Karlo Bezak
KAOTIČNE SPOZNAJE,
MULTIDIMENZIJSKO MODELIRANJE DINAMIKE RASTA I
RAZVOJA ŠUME HRASTA LUŽNJAKA (Quercus robur L.)
Zagreb, 2012.
SADRŽAJ
SADRŽAJ .................................................................................................................................... 2
1. UVOD ...................................................................................................................................... 3
2. CILJ ISTRAŽIVANJA ............................................................................................................ 3
3. PODRUČJE ISTRAŽIVANJA I MATERIJAL....................................................................... 4
4. METODA RADA .................................................................................................................... 4
5. ŠUMA ...................................................................................................................................... 4
5.1. Stablo................................................................................................................................ 4
5.2. Sastojina ........................................................................................................................... 5
5.3. Logističko preslikavanje ................................................................................................... 6
5.4. Raspodjela učestalosti broja stabala po debljinskim stupnjevima..................................... 7
5.5. Volumna struktura............................................................................................................. 8
6. RAST I PRIRAST.................................................................................................................... 9
6.1. Rast i prirast stabla ........................................................................................................... 9
6.2. Analiza stabla ................................................................................................................... 9
7. PROBLEM ............................................................................................................................. 11
8. FOTOSINTEZA..................................................................................................................... 13
9. KOMPLEKSNE JEDNADŽBE RASTA I RAZVOJA ŠUMA............................................. 14
10. DENDROGRAMI................................................................................................................ 16
11. KOMPLEKSNI VEKTORSKI PROSTORI RASTA I PRIRASTA ................................... 17
12. NUMERIČKO BONITIRANJE STANIŠTA ...................................................................... 19
13. DISIPATIVNA STRUKTURA ŠUME ............................................................................... 22
14. NELINEARNA DENDROKRONOLOGIJA ...................................................................... 25
15. MULTIDIMENZIJSKO MODELIRANJE DINAMIKE RASTA I RAZVOJA ŠUME..... 27
15.1. Modeliranje optimalne i disipativne strukture debljinskog rasta hrasta lužnjaka ......... 27
15.2. Kompleksni vektorski prostor debljinskog prirasta u disipativnoj strukturi ................. 29
15.3. Kompleksni vektorski prostor rasta i prirasta širina krošanja u disipativnoj strukturi.. 30
15.4. Prirasno-prihodne tablice optimalne i disipativne strukture ......................................... 30
15.5. Primjena multidimenzijskog modeliranja tijekom uređivanja i planiranja etata........... 36
15.6. Novčane vrijednosti drvnih sortimenata hrasta lužnjaka za disipativna stanja ............ 41
16. KAOTIČNE SPOZNAJE..................................................................................................... 45
16.1. Kaotične spoznaje nelinearnih dinamičkih sustava....................................................... 45
16.2. Kaotične spoznaje multidimenzijskog modeliranja sastojina hrasta lužnjaka .............. 48
17. KAOTIČNI ZAKLJUČCI................................................................................................... 50
18. KORIŠTENA LITERATURA I OBJAVLJENI RADOVI................................................. 51
2
1. UVOD
Kvantna fizika, Teorija relativnosti i Deterministički kaos, teorije koje su obilježile
proteklo 20. stoljeće. Nelinearna dinamika, znanost je budućnosti koja će obilježiti 21. stoljeće
(Steven Hawking).
Znanstvenici su smatrali kako je nemoguće pronaći sveobuhvatnu zakonitost rasta i razvoja
šuma. Jamačno utopija. Ja sam je pronašao, uspio sam doći do spoznaje i postaviti jednadžbe
koje preslikavaju rast i razvoj šume u pet dimenzija. Tri su prostorne, četvrta je vrijeme, a peta
dimenzija je brzina. Usput sam osvjetlio problem sušenja šuma. Do spoznaje, došao sam
zahvaljujući radu na projektima tipoloških istraživanja.
Godine 1960. stručnjaci iz Instituta za šumarska istraživanja Zagreb, izradili su program
tipoloških istraživanja u Hrvatskoj. Cilj toga programa bio je utvrditi za prirodne šume u
određenim ekološkim uvjetima njihove potencijalne mogućnosti, uzgojne osobitosti i
vrijednosti. Tipovi šuma utvrđeni su na temelju geološke podloge, vrste tla, šumske zajednice
te uzgojnih karakteristika, proizvodnih mogućnosti i vrijednosti sastojina prirodnih vrsta
drveća. Temeljni cilj tipoloških istraživanja bio je za potrebe uređivanja i gospodarenja
šumama definirati i utvrditi ekološko-gospodarske tipove šuma.
Cijela Hrvatska razdijeljena je na tri područja: I – Dinarsko područje, II – Panonsko
područje i III – Eumediteransko i submediteransko područje. U dinarskom području utvrđeno
je 38 ekološko-gospodarskih tipova šuma, u panonskom 30, a u eumediteranskom i
submediteranskom području 11, ukupno 79 ekološko-gospodarskih tipova šuma. Izrađene su
upute za izradu karte ekološko-gospodarskih tipova gorskog područja I (Cestar i dr. 1986) te
brdskog i nizinskog područja II (Bezak i dr. 1989), a u pripremi su bile upute za područje III.
Premjereno je i interdisciplinarno obrađeno i istraženo oko 3000 primjernih ploha u
najsačuvanijim prirodnim šumama.
U projekte tipoloških istraživanja bio sam uključen 1973. godine. Sa suradnicima izmjerio
sam preko 300000 visina i isto toliko izbušio stabala radi utvrđivanja volumnog prirasta.
Osobno sam obavio oko 1000 totalnih analiza stabala raznih vrsta drveća kako bi proučio
dinamiku njihova rasta i prirasta. Tijekom istraživanja uočio sam pojave za koje nisam našao
objašnjenja u domaćoj ni u svjetskoj znanstvenoj i stručnoj literaturi. Pojave sam odlučio
detaljno proučiti. Kako bi ih objasnio morao sam učiniti iskorak iz područja biotehničkih
znanosti u područje prirodnih znanosti. Izbor modela diferencijalnih jednadžbi bio je
redukcionistički pristup, a povezivanje suptilnih veza univerzalnih konstanata i brojeva s
rastom šume bio je holistički pristup. Bio je to pionirski posao u proučavanju nestabilnog i
neperiodičkog ponašanja šuma u nelinearnim dinamičkim sustavima. Spoznaje o
sveobuhvatnoj zakonitosti rasta i razvoja šuma rezultat su osobne težnje da pojave objasnim
egzaktnim i rješivim jednadžbama.
