BIFURKACIJE U ŠUMAMA OBIČNE JELE (Abies alba

BIFURKACIJE U ŠUMAMA OBIČNE JELE (Abies alba Mill.)
Karlo BEZAK*
SAŽETAK: Sušenje i propadanje šuma problem je koji znanstvenici i istraživači
proučavaju već stoljećima. Međunarodnim programom za procjenu i motrenje utjecaja
zračnog onečišćenja na šume (ICP Forests), u Republici Hrvatskoj 2003. godine
procijenjena je značajna oštećenost stabala jele obične 77%, a 2005. godine 88%.
Značajno oštećenim stablima smatraju se stabla osutosti krošnje iznad 25%. Rezultati
procjene osutosti dokazuju kako je jela obična (Abies alba Mill.) duboko ušla u
nestabilno i kaotično stanje. Autor determinističkim kaosom i nelinearno dinamičkim
pristupom osvjetljava problem sušenja šuma. Distribucije prsnih promjera jelovih
sastojina na trajnim plohama razlikuju se od normala akademika Klepca i tipoloških
normala Cestara. Tečajni debljinski prirast pokazuje signifikantne razlike prema
stupnjevima oštećenja. Razvojni tijek visinskih krivulja uređajnog razreda jele pokazuje
pomak po debljinskim razredima i inverziju visinske krivulje u debljinskom razredu
iznad 50 cm. Početni uvjeti i nelinearni povratni učinak glavni je čimbenik fraktalne
dimenzije distribucija prsnih promjera jelovih sastojina. Dosadašnjim krutim linearnim
sustavom gospodarenja nastali su nelinearni dinamički sustavi s periodom 3. Sužena
debljinska struktura u tri debljinska razreda i zapostavljanje starosti jele bili su početni
uvjeti koji su doveli do nelinearno povratnog učinka, stanja u kojem je čak 77% stabala
značajno oštećeno. Nelinearni dinamički pristup jedina je alternativa održivom razvoju
jelovih šuma. Samo iskorak iz krutog linearnog sustava u nelinearni dinamički sustav
osigurava održivo gospodarenje jelovim šumama.
Ključne riječi: jela obična (Abies alba Mill.), kaotični sustavi, nelinearna
dinamika, bifurkacije, održivo gospodarenje
UVOD
Sušenje i propadanje šuma problem je koji znanstvenici i istraživači proučavaju već stoljećima.
Štete koje prouzrokuju sušenja i propadanja ekosustava mogu imati nesagledive posljedice za održivo
gospodarenje šumama.
Od 1950. godine u Hrvatskoj se pojavilo jače sušenje jele u njezinom prirodnom arealu
rasprostranjenja. Godine 1960. u pojedinim sastojinama uzelo je katastrofalne razmjere. Nakon toga
sušenje je pomalo oslabilo, pa se opet pojavilo s jačim intenzitetom 1967. godine. Zbog ugroženosti
jelovih, a u to vrijeme i hrastovih sastojina, izrađen je 1968. godine u Poslovnom udruženju šumskoprivrednih organizacija prijedlog projekta za istraživanje uzroka sušenja jelovih i hrastovih sastojina.
Kako je sušenje jele kompleksan problem, odmah je u početku istraživanja odlučeno da se sušenje
rješava timskim radom istraživača raznih specijalnosti. U tom projektu sudjelovali su znanstvenici i
istraživači Zavoda za istraživanja u šumarstvu Šumarskog fakulteta Sveučilišta u Zagrebu i Šumarskog
instituta Jastrebarsko. Istraživanja problema sušenja jele bile su kompleksne naravi i obuhvatilo je
istraživanje ekološko-bioloških i gospodarsko-ekonomskih problema.
Rezultati tih istraživanja mogu se sažeti u nekoliko rečenica. Sušenje i propadanje jele
uzrokovano je nizom čimbenika od kojih je posljednji u tome nizu jelin moljac (Argyresthia fundella
F.R.). Utvrđene razlike u padu prirasta nisu bile signifikantne stupnju oštećenja. S obzirom na buduće
gospodarenje jelovim šumama trebalo je prilagoditi ekološkim uvjetima. Dosadašnje gospodarenje
stablimičnog prebora i održavanje relativno visokog promjera sječive zrelosti, bez obzira na ekološke
uvjete, stvorilo je prezrele i fiziološke slabe sastojine (Androić et al. 1975).
.
*Dr. sc. Karlo Bezak, Viši znanstveni suradnik u mirovini, Idrijska 4, 1040 Zagreb, karlo.bezak@gmail.com
1
Krajem rujna 1990. godine održan je 6. IUFRO simpozij o jeli u Zagrebu, gdje su javno izloženi
rezultati istraživanja sušenja jele. Šumarski institut je prezentirao rezultate dvadesetogodišnjih
istraživanja sušenja jele na trajnim pokusnim plohama. Prikazane su oscilacije i odnos razvojnog tijeka
tečajnog godišnjeg debljinskog prirasta jele prema stupnjevima oštećenja za razdoblje mjerenja 1960.1969, 1969.- 1978. i 1978-1987. godine (Bezak et al., 1991).
Stanje i problem sušenja i gospodarenja jelom ostao je sve do današnjeg dana. Stanje je
alarmantno, jer je 77% stabala jele značajno oštećeno.
GOSPODARENJE JELOVIM ŠUMAMA
Obična jela (Abies alba Mill.) u Hrvatskoj nalazi se u zoni svoga prirodnog rasprostranjenja.
Pomiješana je s bukvom i smrekom u prirodnim biocenozama u relativno stabilnoj ekološkoj
ravnoteži.
Posljednjih 50 godina jelovim šumama uređajnog razreda raznodobne jelovo-bukove sjemenjače
i uređajnog razreda jele, uređivanje šuma temelji se na načelima koja propisuje „Novi sistem
uređivanja prebornih šuma“ akademika D. Klepca (Klepac, 1961). To znači da se gospodarenje
propisuje na osnovi normala. Akademik Klepac konstruirao je 9 osnovnih normala za jelove preborne
šume uz fiziološku zrelost i 9 normala za jelove preborne šume uz dimenziju zrelosti od 60 cm prsnog
promjera. Struktura broja stabala po debljinskim stupnjevima odgovarala je Liocourtovom zakonu,
gdje broj stabala po debljinskim stupnjevima opada po geometrijskoj progresiji.
Raznodobne sastojine imaju stabla različite dobi na istoj površini, pa se one u praksi razvrstavaju
u tri razreda sužene debljinske strukture.
I.
– s prsnim promjerom 10-30 cm
II.
– s prsnim promjerom 31-50 cm
III.
