58 B) 6 C) 9 D) 10 C) 126 D) 270 E) 288 E) 15 ZAFER YAYINLARI A) 3 B) 84 17. Rakamları farklı, üç basamaklı birbirinden farklı 4 doğal sayının toplamı 728 olduğuna göre, bu sayılardan en büyüğü en çok kaç olabilir? 20. Bir çıkarma işleminde eksilen ile çıkanın toplamı 27 ve fark 17 olduğuna göre, eksilen sayı kaçtır? A) 24 A) 419 1.D 2.C 3.B B) 22 C) 21 D) 20 E) 19 B) 421 C) 422 D) 423 E) 424 4.B 5.D 6.A 7.D 8.D 9.D 10.A 11.C 12.E 13.C 14.A 15.C 16.C 17.A 18.D 19.E 20.B Bölüm – 1 / Doğal Sayılar ve Tam sayılar 18 DOĞAL SAYILAR (Temel Kavramlar) Ardışık 5 çift doğal sayının toplamı k olduğuna göre, bu sayılardan en büyüğü ile en küçüğünün toplamı kaçtır? A) 2k – 4 5 2k 5 B) D) 2k 4. Üç tane ardışık tek doğal sayı ile iki tane ardışık çift doğal sayının toplamı 105 tir. C) 2k + 4 5 E) 2k – 4 A) 84 5. 2. 2 Çift doğal sayılar toplamının en büyük değeri ile en küçük değeri arasındaki fark kaçtır? ZAFER YAYINLARI 1. TEST a, b, c sırasıyla ardışık çift tam sayılar ve B) 32 C) 30 D) 29 E) 25 a bir doğal sayı olmak üzere, a dan itibaren (a dahil) ardışık (n + 2). doğal sayı aşağıdakilerden hangisidir? a < b < c dir. f 1 + a p. f 1 + b p. f 1 + c p = 4 2 2 2 A) a + n + 3 D) a + n olduğuna göre, a . b + c işleminin sonucu kaçtır? B) 12 C) 14 D) 16 C) a + n + 1 E) a + n – 1 E) 18 ZAFER YAYINLARI A) 10 B) a + n + 2 6. m tek, n çift doğal sayılar olmak üzere, aşağıdakilerden kaç tanesi daima tek sayıdır? I. m2 + n2 II. 4m – 2n III. 7m3 – 4n2 3. 3x – 1 ve 2x + 3 sayılarını ardışık iki tam sayı yapan x tam sayılarının toplamı kaçtır? A) 8 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21 IV. m3 + n 2 V. m.n 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Bölüm – 1 / Doğal Sayılar ve Tam sayılar a sıfırdan farklı bir rasyonel sayı iken aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift bir sayıdır? A) a2 . a–2 + 2 B) a3(a–3 + 1) C) a–1 (a + 4)–1 D) 2a–4(a4 + 2) E) 8. 11. 3 basamaklı en büyük tam sayı ile 2 basamaklı en küçük rakamları farklı doğal sayının farkı kaçtır? A) 1097 B) 989 C) 977 D) 198 E) 90 4a6 . a–6 x, y, z ∈ N olmak üzere; xy – 3 =z 4 şartını sağlayan x, y, z sayıları için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur? ZAFER YAYINLARI 7. 19 12. a, b ve c birer rakam olmak üzere, 2a – 3b + c ifadesinin en büyük değeri kaçtır? A) 30 A) x + y tektir. B) z çifttir. C) xy tektir. D) x + y + z çifttir. E) C) 26 D) 24 E) 19 x . y . z tektir. 13. 9. B) 27 x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere, x + y = 17 11 ifadesinde x in alacağı en büyük değer aşağıdakilerden hangisidir? a, b ve c tam sayılar olmak üzere, 4a2 + 3b2 + 5c2 toplamı tek sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift sayıdır? A) 176 A) b . c + a B) a + b – c C) 2a + b – c E) a . b . c + 3 ZAFER YAYINLARI D) b + c + 1 10. n ∈ N olmak üzere (x + 1)n sayısı negatif bir çift sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima pozitif bir tek sayıdır? A) (x – 1)n D) 3xn B) 187 C) 198 D) 216 E) 237 B) (2x – 3) E) xn C) (2 – x)n+3 14. a ve b tam sayılardır. –15 + 9 = –3.a b olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 4 B) 12 C) 14 D) 16 E) 20 Bölüm – 1 / Doğal Sayılar ve Tam sayılar 20 15. Rakamları toplamı 59 olan bir sayı en az kaç basamaklıdır? 18. x, y ve z pozitif tam sayıları için; 2x + 3y + 2z = 48 olduğuna göre, x + y + z toplamı en çok kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 B) 23 C) 21 D) 9 E) 8 ZAFER YAYINLARI A) 24 19. 16. a ve b doğal sayılar olmak üzere, (2a – 1) . (b + 2) = 18 İkisi 23 ten büyük, rakamları farklı iki basamaklı 5 farklı doğal sayının toplamı 120 olduğuna göre, en büyük sayı en fazla kaçtır? eşitliğini sağlayan b değerleri toplamı kaçtır? A) 60 17. B) 36 C) 27 D) 24 x, y, z, t, k, m birbirinden farklı rakamlardır. Bu rakamların herbiri yalnız birer kez kullanılarak ikişer basamaklı üç doğal sayı yazılıyor. 20. 1.B 2.C 3.A 5.C 6.B 7.E 8.C E) 64 9.D 10.C Bir çarpma işleminde çarpanlardan birinin onlar basamağındaki 5 sayısı yanlışlıkla 8 alınarak m sayısı ile çarpılıyor. A) 12 B) 254 C) 255 D) 256 E) 257 4.A D) 63 Bulunan sonuç asıl sonuçtan 360 fazla olduğuna göre, m kaçtır? Bu sayıların toplamı en çok kaç olur? A) 228 C) 62 E) 20 ZAFER YAYINLARI A) 37 B) 61 11.B 12.B 13.A B) 15 14.E 15.C C) 18 16.E D) 24 17.C 18.B E) 36 19.B 20.A