Poveznica spoznaje bila je Boškovićeva teorija prirodne filozofije, klasična teorija fizike,
teorija relativnosti, kvantna teorija, teorija nelinearnih dinamičkih sustava, teorija disipativnih
struktura, teorija determinističkog kaosa i teorija kompleksnosti. Digresija u sve te teorije bila
je nužna kako bi objasnio pojave u rastu i razvoju šuma.
2. CILJ ISTRAŽIVANJA
Proučiti osnovne principe gibanja u šumama, te ih kvalitativno i kvantitativno numerički
opisati.
Pronaći jednadžbe kojima bi preslikao temeljni fenomen prirode, rast i prirast.
Izraditi prostorno vremenski model rasta i razvoja šuma, model optimalne produkcije
sastojina hrasta lužnjaka (Quercus robur L.) sa svim parametrima razvojnog tijeka sastojinske
strukture.
Spoznajama o sveobuhvatnoj zakonitosti rasta i razvoja šuma izraditi model nelinearnog
dinamičkog sustava uređivanja, gospodarenja i zaštite šuma.
3
3. PODRUČJE ISTRAŽIVANJA I MATERIJAL
Istraživanja zakonitosti debljinskog i visinskog rasta obavljena su u šumi hrasta lužnjaka s
velikom žutilovkom, u njenoj subasocijaciji s rastavljenim šašem (Genisto elate –Quercetum
roboris subass. Caricetosum remotae Horv. 38). Ekološko gospodarski tip II-G-20, model je
šume vlažnog tipa u kojem sam proučavao temeljni fenomen prirode.
Osnovicu mjerenja čini 80 pokusnih ploha na kojima je tijekom 1973. do 1984. godine
izmjerena struktura broja stabala, izmjereno 5125 visina, izbušeno 5920 stabala i izmjereno
oko 500 širina krošanja hrasta lužnjaka. Kako je izmjerom obuhvaćen velik broj podataka
nisam u mogućnosti iznijeti sve rezultate izmjere u ovom radu. Osnovni i taksacijski podaci
istraživanih sastojina nalaze se u disertaciji (Bezak, 1990).
Područje istraživanja bila je i gospodarska jedinica Slavir u Spačvanskom bazenu, ukupne
obrasle površine 8220 ha. Korišteni su rezultati dendrometrijske izmjere redovne revizije
osnove gospodarenja za razdoblje 2004. – 2013 godine, koju je izradio sukladno Pravilniku za
uređivanje šuma („Narodne novine“, broj 141/08) odjel za uređivanje šuma Vinkovci.
Izmjereno je 2590 visina hrasta lužnjaka na I. bonitetu i izbušeno 2180 izvrtaka radi
utvrđivanja volumnog prirasta. Distribucije prsnih promjera gospodarske jedinice Posavske
šume – Sunja (2009. – 2018), Uprave šuma Sisak, koristio sam za dobne razrede II, III i IV (21
– 80 godina) zbog manjih površina u razmjeru dobnih razreda gospodarske jedinice Slavir.
Za dendrokronologiju rasta i prirasta poslužile su mi analize triju najstarijih stabala hrasta
lužnjaka (Quercus robur L.), posječena dovršnom sječom 1997. godine u odjelu 67
gospodarske jedinice Česma. Sva tri stabla rasla su u ekološko-gospodarskom tipu II-G-10 i
bila su stara 150 godina.
4. METODA RADA
U iznalaženju sveobuhvatne zakonitosti rasta i razvoja šuma primijenio sam metodu
zajedničku za sve znanstvenike svijeta, a koja se shematski može prikazati:
opažanja → pojava → predodžba → pojam → formula → pokus
↑
←
↓
Shema se može objasniti pomoću nastanka pojma. Već u ranom djetinjstvu uočili smo prve
pojave. Bacali smo kamenčiće u vodu i divili valovima koji se šire vodenom površinom.
Promatrajući poprečni presjek na trupcima uočili smo karakteristične pojave – koncentrične
krugove, godove. Uočili smo i oscilacije u širini godova. No sve te pojave povezuje nešto
zajedničko. Pojave su vezane uz periodične procese. Periodični procesi izazivaju predodžbe, a
vezano uz predodžbe stvoren je pojam val. Kako bi val učinili jednoznačnim pripisana su mu
četiri parametra: amplituda A, brzina v, valna duljina λ i frekvencija f.
Gibanje je jedno od najsloženijih pojmova u fizici. Predodžbe vezane uz gibanja protežu se
od treperenja lišća, povećanja obujma krošanja, rasta u debljinu, rasta u visinu pa sve do pada
stabla tijekom sječa. Fizički je zakon stalna veza između neke pojave i odgovarajućih veličina, a
koja se može opisati matematičkim simbolima u obliku formule. Pojave, predodžbe i pojmovi
bile su mi osnovna vodilja u istraživanjima temeljnih principa gibanja u rastenju stabla i
šumskih sastojina.
5. ŠUMA
5.1. Stablo
Drvo je živi organizam koji živi u šumskim zajednicama ili izvan njih. Njemu je dano ime
stablo te ističe razliku između drveta i grma. Čine ga trajni nadzemni i podzemni dijelovi.
Nadzemni dijelovi su deblo i krošnja, a podzemni je dio korijen. Prijelazna zona između
4
nadzemnih dijelova i podzemnog dijela je žilište. U svakodnevnom životu pod stablom se
podrazumijeva samo njegov nadzemni dio.
Korjenov sustav fiksira stablo u zemlji, a preko žilišta održava uspravno nad zemljom cijeli
njegov nadzemni dio. Korijen nasljeđuje način i stupanj razvoja, ali je pod velikim utjecajem
fizičkih i kemijskih svojstava zemljišta.