– s prsnim promjerom 51 cm i više
Kada razvrstavamo debljinske razrede prema trećinama dimenzije zrelosti, tada se volumeni u
svakoj trećini odnose 1 : 3 : 5. To znači da je volumen debelih stabala iznad 50 cm prsnog promjera 5
puta veći od volumena tankih stabala (prsni promjeri ispod 30 cm), odnosno za 2/5 veći od volumena
srednje debelih stabala (prsni promjeri od 31 do 50 cm).
Prema Pravilniku za uređivanje šuma (Meštrović, Fabijanić, 1995) broj stabala, temeljnica i
drvna zaliha određuje se izmjerom broja živih stabala iznad taksacijske granice temeljem utvrđenog
tarifnog niza za pojedine vrste drveća i iskazuje se za svaki odsjek.
Prirast drvne zalihe određuje se metodom izvrtaka. U jednodobnim sastojinama na temelju
tečajnog debljinskog prirasta, a u raznodobnim sastojinama na temelju vremena prijelaza. U
raznodobnim sastojinama odsjeci se grupiraju po uređajnim razredima i bonitetima. U svakoj grupi
uzimaju se izvrci sa 5 do 10 stabala po debljinskom stupnju.
Visinska krivulja ustrojava se temeljem izmjerenih visina nasumice odabranih stabala tako da se
svakom debljinskom stupnju izmjeri pet do deset visina.
Kod prebornog načina gospodarenja, starost jele potpuno je zanemarena.
PODRUČJE ISTRAŽIVANJA
Osobna istraživanja uzroka i posljedica sušenja obične jele te proučavanja debljinske strukture u
jelovim šumama oslanjaju se na trajne plohe Šumarskog instituta Jastrebarsko na području Gorskog
Kotara i Like. Ploha 9 nalazi se u prašumi Čorkova Uvala, N.P. Plitvička jezera. Kontrolni podaci za
sadašnje stanje debljinske strukture i oštećenosti jelovih stabala uzeti su iz redovne revizije osnove
gospodarenja gospodarskom jedinicom „LIVIDRAGA“ tijekom 2003 godine (Pleše et al., 2004).
Osnovni podaci trajnih ploha postavljenih 1968/69 godine i podaci za odjel 72 gospodarske jedinice
Lividraga nalaze se u Tablici 1. Broj stabala N, temeljnica G i volumen V odnose se samo na jelu.
2
Tablica 1. Osnovni podaci trajnih ploha
Ploha Gospodarska jedinica
1
2
3
4
5/1
5/2
5/3
6
7
8
9
10
Široka draga
Bitoraj
Brloško
Bitoraj
Velika Rebar
Velika Rebar
Velika Rebar
Suho
Veliki kotao-Godača
Lom
Čorkova Uvala
Gosp. Jed. Lividraga
Odjel
45
33
55
5/6
63
63
63
13
43
22
2/3
72
EGT
I-C-30
I-C-10b
I-C-40
I-C-10b
I-C-10a
I-C-10a
I-C-10a
I-C-11
I-C-50
I-C-10b
I-C-10b
I-C-10a
N
G
V
kom
611
232
509
166
174
201
165
318
493
822
89
157
m2/ha
18.17
23.85
34.97
26.13
35.63
33.83
31.39
33.89
19.01
35.59
13.04
25.81
m3/ha
203
287
480
378
533
491
468
395
184
355
206
325
Omjer Oštesmjese ćenost
%
65
78
80
86
84
84
70
73
91
24
24
68
2+3+4
38
91
50
77
43
55
72
95
28
65
20
77
Najmanja osutost krošanja (2, 3 i 4) nalazila se na plohi 7. – 28 % i plohi 1. – 38%, a najveća
osutost procijenjena je na plohi 6. – 95 % i plohi 2. – 91 %.
PROBLEM
Sušenje jele problem je koji se proučava u Europi preko jednog stoljeća. Prvi zapisi o sušenju
jele u Hrvatskoj pojavljuju se 1900. godine.
Obnova obilježenih stabala i istraživanja koja su provedena tijekom 1989. godine pokazala su
neke čudne distribucije prsnih promjera u svih 10 ploha, uključujući i distribuciju stabala odjela 72
gospodarske jedinice Lividraga.
Distribucije prsnih promjera na svim plohama pokazala su odstupanja od normala akademika
Klepca, a također i od normala ekološko-gospodarskih tipova, (Cestar et al., 1986). Očigledna su
odstupanja učestalosti broja stabala istraživanih sastojina od normalne Liocourtove krivulje. Naziru se
najmanje tri sustava smještenih u tri debljinska razreda. Nastojanje šumarskih znanstvenika i šumara
kako bi se postigla idealna Liocourtova krivulja izazvala je rezonanciju 1 : 3. U većini sastojina
uređajnog razreda jele i bukve formirale su se distribucije prsnih promjera s rasponom starosti oko 50
godina u tri debljinska razreda. Samo na trajnim plohama 1, 3 i 7 nalazimo distribucije stabala
približne Liocourtovoj krivulji.
Sve normale akademika Klepca objavljene su za debljinske stupnjeve od 20 cm na više.
Analizirajući panjeve jele tijekom 1987. godine na plohi 5/1, 5/2 i 5/3, nije nađena jela mlađa od 165
godina, bez obzira na promjer panja.
Tijekom istraživanja ishrane jele (Komlenović i Cestar, 1981) u svim ekološko-gospodarskim
tipovima na 26 ploha oboreno je i analizirano 78 dominantnih i vitalnih stabala s prosječnim prsnim
promjerom 52 cm. Prosječna starost analiziranih stabala bila je 150 godina.
Međunarodnim programom za procjenu i motrenje utjecaja zračnog onečišćenja na šume (ICP
Forests), u Republici Hrvatskoj 2005. godine procijenjena je značajna oštećenost stabala: jele obične
77%, hrasta lužnjaka 43% i obične bukve 11%. Značajno oštećenim stablima smatraju se stabla
osutosti krošnje iznad 25%.
3
160
N
Pl. 1. I-C-30
II. bonitet
G = 18,2 m2
140
120
Pl. 2 I-C-10b
II/III bonitet
G = 23,9 m2
100
Pl. 3. I-C-40
I/II bonitet
G = 35.0 m2
80
Pl.4 I-C-10b
I/II bonitet
G = 26.1 m2
60
Pl. 5/1 I-C-10a
I/II bonitet
G = 35,6 m2
40
Pl. 5/2 I-C-10a
I/II bonitet
G = 33,8 m2
20
II normala
fiziol. zrelost
G = 37,3 m2
0
0
50
100
cm
Grafikon 1. Fraktalna dimenzija distribucija prsnih promjera trajnih ploha i normala Klepca
N
160
Pl. 5/3 I-C-10a
II/III bonitet
G = 31,4 m2
140
120
Pl. 6 I-C-11
II/III bonitet
G = 33,9 m2
100
Pl. 7. I-C-50
III bonitet
G = 19,0 m2
80
Pl. 8. I-C-10b
II/III bonitet
G = 10.8 m2
60
Pl. 9. I-C-10b
I bonitet
G = 13.0 m2
40
O.72 I-C-10a
II/III bonitet
G = 25,8 m2
20
EGT: I-C-10a
G = 32.1 m2
0
0
20
40
60
80
100 cm
Grafikon 2. Fraktalna dimenzija prsnih promjera trajnih ploha, distribucije prsnih promjera
u odjelu 72 gospodarske jedinice Lividraga i normala ekološko-gospodarskih tipova
4
CILJ ISTRAŽIVANJA
Istražiti dinamiku sušenja i propadanja jelovih šuma na trajnim plohama Šumarskog instituta,
Jastrebarsko.
