ITD obrt za poduke i usluge 098/ 92 02 295 matematika@poduke-itd.hr www.poduke-itd.hr www.facebook.com/itd.hr Ekstremi funkcija više varijabli Postupak: 1. naći: zx → derivirati ono što ima x zy → derivirati ono što ima y 2. prvu derivaciju izjednačiti sa 0 i naći rješenja (x i y) 3. naći: zxx → derivirati ono što ima x u zx → A zxy → derivirati ono što ima x u zy → B zyy → derivirati ono što ima y u zy → C 4. izračunati: D=AC-B2 - D<0 → nema ekstrema - D>0 → ima ekstrema: A>0 → min A<0 → MAX Primjer: Odredimo ekstreme funkcije z = 2 x 3 − 6 x + 6 y 2 + 1 KORAK 1. Nađemo prvu derivaciju (zx i zy): z = 2x 3 − 6x + 6 y 2 + 1 z = 2x 3 − 6x + 6 y 2 + 1 zx – deriviramo samo gdje je x zy – deriviramo samo gdje je y z x = 2 ⋅ 3x 3−1 − 6 ⋅ 1 z y = 6 ⋅ 2 y 2−1 z x = 6x 2 − 6 z y = 12 y 1 ITD obrt za poduke i usluge 098/ 92 02 295 matematika@poduke-itd.hr www.poduke-itd.hr www.facebook.com/itd.hr KORAK 2. Prvu derivaciju izjednačimo sa 0 i nađemo rješenja (x i y): 6x 2 − 6 = 0 12 y = 0 / :12 6 x 2 = 6 / :6 y=0 x2 = 1 / x = ±1 → x 1 = 1 x 2 = −1 KORAK 3. Nađemo drugu derivaciju (zxx, zxy i zyy): zxx→ deriviramo gdje imamo x u zx z x = 6x 2 − 6 z xx = 6 ⋅ 2 x 2−1 z xx = 12x Da bi dobili A uvrštavamo x1=1 i x2=-1 (x-eve smo dobili u koraku 2.) z xx = 12 ⋅ 1 = 12 → A1 z xx = 12 ⋅ (−1) = −12 → A2 zxy→ deriviramo gdje je x u zy z y = 12 y z xy = 0 (nema x u zy) → B zyy→ deriviramo gdje imamo y u zy z y = 12 y z yy = 12 ⋅ 1 z yy = 12 → C 2 ITD obrt za poduke i usluge 098/ 92 02 295 matematika@poduke-itd.hr www.poduke-itd.hr www.facebook.com/itd.hr KORAK 4. Izračunamo: D=AC-B2 D1 = A 1C − B 2 = 12 ⋅ 12 − 0 2 = 144 >0 → ima ekstrema (A>0 min) Rješenje: min(1,0) D 2 = A 2 C − B 2 = 12 ⋅ (−12) − 0 2 = −144 <0 nema ekstrema Objašnjenje: Dobili smo da je D1>0 što znači da ima ekstrema . Vidimo da je A1>0 pa imamo minimum. Minimum ima koordinate m(1,0) jer nam je x1=1, a y=0. D2<0 i nema ekstrema. D<0 → nema ekstrema D>0 → ima ekstrema: A>0 → min A<0 → MAX 3
© Copyright 2024 Paperzz