Žilište raznih vrsta drveća različito je razvijeno.
Žilište stabla na osami redovno je izrazitije i voluminoznije nego stabla sastojine.
Deblo se proteže od žilišta do samog vrha stabla. Deblo većine bjelogorice na osami gubi se
redovno već na samom početku krošnje, a deblo stabala sastojine proteže se više manje i u
krošnju. Slično je čunju, valjku, paraboloidu ili neiloidu. Poprečni presjek debla redovno je
pravilan krug ili elipsa. U dendrometriji mjeri se prsni promjer d, dužina debla hd, dužina
krošnje lk i visina stabla h.
Kora je dio stabla koji se nalazi na vanjskoj strani kambija. Tanja je na mladim dijelovima
stabla, a deblja na starijima. Kora na poseban način utječe na vanjski izgled stabla, svojom
bojom i reljefom, zatim debljinom i konzistencijom. Promjeri stabla se iskazuju s korom i bez
kore.
Morfološki elementi drveća su nasljedni i stečeni. Bitni elementi stabla pojedinih vrsta
drveća, dimenzije i oblik žilišta, stupanj uzrasta debla, osnovni oblik krošnje i gustoća krošnje
uglavnom su nasljedni i prilično konstantni, ali zbog djelovanja vanjskih čimbenika može
nastati i velika polimorfnost njihovog vanjskog izgleda. Habitus stabla većine vrsta je
posljedica nasljednih osobina i utjecaja vanjskih čimbenika.
Krošnja je sastavljena od grana i grančica, sa pupovima, lišćem, cvjetovima i plodovima.
Oblik krošnje raznih vrsta drveća je različit i nasljeđuje se. Krošnje crnogoričnih i
bjelogoričnih stabala mogu se prikazati s dva osnovna modela. Krošnja crnogoričnih stabala
uglavnom je oblika stošca, a bjelogoričnih paraboloida. Oblik krošnje ovisi o stajališnom
prostoru stabla kao i o nizu drugih čimbenika. Krošnji se mjeri promjer D i dužina krošnje lk .
5.2. Sastojina
Šuma je zajednica drveća ili dio zemljine površine pokriven množinom drveća. Sastojina je
dio šume koji je po postanku, sastavu i razvoju podjednak. Jedna od osobina sastojine, za
razliku od obične skupine stabala je njihov uzajamni utjecaj jednog stabla na drugo. Treba
istaknuti jednu važnu pojavu koja se odlikuje zakonitošću, koja se nikada ne prekida već se
giba različitim intenzitetom, a to je borba za opstanak. Borba za opstanak vodi do prirodnog
odabiranja, t.j. prirodnog diferenciranja stabala. Proces diferenciranja stabala ostvaruje se sa
najvećom energijom u mladosti. U borbi za prostor jedna skupina stabala postigne dominantan
položaj, a druga potisnut ili prigušen položaj. Sva su stabla u sastojini u svom razvojnom tijeku
na neki način manje više prigušena.
Do danas je razrađeno više klasifikacija stabala u sastojinama, a jedna od najstarijih i
najpoznatijih je Kraftova (Morozov, 1940). Kraftova klasifikacija temelji se na
karakteristikama krošnje. Shema (Slika 1) može se objasniti na atraktoru srednje fenotipskog
modela oblika krošanja hrasta lužnjaka (Quercus robur L.), (Dubravac, 2002).
U strukturi sastojine, stablo SI preslikava najdeblje stablo dmax, SII preslikava gornje
Hoenadlovo stablo d+ ≈ ds + σd, stablo SIII preslikava srednje sastojinsko stablo ds, stablo SIV
preslikava donje Hoenadlovo stablo d– ≈ ds – σd, a SV preslikava najtanje stablo dmin
distribucije prsnih promjera.
Kraftova klasifikacija jedne lužnjakove sastojine na slici (Slika 1.) čini osnovnu pojavu u
šumi, bez koje ne možemo učiniti ni jedan korak u istraživanjima, uređivanju i uzgajanju šuma.
Ta je pojava karakteristična i stalna u svakoj šumi počevši od određene starosti. Drveće, koje
ima jaču unutrašnju energiju rasta prestiže svoje susjede. Pojedina stabla nadmašuju ostale,
osvajaju bolji položaj i počinju ih zasjenjivati. Što više, razlika među njima je sve veća,
pobjednici će se i dalje razvijati oduzimajući sve više i više svjetlosti drugima, a kojima će
uvjeti za život postajati sve teži i teži. Potisnuto stablo oskudijeva u hrani, koju daje zeleno
lišće, a oskudijeva i u hrani iz tla. Razvoj krošnje pogoduje razvoju korijenovog sustava.
5
Korijenov sustav prigušenih stabala razvijat će se mnogo slabije, nego onih dominantnih
stabala. Slabiji razvoj korijenovog sustava utječe na razvoj krošnje. Razvojem događanja u
šumi, prigušena stabla koja imaju ugnjetenu krošnju naći će se ispod svoda krošanja i tijekom
vremena će umrijeti.
SII
SV
SI
SIII
S IV
Slika 1. Kraftova klasifikacija stabala u sastojini
SI – predominantno stablo s izvanredno jako razvijenom ( harmoničnom ) krošnjom,
SII – dominantno stablo s relativno dobro razvijenom ( ravnotežnom ) krošnjom,
SIII – srednje sastojinsko stablo s slabije razvijenom ( periodičnom ) krošnjom,
SIV – prigušeno stablo s jednostranom i ugnjetenom ( neperiodičnom ) krošnjom
SV – prigušeno stablo s ( kaotičnom ) krošnjom koja umire
Dominantna stabla odlikuju se naročitim oblikom krošnje, većim promjerom, većom
visinom i manjom punodrvnošću. Stabla iste starosti potisnutog ili prigušenog položaja imaju
jako deformirane krošnje, znatno slabiji rast, manji promjer, ali veći oblični broj.