Istražiti i objasniti čudne distribucije prsnih promjera na trajnim plohama i odjelu 72
gospodarske jedinice Lividraga.
Istražiti dinamiku i oscilacije debljinskog prirasta prema stupnjevima oštećenja za periode 1960.
– 1969., 1969. – 1978., 1978. – 1987. godinu i debljinskog prirasta jele sadašnjeg stanja za period
1994. – 2003. godinu uređajnog razreda jele i bukve.
Istražiti dinamiku pomaka visinskih krivulja unutar debljinskih razreda sužene debljinske
strukture.
Teorijom kaosa i novom matematikom kaosa osvijetliti problem sušenja i objasniti čudne
distribucije prsnih promjera u jelovim šumama.
METODA RADA
Mjerenja na trajnim plohama obavljena su prema metodologiji istraživanja rasta i razvoja,
gospodarskih oblika te produkcija sastojina kao komponente: „Istraživanja tipova šuma i šumskih
staništa“ (Cestar, 1966). Praćenje intenziteta oštećenja krošanja jele obavljeno je na primjernim
prugama na trajno obrojčanim stablima. Primijenjena je metoda po kojoj su određena četiri stupnja
oštećenja.
1.
slabo oštećena ili neoštećena stabla, kojima je opadanje iglica obuhvatilo manje od
30% krošnje.
2.
srednje oštećena stabla, kojima je opadanje iglica zahvatilo 31 – 60% krošnje.
3.
jako oštećena stabla, kojima je opadanje iglica zahvatilo više od 60% krošnje.
4.
suha stabla.
Godine 1985. u okviru Konvencije UN i Europske komisije o prekograničnom onečišćenju
(CLRTAP) osnovan je Međunarodni program za procjenu i motrenje utjecaja zračnog onečišćenja na
šume, skraćeno (ICP Forests). Procjena se obavlja prema jedinstvenoj metodi propisanoj od ICP
Forests. Opažanje se obavlja na bioindikacijskim plohama iz mreže 16 x 16 km, jednake međusobne
udaljenosti. Na svakoj plohi ocjenjuje se 24 stabala, osutost krošnje, gubitak boje asimilacijskih organa
te lako prepoznatljivi (biotski i abiotski) uzroci štete (Roša, 2001). Najvažniji parametar procjene
oštećenosti je osutost (defolijacija) asimilacijskih organa. Procjena se obavlja u 5 klasa.
0
nema
0 – 10%
1
mala
> 10 – 25%
2
umjerena
> 25 – 60%
3
jaka
> 60 – 99%
4
mrtva stabla
100%
Značajno oštećenim stablima smatraju se stabla osutosti krošnje iznad 25% (oštećenje 2+3+4).
U Tablici 2. prikazani su rezultati procjene oštećenosti jelovih krošanja na trajnim pokusnim
plohama tijekom 1968 – 1989. godine, rezultati procjene stupnja osutosti jele odjela za ekologiju,
Uprave šuma podružnica Delnice u 2003. godini i rezultati procjene u 2005. i 2010. godini
Nacionalnog koordinacijskog centra za procjenu i motrenje utjecaja atmosferskog onečišćenja i drugih
čimbenika na druge šumske ekosustave (Potočić et al., 2010).
Trend propadanja jele obične (Abies alba Mill.) na području Gorskog kotara i Like s 54 % u
1989. godini povećava se na 77 % u 2003. godini. Taj trend se pogoršao u 2005. godini s time kako je
broj zdravih stabala spao na samo 1 %, a značajna osutost 2, 3 i 4 se povećala na 89%. Osutost 66% u
2010. godini pokazuje pad i oscilacije osutosti tijekom vremena.
5
Tablica. 2. Procjena osutosti krošnje jele tijekom 1968-1987., 1989., 2003., 2005. i 2010. godine
Godina opažanja
1968
1969
1972
1987
1989
2003
2005
2010
0
Slabo
1
24
7
1
12
23
27
42
34
22
16
10
22
Osutost
srednje
2
%
54
33
40
41
42
72
69
49
jako
3+4
2+3+4
23
40
18
25
12
5
20
17
77
73
58
66
54
77
88
66
STANJE RASTA I PRIRASTA JELE
Na trajnim pokusnim plohama na obrojčanim stablima, metodom izvrtaka izmjeren je 1987.
godine debljinski prirast jele zadnjih 10, 20 i 30 godina. Izvrtci su razvrstani u tri grupe prema stupnju
oštećenja. Najpovoljnija linija izjednačenja debljinskog prirasta za raznodobne šume je parabola.
Za razdoblje mjerenja (1978. – 1987.) godine, te dužine predzadnjih 10 godina (1969. – 1978.)
utvrđene su razlike i oscilacije tečajnog godišnjeg debljinskog prirasta jele (graf. 1.). Uočen je pad
debljinskog prirasta za razdoblje mjerenja 1978. – 1987. godine u odnosu na razdoblja mjerenja 1969.
– 1978. godinu. Na grafičkom prikazu (graf. 1) razvidne su signifikantne razlike debljinskog prirasta
po stupnjevima oštećenja za razdoblje mjerenja 1969. – 1978. godine i razdoblje 1978. – 1987.
godinu. Za period mjerenja 1960. – 1969. godinu nije bilo signifikantnih razlika po stupnjevima
oštećenja.
id mm
8
slabo
ošteć.
1978-1987
7
srednje
ošteć.
1978-1987
6
jako ošteć.
1978-1987
5
slabo oštć.
1969-1978
4
3
srednje
ošt. 19691978
2
jako ošteć.