Razvojni tijek debljinske strukture zavisno od povećanja prsnih promjera srednjih stabala u
sastojini vrlo je dinamičan proces. Sastojinska debljinska struktura prelazi od jako asimetričnog
oblika s velikom vertikalnom izbočenosti, postepeno s porastom prsnog promjera srednjih
stabala sastojina u sve simetričnije oblike i s nižom vertikalnom izbočenosti. Debljinske
distribucije sastojina u vrijeme prve kulminacije prirasta su jako asimetrične, u vrijeme
minimalnog prirasta su simetrične, a tijekom druge kulminacije debljinskog prirasta prelaze
opet u asimetrične.
5.3. Logističko preslikavanje
Logističkim preslikavanjem populacijskom jednadžbom:
xn+1 = r xn (1-xn)
(1)
numeričkom i grafičkom metodom osvjetljavam regularnu strukturu lužnjakovih sastojina.
Funkciju je osmislio 1845. godine belgijski matematičar P. F. Verhulst. U populacijskoj
jednadžbi Verhulst je našao kompromis između realnosti i jednostavnosti, osmislivši funkciju
koja utjelovljuje razdoblja obilja, prekomjernost populacije i izumiranje. Populacijska
jednadžba, kasnije je dobila standardni naziv logistička jednadžba. Važno je napomenuti za tu
jednadžbu kako je xn omjer populacije u n-toj godini i maksimalne populacije koja je sposobna
preživjeti. Član (1-xn) je ograničavajući faktor, koji sprječava nezgodne posljedice koje ima
6
linearni oblik funkcije, a funkcionira na jednostavan način: kada je xn malen, (1-xn) je velik, i
obrnuto, pa njihov umnožak nikada ne ide u krajnost. Biološki gledano, to znači da je brojnost
populacije jedne godine proporcionalna brojnosti populacije prošle godine xn i raspoloživoj
hrani, životnom prostoru i ostalim životnim uvjetima ( 1-xn ). Posljedica toga je kako se xn u
bilo kojoj iteraciji uvijek zadržava u intervalu ( 0, 1 ). Kontrolni parametar r odabire se u
intervalu ( 0, 4 ).
Levaković u svom radu „O analitičkom izražavanju sastojinske strukture“ (Levaković,
1948) relativnu raspodjelu učestalosti broja stabala po debljinskim stupnjevima analitički je
prikazao funkcijom:
Y = ₭ d c1 (1 – d) c2
(2)
Analitički izraz Levakovićeve funkcije koju su testirali Hren i Kovačić (Kovačić & Hren,
1984) omogućuje praćenje razvoja karakterističnih vrijednosti sastojinske debljinske strukture.
Funkcija s parametrima c1 i c2 primjenjuje se samo na jednomodelne šumske sastojine,
regularne s jednom kulminacijom. Parametar c2 s vrijednošću oko 3 daje lijevu asimetriju
distribucije prsnih promjera. Lijeva asimetrija distribucije prsnih promjera indicira mlade
sastojine, početnog stanja. Parametar c1 s vrijednošću oko 3 daje desnu asimetriju distribucije
prsnih promjera. Desna asimetrija distribucije prsnih promjera indicira stare i prezrele
sastojine. Kada su parametri c1 i c2 podjednaki s vrijednošću 2.7, distribucije postaju
simetrične, periodične, odnosno regularne.
5.4. Raspodjela učestalosti broja stabala po debljinskim stupnjevima
Alati za raspodjelu učestalosti broja stabala po debljinskim stupnjevima je funkcija
profesora Antuna Levakovića (Levaković, 1948). Levakovićevu funkciju osvijetlio je u svojoj
disertaciji Vladimir Hren (Hren, 1979). Karakteristične vrijednosti funkcije A. Levakovića su:
Vš – varijaciona širina, područje rasprostiranja nezavisne varijable x,
dmax – gornja granica najvišeg debljinskog stupnja,
dmin – donja granica najnižeg debljinskog stupnja,
Varijaciona širina obračunava se po formuli:
Vš = dmax – dmin
(3)
a1 – aritmetička sredina prvog stupnja, predstavlja razliku promjera srednje vrijednosti
debljinskog stupnja i donje granice najbližeg debljinskog stupnja dmin izraženu u relativnom
iznosu varijacione širine Vš..
a1 = nd – dmin ∑n / Vš ∑n
(4)
gdje je n broj stabala pojedinog debljinskog stupnja d.
a22 – aritmetička sredina drugog stupnja, predstavlja kvadrat razlike promjera srednje
vrijednosti debljinskog stupnja dmin, izraženu u relativnom iznosu varijacione širine Vš..
a22 = nd2 – 2d min ∑nd + dmin 2 ∑ n / Vš2 ∑ n
(5)
s2 – kvadrat disperzije,
s2 = a22 – a12
(6)
Za svaki odsjek i dobni razred relativna raspodjela učestalosti broja stabala po debljinskim
stupnjevima izračunava se Levakovićevom jednadžbom:
Y = K d c1 (1 - d)c2
(7)
Y – označava relativnu učestalost broja stabala u određenom debljinskom stupnju,
K – konstanta kojom se suma učestalosti debljinskih stupnjeva normira na 1,
d – debljinski stupanj prsnog promjera,
c1, c2 – parametri
(8)
c1 = 2a12 – a22 (1 + a1) / s2
2
2
2
c2 = a1 (1 + a2 ) – 2a2 / s
(9)
Parametri c1 i c2 pokazuju stupanj asimetrije distribucije stabala. Podjednaki c1 i c2
preslikavaju pravilnu regularnu strukturu, veći c2 preslikava lijevu asimetriju kod mladih
sastojina, a veći c1 preslikava desnu asimetriju distribucije stabala kod zrelih sastojina.
7
Buduća debljinska struktura, za budući srednji sastojinski prsni promjer sastojine, buduću
varijacionu širinu i disperziju, aritmetička sredina u modeliranoj sastojini izračunava se
jednadžbom:
2
2
A1 = d s − Vš s 2
(10)
gdje je ds prsni promjer srednjeg stabla buduće sastojine (Hren i dr., 1988).