1969-1978
1
G. j.
Lividraga
1992-2003
12
,5
17
,5
22
,5
27
,5
32
,5
37
,5
42
,5
47
,5
52
,5
57
,5
62
,5
67
,5
72
,5
77
,5
82
,5
0
d cm
Grafikon 3. Oscilacije i odnos razvojnog tijeka debljinskog prirasta jele prema oštećenjima
za razdoblje mjerenja 1969. – 1978., 1978. – 1987. i 1994. – 2003. godinu
6
Debljinski prirast uređajnog razreda jele u gospodarskoj jedinici Lividraga prati trend srednje
oštećenih stabala za 1969. – 1978. godinu, ali i pokazuje neku čudnu oscilirajuću krivulju
(trajektoriju). Debljinski prirast jele u gospodarskoj jedinici Lividraga pokazuje krajnje kaotičnu
strukturu. Do cca 30 centimetara prsnog promjera, debljinski prirast je podjednak za srednje oštećena
stabla iz 1978. – 1987. godine, od 30 cm do 70 cm pokazuje oscilacije debljinskog prirasta, kaskade u
tri ciklusa, ali i trend prirasta iz 1969. – 1978. godine, a poslije 70 cm prsnog promjera pokazuje nagli
porast prirasta. To su obično najdeblja stabla u stabilnom i ravnotežnom stanju.
id mm
40
Jela
izmjerene
visine
35
30
Izravnato
Mihajlov
25
deb. razred
10 - 30 cm
20
15
deb. razred
31 - 50 cm
10
deb. razred
51 <
5
82,5
77,5
72,5
67,5
62,5
57,5
52,5
47,5
42,5
37,5
32,5
27,5
22,5
17,5
12,5
0
d cm
Grafikon 4.: Razvojni tijek visinskih krivulja jele uređajnog razreda sjemenjače jele i bukve
Visinske krivulje raznodobnih sastojina su stalne i nepromjenjive. Razvojni tijek izmjerenih
visina jele za uređajni razred sjemenjača jele i bukve gospodarske jedinice Lividraga prikazan je na
grafičkom prikazu (graf. 4.) Izmjerene visine izravnate su jednadžbom Mihajlova:
(1)
h = b0 e – b1/x + 1.3
Prvo sam izravnao izmjerene visine za uređajni razred kao cjelinu, a potom izmjerene visine u tri
debljinska razreda. Očigledna su odstupanja izmjerenih visina jele u pojedinim debljinskim razredima
od izravnatih za uređajni razred kao cjelinu. Visinske krivulje jele uređajnog razreda sjemenjače jele i
bukve imaju pomak po debljinskim razredima analogan pomaku visinskih krivulja regularnih šuma
(graf. 4). Svaki debljinski razred (dinamički sustav) u jelovim šumama ima svoju visinsku krivulju što
će reći tarifu.
7
LOGISTIČKO PRESLIKAVANJE
Logističkim preslikavanjem populacijskom jednadžbom:
xn+1 = r xn (1-xn)
(2)
numeričkom i grafičkom metodom objašnjavam kako period tri vodi šume u kaos.
Funkciju je osmislio 1845. godine belgijski matematičar P. F. Verhulst. U populacijskoj
jednadžbi Verhulst je našao kompromis između realnosti i jednostavnosti, osmislivši funkciju koja
utjelovljuje razdoblja obilja, prekomjernost populacije i izumiranje. Kasnije su tu jednadžbu
proučavali Robert May, James Yorke i Mitchell Feigenbaum. Populacijska jednadžba, kasnije je dobila
standardni naziv logistička jednadžba. Važno je napomenuti za tu jednadžbu kako je xn omjer
populacije u n-toj godini i maksimalne populacije koja je sposobna preživjeti. Član (1-xn) je
ograničavajući faktor, koji sprječava nezgodne posljedice koje ima linearni oblik funkcije, a
funkcionira na jednostavan način: kada je xn malen, (1-xn) je velik, i obrnuto, pa njihov umnožak
nikada ne ide u krajnost. Biološki gledano, to znači da je brojnost populacije jedne godine
proporcionalna brojnosti populacije prošle godine xn i raspoloživoj hrani, životnom prostoru i ostalim
životnim uvjetima (1-xn ). Posljedica toga je kako se xn u bilo kojoj iteraciji uvijek zadržava u intervalu
( 0, 1 ). Kontrolni parametar r odabire se u intervalu ( 0, 4 ).
Ta struktura može se objasniti ako iteriramo (ponavljamo) logističku jednadžbu (2) i prikažemo
je grafički unutar x u rasponu (0,1) i funkcije f(x) = x t.j. simetrale prvog i trećeg kvadranta, (Internet:
http://www.inet.hr/~ivnakic/kaos/2-3-7-1-Graf_funkcije.htm, 2006). Na grafikonu 5. s kontrolnim
parametrom r = 1 vidimo krivulju tipičnu za regularnu (periodičnu) strukturu koja sječe simetralu,
funkciju f(x), samo u jednoj točki, u ishodištu (0,0), i to je atraktor perioda 1. Za parametar r = 2,
krivulja siječe simetralu u (1/2,1/2) i u ishodištu. Atraktor perioda 2 nalazi se u 1/2, a vrijednost
odbijanja u 0. Za kontrolni period r = 2.5 sjecište krivulje i simetrale je u (3/5,3/5), i u (0,0), pa je i
atraktor u 3/5.
Logističkim preslikavanjem dobivamo prikaz kako se krivulje sijeku u jednoj točki (bez
ishodišta). Međutim, to ništa ne govori o periodu dva, ili tri. Zato moramo zanemariti kako je iteriranje
isključivo numerička metoda, i iscrtati funkciju:
f 2(x) = f (rx(1-x)) = r [rx (1-x)] [1-rx (1-x)]
(3)
dakle funkciju druge iteracije, zajedno sa f(x) = x, dobivamo krivulje prikazane na grafikonu 6.
1
y
1
0,9
period 2.5
prva iteracija
0,8
y
0,9
period 3.4
druga iteracija
0,8
0,7
period 2
prva iteracija
0,6
0,7
period 3
druga iteracija
0,6
0,5
0,5
0,4
period 1
prva iteracija
0,3
0,4
period. 2.5
druga iteracija
0,3
0,2
0,2
f(x)=x
0,1
f(x)=x
0,1
0
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
x
Grafikon 5. Atraktori prve iteracije
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
x
Grafikon 6. Atraktori druge iteracije
Na tom grafičkom prikazu vidimo kako za r = 2.5 krivulja sječe simetralu u (3/5, 3/5), kao i na
prethodnom grafičkom prikazu, samo što u području perioda dva 3/5 nije atraktor, već vrijednost
odbijanja, pa je to sjecište zapravo ostatak atraktora perioda jedan. Drugih sjecišta nema, što dovodi do
zaključka da za r = 2.5 ne postoji atraktor perioda 2. Za r = 3 događa se prva bifurkacija, krivulja se
toliko iskrivljuje u odnosu na prethodnu da simetrala f(x) = x postaje tangenta na logističku krivulju u
8
točki sjecišta (2/3, 2/3), što očigledno ukazuje na to kako će, ako se krivulja još malo iskrivi, taj pravac
sječi simetralu u tri točke. Što znači kako je po definiciji stabilnosti ( f 2)'(2/3)=1, iz čega proizlazi da
je to neutralna vrijednost, vrijednost u kojoj se izmjenjuje stabilnost, odnosno vrijednost prve
bifurkacije. Za r = 3.4, simetrala stvarno sječe krivulju u tri točke. Središnja od tih točaka je nestabilna
vrijednost odbijanja 12/17, a ostale dvije su atraktori perioda 2, koji iznose 0.433 i 0.843.