Relativna aritmetička sredina prvog stupnja buduće debljinske distribucije izračunava se
jednadžbom:
a1 = A1 – dmin / Vš
(11)
Buduća debljinska distribucija prsnih promjera, budući volumni prirast sastojine po
dobnim razredima obračunava se Hufnaglovom metodom (Klepac, 1963) primjenom
Levakovićeve funkcije za izražavanje i praćenje razvoja sastojinske strukture.
Na temelju opsežnih tipoloških istraživanja Hren i Kovačić (Hren & Kovačić, 1984)
testirali su Levakovićevu funkciju za praćenje sastojinske debljinske strukture. Levakovićev
analitički izraz omogućuje praćenje razvojnog tijeka sastojinske debljinske strukture, a
istovremeno nam prikazuje stupanj njene simetričnosti, visinu kulminacione točke i širinu
disperzije.
Na slici (Slika 2.) prikazana je normalna učestalost broja stabala hrasta lužnjaka po
debljinskim stupnjevima u ekološko-gospodarskom tipu: II–G–20.
Slika 2. Učestalost broja stabala po debljinskim stupnjevima i dobnim razredima
5.5. Volumna struktura
Kako bi se dobio volumni rast i prirast stabla potrebno je utvrditi volumen svake sekcije.
Zbroj volumena svih sekcija daje volumen stabla. Stabla istog prsnog promjera i iste visine teže
istom volumenu. Izjednačenje volumena stabla obavlja se metodom najmanjih kvadrata, a
pomoću logaritamskog oblika Schumacher-Hallove funkcije:
log v = a + b log d + c log h
(12)
Za hrast lužnjak (Quercus robur L.) regresijski model izjednačenja volumena stabla
Schumacher-Hall-ovom funkcijom glasi (Bezak, 2001):
v = 0.000042655 d 2.0629283 h 0.9145876
(13)
8
6. RAST I PRIRAST
6.1. Rast i prirast stabla
Pod rastom stabla podrazumijeva se biološki fenomen povećanja dimenzija stabla tijekom
vremena, a pod prirastom povećanje dimenzija stabla u određenom vremenskom intervalu.
Uvid u razvojni tijek rasta stabla od ponika do fizičke starosti može se dobiti analizom stabla.
Razvojni tijek u debljinu dobiva se debljinskom analizom, a razvojni tijek u visinu dobiva se
visinskom analizom stabla. Rastenjem stabla u debljinu i visinu raste i njegov volumen, što će
reći volumni razvojni tijek stabla dobiva se debljinskom i visinskom analizom. Kako stablo
raste povećavaju se i njegove dimenzije. To povećanje stabla u određenom vremenskom
intervalu zovemo prirastom. Razlikujemo prirast stabla u debljinu, debljinski prirast, prirast
stabla u visinu, visinski prirast i prirast volumena stabla, volumni prirast. Shodno tome
govorimo o prirastu sastojine i cijele šume. Tečajni godišnji prirast označuje iznos za koji se
jedno stablo ili sastojina poveća tijekom jedne godine. Tečajni periodički prirast je iznos za
koji se stablo ili sastojina poveća u tijeku jednog vremenskog perioda. Tečajni dobni prirast je
iznos za koji se stablo ili sastojina poveća u tijeku svog cijelog života. Visinski i debljinski
prirast dobiva se direktnom izmjerom, mjerenjem određene veličine na početku i kraju nekog
vremenskog perioda ili mjerenjem stvarnog prirasta.
Debljinski se prirast određuje uvijek u prsnoj visini mjerenjem prsnog promjera d1 u
početku i na kraju vremenskog perioda od n godina d2 debljinski prirast će biti tečajni
periodični prirast:
nid = d2 - d1
(14)
odnosno tečajni godišnji debljinski prirast
id = (d2 - d1 ) / n
(15)
Mjerenjem 10 godova od kore prema središtu debla, bušenjem Preslerovim svrdlom
utvrđuje se tečajni periodični prirast 110, pa će tečajni godišnji debljinski prirast biti
id = 2 110 /10 = 110 /5
(16)
Tečajni godišnji visinski prirast utvrđuje se analizom stabala t.j. izmjerom visine stabla na
početku h1 i na kraju periode h2.
ih = (h2 - h1 ) / n
(17)
Tečajni periodični volumni prirast dobije se iz razlike volumena stabla na kraju periode i
volumena stabla na početku periode. Dijeljenjem te razlike s brojem godina periode dobije se
tečajni godišnji volumni prirast (Pranjić & Lukić, 1997).
6.2. Analiza stabla
Fizička starost stabla ili sastojine utvrđuje se brojenjem godova na panju. Broj godova na
bilom kojem poprečnom presjeku iznad panja pokazuje starost onog dijela stabla koji se nalazi
iznad dotičnog presjeka. Metodom presjeka može se tijekom analize stabala rekonstruirati rast i
razvoj stabla u prostoru i vremenu.
Analiza se stabla provodi na oborenom stablu, prerezanom na određen broj sekcija. Na
kraju svake sekcije određene dužine uzima se kolut. Kolut služi za određivanje položaja
godova u prošlosti, odnosno za određivanje visinskog i debljinskog prirasta. Standardno se
uzima kolut svakom stablu na panju visine 0.30 m i prsnoj visini 1.30 m od tla.
Na Slici 3 prikazan je poprečni presjek za 150 godišnje hrastovo stablo prerezanog u
krošnji. Starost stabla iznad presjeka bila je 40 godina.
9
Slika 3. Poprečni presjek stabla hrasta lužnjaka
Debljinski se rast i prirast određuje uvijek u prsnoj visini 1.30 m. od tla. Starost se stabla
određuje na panju, odnosno na kolutu ispiljenom na panju i dodaje se starost koja je bila
potrebna da biljka naraste do 0.30 m visine panja. Na temelju podataka debljinske i visinske
analize t.j. brojanja godova na panju, prsnoj visini i na bilo kojem presjeku rekonstruira se
krivulja razvojnog tijeka debljinskog i visinskog rasta (graf. 1) te debljinskog i visinskog
prirasta (graf. 2).