Na grafičkom prikazu, (graf. 7.), za r =3 prikazane su krivulje prve, druge i treće iteracije. Kod
treće iteracije dolazi do druge bifurkacije. Krivulje prve i treće iteracije sijeku drugu u istoj točki gdje
krivulja druge iteracije tangira simetralu prvog i trećeg kvadranta, a na lijevoj strani u istoj točki sijeku
simetralu drugog i četvrtog kvadranta. Tu su vrijednosti u kojoj se izmjenjuje stabilnost, odnosno
vrijednosti druge bifurkacije. Ova podvostručavanja (grananje) perioda poznata su kao kaskada
podvostručenja perioda 3 i vode u kaos.
y
1
Kaos perioda tri
prva iteracija
0,9
0,8
Kaos perioda tri
druga iteracija
0,7
0,6
Kaos perioda tri
treća iteracija
0,5
f(x)=x
0,4
0,3
f(x)=1-x
0,2
Fazna ravnina
0,1
0
0
0,5
1
x
Grafikon 7. Kaos perioda tri u tri iteracije
Na grafičkom prikazu (graf. 7.), lijeva i desna točka dijeli os x na tri jednaka dijela (1/3, 1/3,
1/3). Fazna ravnina tih presjecišta tvore fraktalan skup koji je prepoznatljiv kao Cantorov skup.
Cantorov skup sadrži dvije kopije samoga sebe umanjene na trećinu. Ako izbacimo središnji dio
između dva presjecišta, dijelovi simetrala u središtu i fazna ravnina čine trokut. Ako svakoj dužini
trokuta izbacimo srednju trećinu i zamijenimo dvjema dužinama iste duljine te taj postupak
ponavljamo u beskonačnost dobivamo Kochovu krivulju ili krivulju snježne pahuljice (LesmoirGordon et al. 2000), (Lopac, 2003).
LEVAKOVIĆEVA FUNKCIJA SASTOJINSKE STRUKTURE
Levaković u svom radu „O analitičkom izražavanju sastojinske strukture“ (Levaković, 1948)
relativnu raspodjelu učestalosti broja stabala po debljinskim stupnjevima analitički je prikazao
funkcijom:
Y = K d c1 (1 – d) c2
(4)
Analitički izraz Levakovićeve funkcije koju su testirali Hren i Kovačić (Kovačić i Hren, 1984)
omogućuje praćenje razvoja karakterističnih vrijednosti sastojinske debljinske strukture. Funkcija s
parametrima c1 i c2 primjenjuje se samo na jednomodelne šumske sastojine, regularne s jednom
kulminacijom. Parametar c2 s vrijednošću oko 3 daje lijevu asimetriju distribucije prsnih promjera kao
9
i distribucija kod druge i treće iteracije logističke jednadžbe, a razvidno u prvom kvadrantu grafičkog
prikaza, (graf. 7.) Lijeva asimetrija distribucije prsnih promjera indicira mlade i vitalne sastojine, kao
što su to prve lijeve distribucije na plohama 1, 2, 3, 7 i 8. Parametar c1 s vrijednošću oko 3 daje desnu
asimetriju distribucije prsnih promjera kao i distribucija kod druge i treće iteracije logističke
jednadžbe, razvidno u trećem kvadrantu grafičkog prikaza, a prepoznatljivo na desno asimetričnim
distribucijama ploha 5/1, 5/2 i 6. Desna asimetrija distribucije prsnih promjera indicira stare i prezrele
sastojine. Kada su parametri c1 i c2 podjednaki s vrijednošću 2.7, distribucije postaju simetrične,
periodične, odnosno regularne. Takve distribucije nalazimo u srednjoj trećini kod prve i treće iteracije
perioda tri, a vidljive u grafičkom prikazu (graf. 7.) Stabilne, regularne distribucije nalaze se
fragmentalno i na trajnim plohama, 2, 3 i 9. Sve distribucije prsnih promjera na trajnim plohama su
višemodelne što znači kako u njima nalazimo po tri i više nelinearnih dinamičkih sustava.
BIFURKACIJE U DEBLJINSKOJ STRUKTURI JELE
Izmjerom stabala jele tijekom 1987 godine dobivene su neke čudne oscilirajuće distribucije
prsnih promjera za koje do danas nisu nađena objašnjenja. Čudne distribucije broja stabala na trajnim
plohama s trajektorijama koje se nisu podudarale s Liocourtovom krivuljom geometrijske progresije
spremio sam u ladicu. Danas, Teorijom determinističkog kaosa otvorio se prozor razumijevanja, kako
bi se objasnile mnoge pojave u prirodi. Izvadio sam iz ladice izmjerene podatke debljinskih
distribucija trajnih ploha te ih logistički preslikao.
Približno Liocourtovoj krivulji u normalama nalazimo samo na plohi 7., ali naziru se i
bifurkacije u debljinskim stupnjevima oko 30 cm i 50 cm. Na plohi 7. značajno je bilo oštećeno 28%
stabala jele.
N
160
Pl. 2 I-C-10b
II/III bonitet
G = 23,9 m2
140
120
Pl.4 I-C-10b
I/II bonitet
G = 26.1 m2
100
Pl. 6 I-C-11
II/III bonitet
G = 33,9 m2
80
Pl. 7. I-C-50
III bonitet
G = 19,0 m2
60
Pl. 8. I-C-10b
II/III bonitet
G = 10.8 m2
40
Pl. 9. I-C-10b
I bonitet
G = 13.0 m2
20
O.72 I-C-10a
II/III bonitet
G = 25,8 m2
0
0
20
40
60
80
100 cm
Grafikon 8. Fraktalna dimenzija distribucija prsnih promjera na trajnim plohama
10
Nove nelinearne dinamičke sustave nalazimo na svim trajnim plohama. Mlade sastojine na
lijevoj strani grafičkog prikaza (graf. 8) su početni uvjeti, razvidno bifurkacijama perioda tri treće
iteracije (graf. 7.). Vremenski period oko prve kulminacije prirasta su početni uvjeti o kojima ovisi
daljnji razvoj događanja u šumi. Početni uvjeti ključni su za kaos, a poznati su kao učinak leptira
(butterfly effect).
Na plohi 2. i 4. nalazimo četiri nelinearna dinamička sustava. Značajno oštećenih stabala na
plohi 2. bilo je 91%, a 77% stabala jele na plohi 4..
Na plohi 6. vidimo dinamički sustav nestabilnog i kaotičnog stanja oko debljinskog razreda 3050 cm, razvidno prvoj i trećoj iteraciji perioda tri (graf 7.). Značajno je oštetećeno 95% stabala jele.
Na plohi 8. nalazimo tri nelinearna dinamička sustava, početni uvjeti i bifurkacija perioda tri u
trećoj iteraciji. Značajno je oštetećeno 65% stabala jele.
Na plohi 9. u prašumi Čorkove uvale distribucija stabala ima široku varijacionu širinu, ali nazire
se više dinamičkih sustava. Značajno oštetećenih stabala jele bilo je najmanje, 20%.
Nelinearne dinamičke sustave nalazimo i u odjelu 72 gospodarske jedinice Lividraga. s
bifurkacijom u prsnim promjerima oko 50 cm. Razvidno drugoj iteraciji perioda tri (graf. 7) Značajno
je oštetećeno 77% stabala jele. Kaskade debljinskog prirasta (graf. 4) za uređajni razred jele ukazuju na
pojavu, kako svaki dinamički sustav ima svoju brzinu rasta i svoju tarifu, što će reći kako svaki
regularni dinamički sustav ima i svoj volumni prirast.
Slične pojave nalazimo i na plohama 5/1, 5/2 i 5/3. sa značajnim oštećenjima 43%, 55% i 72%.
Nastojanje šumarskih znanstvenika i šumara kako bi se postigla idealna Liocourtova krivulja u
tri debljinska razreda izazvala je rezonanciju 1 : 3. U većini sastojina formirale su se distribucije prsnih
promjera s rasponom starosti oko 50 godina u tri debljinska razreda.
Bifurkacije s nestabilnim stanjem vidljive su na trajnim plohama 4, 5/1, 5/2, 5/3, 8, 9 i u odjelu
72. Šume obiluju bifurkacijama. Sušenje jele pedesetih godina prošlog stoljeća u srednje debelim
stablima (Tomaševski, 1958) ukazuju na bifurkaciju. Srednje debela stabla bila su prag nestabilnosti
kada su spontano nastali oblici reda, novi dinamički sustavi.
N; h m;
10 x id mm
80
70
60
N debljinska.
struktura
72 odjel
g.j. Lividraga
Debljinski
prirast
10 x id mm
50
40
30
visine h m
deb. razred
10 - 30 cm
visine h m
deb. razred
31 - 50 cm
20
10
0
12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 37,5 42,5 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 72,5 77,5 82,5
visine h m
deb. razred
51 <
d cm
Grafikon 9. Bifurkacije u debljinskoj strukturi, pomak visina i kaskade debljinskog prirasta
11
Razvidna je fraktalna dimenzija na grafičkom prikazu (graf. 8.), Sličnost ponašanja krivulje
druge iteracije i distribucije prsnih promjera u odjelu 72 je očigledna. Očigledne su tri bifurkacije s
nestabilnim stanjem oko 22.5 cm, oko 32.5 cm i oko 47.5 cm prsnog pomjera što je vidljivo na
grafičkom prikazu (graf. 3.). Ovakve kaskade bifurkacija perioda tri i više nalazimo manje više na
svim trajnim plohama. Regularnu (periodičnu) strukturu prsnih promjera do 22.5. cm, nalazimo na
svim trajnim plohama uključujući i u odjelu 72, gdje su stabla mlada i vitalna, a osutost je najmanja.
Odnos debljinske strukture broja stabala, debljinskog prirasta i pomak razvojnog tijeka visina
UR sjemenjače jele gospodarske jedinice Lividraga prikazan je na grafikonu 9. Razvidne su bifurkacije
u tri debljinska razreda. Kaskade distribucije broja stabala i kaskade debljinskog prirasta. Četiri
nelinearna dinamička sustava, svaki sa svojim debljinskim prirastom i svojom visinskom krivuljom,
odnosno tarifom. Lijeva distribucija broja stabala do 22.5 debljinskog stupnja je mlada sastojina. Tu su
početni uvjeti o kojima ovisi daljnji razvoj događanja u kaotičnoj debljinskoj strukturi jele obične.
Distribucija prsnih promjera jele na trajnim plohama i u odjelu 72 gospodarske jedinice
Lividraga za debljinske stupnjeve između 30 cm i 50 cm pokazuje bifurkaciju s periodom tri, a
debljinski prirast pokazuje oscilacije s ciklusom perioda tri.
KAOTIČNE SPOZNAJE
Teorija relativnosti, kvantna teorija i teorija determinističkog kaosa obilježila je proteklo 20.
stoljeće. Deterministički kaos je znanost budućnosti, koji će omogućiti onaj mentalni pomak koji je
potreban da ljudi shvate u kojoj mjeri je priroda deterministički sustav, podobna za iskorišćivanje, a u
kojoj mjeri je ćudljiva i nepredvidljiva.
Šuma je kaotični nelinearni dinamički sustav. Dinamički sustav je pravilo koje opisuje promjenu
stanja u nekom prostoru u ovisnosti o vremenu. Prostor može biti običan koordinatni sustav, ali isto
tako može biti kompleksna konfiguracija promatranog ekosustava u kojem se šuma nalazi. Dinamika je
pravilo kako od sadašnjeg stanja doći na sljedeće. Pravilo koje opisuje promjenu stanja sustava kroz
vrijeme je determinističko.
Karakteristična osobina sustava što ih proučava kaos je nestabilno, neperiodično gibanje. Vrlo
jednostavni, strogo definirani, matematički modeli mogu pokazivati zastrašujuće složeno ponašanje.
Karakteristična značajka kaotičnih sustava je njihova osjetljiva ovisnost o početnim uvjetima.
Infinitezimalno male promjene na početku mogu dovesti do velikih promjena na kraju. To se ponašanje
opisuje kao obilježje kaosa. Proučavanjima kaosa i njegovih učinaka otkrilo se kako sustavi mogu
prelaziti iz kaotičnih u regularne i obrnuto. Sve iznenadne promjene ponašanja uslijed malih promjena
u okolnostima su bifurkacije (grananje). Bifurkacije su opće prirodno načelo. Nelinearni sustavi koje
proučava teorija kaosa su kompleksni sustavi u smislu kako vrlo mnogo nezavisnih varijabli
međudjeluju jedna s drugom na bezbroj načina. Ti kompleksni sustavi imaju sposobnost
uravnoteživanja reda i kaosa. Točka ravnoteže nazvana je rubom kaosa, gdje je sustav u nekoj vrsti
pritajena očekivanja između stabilnosti i kolapsa.