Uočio sam pojavu, porastom debljinskog prirasta smanjuje se visinski prirast i obratno
(graf. 2).
d cm; h m
id mm, ih dcm
80
8
70
60
7
debljinski rast
5
40
4
30
visinski rast
20
10
debljinski prirast
6
50
3
visinski prirast
2
1
0
0
50
100
150
godine
Grafikon 1. Debljinski i visinski rast
0
0
50
100
150
godine
k
Grafikon 2. Debljinski i visinski prirast
Uvid u razvojni tijek rasta stabla od ponika do fiziološke starosti dobiva se totalnom
analizom stabla. Analizom širine godova proučavamo razvojni tijek stabla od početka pa sve do
godine sječe. Na grafikonu (graf. 3) prikazan je razvojni tijek debljinskog rasta triju stabala
hrasta lužnjaka. Dominantnog stabla broj 208, kodominantnih stabala broj 210 i 215, te
prosječnog za sva tri stabla. Sva tri stabla bila su stara 150 godina.
10
d cm
r mm
8
80
stablo br. 208
70
stablo br. 208
7
6
60
stablo br. 215
50
40
stablo br. 210
30
20
prosječno
stablo
10
0
0
50
100
150
godine
Grafikon 3. Razvojni tijek debljinskog rasta
stablo br. 215
5
4
stablo br. 210
3
2
prosječno
stablo
1
0
0
50
100
150
godine
Grafikon 4. Razvojni tijek debljinskog prirasta
Stablo broj 208 postiglo je prsni promjer bez kore 70.12 cm, stablo broj 215 prsni promjer
59.65 cm, stablo broj 210 prsni promjer 55.25 cm, a prosječno za sva tri stabla 61.67 cm.
Na grafikonu (graf. 4). prikazan je razvojni tijek tečajnog godišnjeg debljinskog prirasta
hrasta lužnjaka za stabla 208, 215 i 210. Prosječna širina goda stabla broj 208 bila je r = 2.338
mm, stabla 215 r = 1.988 mm, stabla 210 r = 1.842 mm, a prosječna širina goda za sva tri stabla
bila je r = 2.056 mm.
Na brojnim analizama debljinskog prirasta uočio sam pojavu. Pad debljinskog prirasta oko
70. godine starosti sastojine i porast debljinskog prirasta u starijim sastojinama. Poslije prve
kulminacije oko 20. godine dolazi do druge kulminacije debljinskog prirasta, najčešće oko 120.
godine starosti sastojine.
Druga kulminacija prirasta nije sukladna s aksiomom u biotehničkoj znanosti. Aksiom je
jedna kulminacija prirasta i dvije točke infleksije.
7. PROBLEM
Uređivanje i gospodarenje šumama u Hrvatskoj ima stoljetnu tradiciju. Pravilnik o izradi
šumsko privrednih osnova gospodarenja šumama i programa za unapređenje šuma iz godine
1968, donesen je na temelju Zakona o šumama iz godine 1967., prvi je pravilnik za sve šume i
šumska zemljišta u Hrvatskoj. Slijede pravilnici iz 1976., 1981., 1985., 1994. i 1997. godine.
Potom slijede brojne izmjene i dopune Pravilnika o uređivanju šuma („Narodne novine“, broj
52/01, 150/03, 194/03, 55/04, 9/05, 76/05 i zadnji 111/06; 141/08). Svi ti pravilnici ne slijede
dinamiku rasta i razvoja šuma u prostoru i vremenu. Dokaz za tu spoznaju su brojne izmjene i
dopune Pravilnika o uređivanju. Dokaz su i brojne izvanredne revizije Osnova i Programa
gospodarenja šumama jer se nisu ostvarile prognoze tijekom njihovog izvođenja.
U svim pravilnicima propisivane su obveze mjerenja kako bi se izvršilo bonitiranje
staništa, izmjerile visine, konstruirale visinske krivulje i jednoulazne volumne tablice, utvrdila
distribucija stabala i drvna zaliha, izmjerio debljinski prirast i utvrdio volumni prirast, a na
temelju istog propisale smjernice gospodarenja šumama.
Načelo potrajnog gospodarenja šumama temeljni je postulat gospodarenja i razvojne
strategije Hrvatskog šumarstva. Cilj i način gospodarenja šumama je osiguranje stabilnosti
ekosustava, održavanje i poboljšavanje općekorisnih funkcija šuma, te napredno i potrajno
gospodarenje. Cilj gospodarenja sastojinama hrasta lužnjaka (Quercus robur L.), uz očuvanje
stabilnosti ekosustava i održivog razvoja, je produkcija furnirske i deblje pilanske oblovine.
Model optimalne produkcije visokovrijednih trupaca ima iznimnu važnost prihvaćanjem
europskih normi kod razvrstavanja trupaca po kakvoći godova. Fina jednolična struktura
furnirskih trupaca širine godova do 3 mm ima posebnu cijenu.
Bonitet staništa sastojine predstavlja potencijalnu proizvodnost drvne tvari s obzirom na
glavnu vrstu drveća, koja je određena u odgovarajućim prirasno-prihodnim tablicama. Bonitet
staništa sastojine u jednodobnim sastojinama određuje se na osnovi starosti sastojine i visine
srednje plošnog stabla. Visinska krivulja ustrojava se na temelju izmjerenih visina stabala tako
da se u svakom debljinskom stupnju izmjeri pet do deset visina. U svrhu izjednačenja visinske
11
krivulje i određivanja tarifnog niza odsjeci se u jednodobnim sastojinama grupiraju po
uređajnim razredima, bonitetima i dobnim razredima. Širina dobnih razreda je 20 godina za
ophodnje iznad 60 godina. Najpovoljnija linija izjednačenja visinskih krivulja pokazala se
funkcija Mihajlova:
h = a e – h/x
(18)
Na grafičkom prikazu (graf. 5) nalaze se izmjerene sastojinske visinske krivulje hrasta
lužnjaka na I. bonitetu gospodarske jedinice Slavir. Grubo razvrstavanje izmjerenih visina
hrasta lužnjaka na dobne razrede širine 20 godina ne prati svu dinamiku razvojnog tijeka
visinskih krivulja. To se posebno odnosi na mlađe sastojine, do 70 godina starosti. Drvna zaliha
dobivena primjenom jednoulaznih volumnih tablica dobivenih iz visina razvrstanih po dobnim
razredima raspona starosti 20 godina približno je točna.