Deterministički kaos, nova je znanost koja interdisciplinarno obuhvaća tradicionalne znanstvene
discipline povezujući različite pojave i otvara nove vidike determinizma događanja u prirodi. Kaos je
ne samo teorija već metoda kako objasniti pojave u prirodi. Kaos je stvorio novu vrstu fiziologije,
temeljenu na zamisli kako matematička sredstva mogu pomoći znanstvenicima u razumijevanju
kompleksnih sustava. Kaos i kompleksnost treba zajedno čitati kao kaotičnost. Kaotičnost se može
upotrijebiti kako bi se stvorio okvir unutar kojeg se mogu nalaziti nova rješenja za probleme, istodobno
kako se istražuju načini razmišljanja.
Kaotični sustavi nisu u svim mogućim stanjima kaotični, već kako, osim pravilnosti u kaosu,
postoje i potpuno pravilna, periodična stanja, u kojima ne vlada kaos. Što će reći, definicija ne govori
kako teorija kaosa proučava samo kaotična stanja dinamičnih sustava, nego sva stanja sustava koji
mogu u određenim uvjetima biti i kaotični.
Nestabilno ponašanje je ono kod kojeg je za prijelaz između periodičkog i neperiodičnog,
potrebna vrlo mala promjena u sustavu što uključuje vrlo značajnu osjetljivost o početnim uvjetima.
12
Nadalje, neperiodično ponašanje označava kako nijedan parametar sustava ne prolazi kroz periodičke
promjene vlastitih vrijednosti, tj. kako se niti jedno stanje sustava ne ponavlja u potpunosti.
Bilo koja cjelina koja se mijenja tijekom vremena naziva se sustav. Složeni sustavi, općenito,
iskazuju osobinu koju matematičari nazivaju atraktorima. Atraktori predstavljaju stanja u kojima se
sustav napokon ustali, ovisno o svojstvima samog sustava. Atraktor je dio faznog prostora kojemu se
svaka točka koja je započela gibanje blizu njega sve više približava. Kako prolazi vrijeme bliska
područja se stežu prema stablu. Svako stablo u šumi ima svoju matematičku strukturu, atraktor kojem
teži. Volumen stabla i njegova novčana vrijednost drvnih sortimenata teže svom atraktoru. Postoji
posebna kategorija atraktora poznati kao kaotični ili čudni atraktori. Čudni atraktori žive u matematički
konstruiranom prostoru poznatom kao fazni prostor. Fazni prostor je imaginarni prostor u kojem se
brojevi mogu pretvoriti u slike. Najčuveniji čudni atraktor je Lorenzov atraktor, koji je povezan s
učinkom leptira. Leptirov učinak (butterfly effect) ističe tvrdnju kako su početni uvjeti i male smetnje
vrlo važni za kaos. U rastenju šuma to je vremenski period oko prvih kulminacija prirasta.
Nelinearni sustav je onaj sustav čiji je model opisan nelinearnim jednadžbama. Nelinearnost
zakona koji vladaju sustavom preduvjet je za nastanak determinističkog kaosa u njemu, kao i ostalih
pojava vezanih za kaos.
Kaotični sustavi su sustavi kojima se bavi teorija kaosa. Europski znanstvenici George Anderla,
Anthony Dunning i Simon Forge su predložili kako kaos i kompleksnost treba zajedno čitati kao
kaotičnost. Kaotičnost se može upotrijebiti kako bi se stvorio okvir unutar kojeg se mogu nalaziti
nova rješenja za probleme, istodobno kako se istražuju novi načini razmišljanja.
Kompleksnost i kaos izazov su duboko usađenim uvjerenjima o uzroku i posljedici koje možemo
nazvati očuvanjem kompleksnosti. Kompleksni sustavi imaju sposobnost uravnoteživanja reda i kaosa.
Otkriće kaosa proistječe iz nelinearnih međudjelovanja malog broja jednostavnih komponenata. Teorija
kompleksnosti naglašava suprotno, kako se međudjelovanja visoke složenosti, koja djeluju u sustavima
sastavljenima od mnoštva individualnih elemenata, često udružuju, kako bi stvorila, u velikom mjerilu,
jednostavne uzorke – emergentne fenomene (Stewart, 1996.).
Matematičar James York sa Sveučilišta u Marylandu, zaslužan je za tvorbu imena kaos. Izraz je
prvi put upotrijebljen u njegovom često citiranom članku s neobičnim naslovom „Period tri ukazuje na
kaos“. Što je to period tri? Ako se u bilo kojem jednodimenzionalnom sustavu ikad pojavi regularni
ciklus perioda tri, taj će sustav pokazivati pravilne cikluse svakog drugog trajanja, a isto tako i cikluse
koji su potpuno kaotični. Yorke je pokazao kako je nemoguće postaviti sustav koji će se ponavljati u
oscilaciji s periodom tri, a da pritom ne stvori kaos (Sardar & Abrams, 1998). To je vrlo važna i
neobična spoznaja.
Robert May (r. 1938), engleski fizičar, matematičar i biolog otkrio je kako su jednadžbe kojima
se opisuju fluktuacije u životinjskim populacijama složene. Pri višim vrijednostima parametara
populacija počinje oscilirati između dviju izmjeničnih vrijednosti. Matematički model kojim se služio
kako bi opisao populaciju je populacijska jednadžba, u kojoj je simbol x predstavljao sadašnju
populaciju neke vrste u nekom području. Kad je parametar r (brzina rasta) bio 2.7 našao je kako je
populacija 0.629. Kako je parametar r rastao i konačna je populacija rasla. Iznenada, kad je parametar
prešao vrijednost tri, populacija se raspala u dvije. Taj je rascjep značio kako je populacija prešla iz
jednogodišnjeg u dvogodišnji period. Kako je parametar dalje rastao, broj se točaka uvijek nanovo
podvostručavao. Ponašanje je bilo kompleksno, a opet pravilno. A opet, usred kaosa, nakon daljnjeg
povećanja parametara, stabilni su se periodi vratili. Njegovo je djelo potvrdilo zamisao kako biološkim
sustavima upravljaju nelinearni mehanizmi.
Obilježje kaosa je fraktalni atraktor, a fraktali su uzorci kaosa. Robert May, Mitchel Feigenbaum
i A. N. Sarkovski pokazali su kako se za određene vrijednosti kontrolnog perioda r u sustavu nikada
neće uspostaviti ravnoteža.
Normalne frekvencijske krivulje broja stabala za jelu akademika Klepca za sve bonitetne razrede
prikazane su od 20-tog debljinskog stupnja (Klepac, 1961), što će reći kako su zanemareni početni
13
uvjeti. Problem je akademik Klepac riješio prilivom, brojem jedinki pomladka koji uraste u debljinsku
strukturu.
ZAKLJUČAK
Šume su kaotični nelinearni dinamički sustavi. Dinamički sustavi koji se mijenjaju po određenim
pravilima koje diktiraju zakoni prirode.
Distribucije prsnih promjera na trajnim plohama i u odjelu 72 gospodarske jedinice Lividraga
pokazuju neke čudne trajektorije koje se razlikuju od normala akademika Klepca i tipoloških normala
Cestara.
Signifikantne su razlike debljinskog prirasta na trajnim plohama po stupnjevima oštećenja za
period 1969. – 1978. i period 1978. – 1987. godinu.
Izmjeren debljinski prirast po stupnjevima oštećenja na trajnim plohama za period 1978. – 1987.
godinu niži je od perioda mjerenja 1969. – 1978. godine.
Izmjeren debljinski prirast u gospodarskoj jedinici Lividraga za period 1994. – 2003. godinu na
nivou uređajnog razreda pokazuje oscilacije i trend debljinskog prirasta srednje oštećenih stabala za
period 1969. – 1978. godinu.
Izravnate visine Mihajlovom funkcijom uređajnog razreda u gospodarskoj jedinici Lividraga
pokazuju znatne razlike u odnosu na izmjerene visine u debljinskim razredima sužene debljinske
strukture.
Razvidan je pomak visinskih krivulja po debljinskim razredima i inverzija visinskih krivulja
trećeg debljinskog razreda.
Sadašnjim načinom obrade i obračunom podataka dendrometrijske izmjere na nivou uređajnog
razreda dobivaju se prosjeci koji su neupotrebljivi za svako planiranje u prostoru i vremenu.
Sužena debljinska struktura u tri debljinska razreda i zapostavljanje starosti jele bili su početni
uvjeti koji su doveli do nelinearno povratnog učinka, stanja u kojem je čak 77% stabala značajno
oštećeno.
Početni uvjeti i nelinearni povratni učinak glavni je čimbenik fraktalne dimenzije distribucija
prsnih promjera jelovih sastojina. Teorijom determinističkog kaosa osvjetljavam čudne trajektorije
distribucije na trajnim plohama.
Determinističkim kaosom mogu se objasniti mnoge pojave u šumi, a koje se dosada nisu mogle
objasniti linearnim modelom istraživanja.
Nelinearni dinamički pristup jedina je alternativa održivom razvoju šuma. Samo iskorak iz
krutog linearnog sustava u nelinearni dinamički sustav osigurava potrajno gospodarenje jelovim
šumama.
LITERATURA
Androić, M. et all., 1975: Istraživanje uzroka i posljedica sušenja prirodnih jelovih šuma u SR
Hrvatskoj. Rad.Šumar.inst. br. 23., str. 1-163, Zagreb.
Androić, M., Cestar, D., Hren, V., 1975: Zaključne napomene i preporuke za gospodarenje:
Rad.Šumar.inst. br. 23., str. 1-154, Zagreb.
Bezak, K., Krejči V., Vrbek B., 1991: Propadanje jele praćeno promjenama vitalnosti i prirasta šume
bukve i jele od 1969-1990 godine, Rad.Šumar.inst. br.1., Vol. 26:115-128, Zagreb.
Cestar, D., 1974: Razdjeljenje SR Hrvatske na tipološke jedinice. BILTEN br. 5/74. Poslovnog
udruženja šumsko privrednih organizacija, Zagreb.
Cestar, D., 1975: Odnos prirasta i sušenja jele. Rad. Šumar.inst. br. 23, str. 125-130, Zagreb.
Cestar D., Hren V., Kovačević Z., Martinović J., Pelcer Z., 1986: Uputstvo za izradu karte ekološkogospodarskih tipova gorskog područja (I) SR Hrvatske, Radovi br. 4, izvanredno izdanje: 1-125,
Zagreb.
14
Hren, V. 1975: Oblik sastojina i njihov odnos prema sušenju jele. Rad. Šumar.inst. br. 23, str. 96-114,
Zagreb.
Klepac, D., 1961: Novi sistem uređivanja prebornih šuma. Poljoprivredna šumarska komora NR
Hrvatske. str. 1-46, Zagreb.
Klepac, D., 1975: Gubitak prirasta u jelovim šumama koje se suše. Rad. Šumar.inst. br. 23, str. 130139, Zagreb.
Klepac, D., 2001: Rast i prirast obične jele. Monografija: Obična jela u Hrvatskoj. Akademija šumarskih
znanosti: „Hrvatske šume“ p.o. Zagreb, str. 503- 521, Zagreb.
Komlenović, N., Cestar, D. 1981: Istraživanje stanja ishrane obične jele (Abies alba Mill.) u utvrđenim
ekološko-gospodarskim tipovima šuma u SR Hrvatskoj, Radovi br. 45, str.1-37, Zagreb.
Kovačić, Đ., Hren, V., 1984: Normalna raspodjela stabala po debljinskim stupnjevima i dobnim
razredima u ekološko-gospodarskim tipovima II–G–20 i II–G–21. Rad. Šumar. Inst. 61: 1-65,
Zagreb.
Lesmoir-Gordon, N., Rood, W. i Edney, R. 2000: Introducing Fraktal Geometry. prijevod Lopac, V.,
2001: Fraktalna geometrija za početnike. Naklada Jesenski Turk, str. 1-176, Zagreb.
Levaković, A., 1948: O analitičkom izražavanju sastojinske strukture. Glasnik za šumske pokuse, str.
293-366, Zagreb
Lopac, V. 2003: Do kaosa i natrag: putovanje u nepredvidljivost. Naklada Jesenski i Turk. str. 1-75,
Zagreb.
Meštrović, Š., Fabijanić, G. 1995: Priručnik za uređivanje šuma, Ministarstvo poljoprivredu i
šumarstvo. str. 1-416, Zagreb.
Nakić, I., Internet: http://www.inet.hr/~ivnakic/kaos/2-3-7-1-Graf_funkcije.htm
Pleše, B., et al. 2004: Osnova gospodarenja gospodarskom jedinicom „Lividraga“ (2004-2013).
Hrvatske šume d.o.o., Podružnica Delnice, Delnice.
Potočić, N., Seletković, I., Indir, K., Jakovljević, T., 2010: Oštećenost šumskih ekosustava Republike
Hrvatske, izvještaj, Hrvatski šumarski institut, str. 1-48, Jastrebarsko.
Roša, J., 2001: Praćenje šumskih ekosustava, Hrvatske šume, , ISBN 953-6253-19-14, str. 1-76, Zagreb
Sardar, Z., Abrams, I., 1998: Introducing Chaos. Prijevod Lopac, V., 2001: Kaos. Naklada Jesenski
Turk, str. 1-176 str., Zagreb.
Stewart, I. 1996: Does God play dice? Prijevod, Lopac, V., 2003: Kocka li se bog? Nova matematika
kaosa. Naknada Jesenski Turk, str. 1-480, Zagreb.
Tomaševski, S. 1958: U kojim debljinskim razredima i na kojim ekspozicijama dolazi najveći broj
sušaca i izvala kod jele. Šumarski list, Zagreb.
15

Download Report