Izmjerene visine istraživanih sastojina u ekološko gospodarskom tipu II-G-20 grupirane su
po dobnim razredima raspona starosti 10 godina (graf. 6). Tako grupirane visine razvidno
pokazuju svu dinamiku razvojnog tijeka visinskih krivulja.
Spoznaja, hrast lužnjak intenzivno raste do 70. godine, usporeno do 120., a potom visinski
rast prestaje. Tijekom istraživanja uočio sam inverzije visinskih krivulja kod najstarijih
sastojina. To je pojava koja mi je zadavala najviše problema kako bi ju objasnio.
h m 50
hm
30
40
30
30
50
20
20
70
10
godine
10
90
godine
Grafikon 5. Izmjereni razvojni tijek visinskih
krivulja na I bonitetu u Slaviru
80
d cm
95
130
125
75
65
35
5
25
20
110
50
95
90
80
50
0
65
35
5
20
0
25
35
45
55
40
25
d cm
65
75
85
95
105
115
125
135
145
Grafikon 6. Izmjereni razvojni tijek visinskih
krivulja istraživanih sastojina
Prirast drvne zalihe određuje se na temelju lokalnih tablica postotka prirasta izrađenih
metodom izvrtaka. U regularnim sastojinama na temelju tečajnog debljinskog prirasta. U
prebornim šumama na temelju vremena prijelaza. Izvrtci se prema Pravilniku o uređivanju
šuma uzimaju za glavne vrste drveća u svakom odjelu i odsjeku gdje je drvna zaliha određena
mjerenjem. U sastojinama odsjeci se grupiraju po uređajnim razredima, bonitetima i starosti. U
svakoj grupi uzimaju se izvrci sa 5 do 10 stabala po debljinskom stupnju.
id mm
id mm
10
30
8
10
8
50
4
70
Grafikon 7. Izmjereni debljinski prirast u
gospodarskoj jedinici Slavir
130
125
75
25
95
d cm
0
80
110
95
80
50
65
20
35
5
90
110
30
t godine
2
t godine
0
4
65
2
6
5
20
35
50
6
d cm
25
35
45
55
65
75
85
95
105
115
125
135
145
Grafikon 8. Izmjereni debljinski prirast
istraživanih sastojina
12
Na grafičkom prikazu (graf. 7) prikazan je razvojni tijek debljinskog prirasta hrasta
lužnjaka na I. bonitetu gospodarske jedinice Slavir. Izvrtci razvrstani po dobnim razredima
širine 20 godina ne prikazuju dinamiku razvojnog tijeka tečajnog godišnjeg debljinskog
prirasta. Širok raspon dobnih razreda iskrivljuje nagib i nivo prirasnog niza. Tako razvrstani
podaci širine godova neupotrebljivi su za svako planiranje u prostoru i vremenu. To se posebno
odnosi na mlađe sastojine do 70 godina starosti.
Kod istraživanih sastojina za svaku plohu izvrtke sam grupirao po dobnim razredima
raspona starosti 10 godina i izravnao jednadžbom pravca. Najpovoljnija linija izjednačenja
debljinskog prirasta pokazala se jednadžba pravca (Bezak, 1988):
id = a + bd
(19)
Prirasni nizovi istraživanih sastojina (graf. 8) pokazuju zakonitost razvojnog tijeka. Dinamičan
je razvojni tijek prirasnih nizova tijekom prve kulminacije debljinskog prirasta, nakon prve
kulminacije prirasni niz pomiče se u desno, a nagib se smanjuje do 70. godine starosti sastojina.
Slijedi blagi porast i druga kulminacija debljinskog prirasta oko 120. godine, a potom nagib i
nivo prirasnog niza sa starošću se smanjuje.
Regresijska konstanta a tečajnog godišnjeg debljinskog prirasta sa svojim predznacima + i
– siječe apcisnu os u više točaka čije se maksimalne amplitude tijekom vremena smanjuju.
Regresijska konstanta a prirasnih nizova pokazuje jednu čudnu trajektoriju s dvije i više
kulminacija. Regresijski koeficijent b prirasnog niza poslije prve kulminacije debljinskog
prirasta sa starošću opada (Bezak, 1992).
Aksiom u biotehničkoj znanosti je jedna kulminacija prirasta i dvije točke infleksije, a
potom prirast se asimptotski približava apcisnoj osi. Nelinearna dinamika rasta i prirasta stabla
pobija linearni aksiom u biotehničkoj znanosti. U praksi primjenjuju se linearni modeli, kako bi
na temelju prošlog desetgodišnjeg prirasta procijenili budući rast i razvoj.
Tijekom izrade elaborata osnova gospodarenja šumama, u smjernicama propisuje se samo
cilj ali ne i model kako doći do cilja. U tu svrhu koriste se prirasno-prihodne tablice domaćih i
stranih autora, koje su samo grubi okvir za raznoliku i kompleksnu sastojinsku strukturu.
Propisuju se intenziteti sječa koji su gruba aproksimacija visokog rizika. U praksi primjenjuju
se metode postotka prirasta i metode intenziteta prorjeđivanja. Posljedica primjene metoda
intenziteta sječa u šumama je narušena regularna struktura.
Primjer za tu spoznaju je gospodarska jedinica Slavir. Jedna je od najvećih i najsačuvanijih,
a obuhvaća centralni i sjeverni dio Spačvanskog bazena. Karakteristična je zbog nerazmjera
dobnih razreda, manjka površina u trećem i četvrtom dobnom razredu (61 – 100.g.), a 67%
površine gospodarske jedinice su sastojine starije od 100 godina. U gospodarskoj jedinici
Slavir poseban je problem sušenje hrasta lužnjaka. U odsjecima koji se suše prekoračenje
propisanog etata je 164%. Učešće slučajnog prethodnog prihoda u njihovoj ukupno posječenoj
drvnoj masi je 50%.
Međunarodnim programom za procjenu i motrenje utjecaja zračnog onečišćenja na šume
(ICP Forests), u Republici Hrvatskoj 2005. godine procijenjena je značajna oštećenost stabala
jele obične 77% i hrasta lužnjaka 43%. Značajno oštećenim stablima smatraju se stabla osutosti
krošnje iznad 25%. Iz toga proizlazi kako su te dvije naše glavne vrste drveća duboko ušle u
nestabilno i kaotično stanje.
8. FOTOSINTEZA
Cijeli biljni svijet je jedan mikrokozmički simfonijski orkestar. Ta simfonija može se čuti u
biljci, u zelenom lišću, u krošnjama stabala gdje se izvodi vječna glazba, fotosinteza. Tu dobro
uvježbani titrajni sustavi u biti ne stvaraju glazbu, već materiju u obliku poznatih elementarnih
čestica. Ni jedan proces koji se izvodi na Zemlji nije vrijedan tolike pažnje kao taj još uvijek
nerazjašnjeni proces u zelenom listu kada ga obasjava Sunčana svjetlost. Čovjek i cijelo
životinjsko carstvo na Zemlji ovise o tom procesu. Dišemo atmosferski zrak, pijemo vodu i
jedemo kruh i ne razmišljamo o kozmičkoj ulozi biljaka. Biljke su jedina živa bića na Zemlji
13
sposobna da ulove energiju zračenja Sunca i pretvore je u kemijsku energiju organskih spojeva,
a koji su neophodni za održanje života čovjeka i životinja.
Sunčeva ili solarna konstanta mjera je gustoće svjetlosnog toka. Ukupna energija Sunčeva
zračenja na vanjski rub atmosfere prosječno iznosi 1.37 kW/m2.
U zelenom listu su molekule klorofila, promjera 10–7 cm, skupljene u posebnim
strukturama, kloroplastima. U kloroplastima su molekule klorofila spojene u ćelije zajedno s
drugim pigmentima, kojima je namjena prikupljanje svjetlosti i predavanje njegove energije
reakcijskom središtu ćelije. Proces fotosinteze je jednostavan, molekula vode H2O spaja se s
molekulom ugljičnog dioksida CO2, oslobađajući molekulu kisika O2 i stvara građevni blok
CH2O za mnoge organske spojeve. Krajnji organski spoj je drvo, a godovi su valni paketi koji
se poput zavojnice nižu i uzdižu uz stablo.
Svaka se kemijska veza ostvaruje preko para elektrona. Kada se kidaju dvije veze, vodik –
kisik, treba pomaknuti četiri elektrona. Promjena razmještaja atoma zahtjeva mnogo energije:
3.32 eV za raskidanje veze između vodika i kisika u molekuli vode, a još 1.68 eV za uklanjanje
atoma kisika iz CO2. Taj se atom zatim spaja s drugim atomom kisika iz molekule H2O i
nastaje molekula O2. Kvanti Sunčeve svjetlosti daju zelenom listu potrebnu energiju. Pokazalo
se kako je za fotosintezu potrebno najmanje osam kvanata crvene svjetlosti, t.j. dva kvanta po
elektronu. Jednadžba fotosinteze ima oblik:
CO2 + H2O + 8 hv → CH2O + O2
Energija kvanta od 1.8 eV dovoljna je da oduzme elektron klorofilu i preda ga, kroz lanac
međuspojeva, na mjesto gdje se ugljik iz CO2 spaja s protonima iz razbijene molekule H2O. U
jednoj sekundi reakcijsko središte (naziva se P700 središtem) može procesirati do 50 kvanata
svjetlosti, što znači omogućiti sintezu jedne molekule glukoze i osloboditi šest molekula kisika
Kada pijemo slatki čaj i dišemo, molekule kisika koje pokupi hemoglobin spajaju se u
prisutnosti enzima s molekulama glukoze u obrnutoj reakciji, oslobađajući pritom energiju
Sunčeve svjetlosti što ju je pohranio klorofil, a koja nam održava život (Ponomarev, 1988).
Plavozelenkasti klorofil a sastoji se od 137 atoma:
C55 H72 N4 O5 Mg
Molekula klorofila u središtu ima jedan atom magnezija koji listu daje zelenu boju.
9. KOMPLEKSNE JEDNADŽBE RASTA I RAZVOJA ŠUMA
Sveobuhvatna je paradigma kako staze modeliranja prirode vode kroz diferencijalne
jednadžbe. Ključ spoznaje sveobuhvatne zakonitosti rasta i razvoja šuma su Logaritamska
spirala i Zakon prigušenih sinusoidnih oscilacija.
Logaritamska spirala model je organskog rasta (Savelov, 1960). Model rasta i razvoja šuma
su jednadžbe prigušenih i prisilnih gibanja. Jednadžbe sam modificirao i postavio kompleksne
jednadžbe rasta i razvoja:
debljinske strukture Ψd,D = Ad,D e - k t sin (ωd, D t -ϕ )
(20)
-kt
visinske strukture Ψld,lk,h = Ald,lk.h e sin(ωld,lk,h t -ϕ ) – Ald,lk,h sin(g t)
(21)
Simboli u jednadžbama su: Ψd,D – kompleksni brojevi debljinske strukture; Ψh,ld,lk –
kompleksni brojevi visinske strukture; Ad,D – valne amplitude debljinske strukture, Ald,lk,.h –
valne amplitude visinske strukture, e – baza prirodnog logaritma; k – koeficijent otpora rastu;
t – vrijeme; ωd – koeficijent pulsacije rasta debljinske strukture; ωD – koeficijent pulsacije rasta
krošnje u širinu, ω ld,lk,h – koeficijenti pulsacije rasta visinske strukture, g – gravitacijska
konstanta visinske strukture; ϕ – fazni prostor rasta stabla.
Jednadžbe koje u sebi sadrže brzinu promjene nazivaju se diferencijalnim jednadžbama.
Brzina promjene neke veličine određena je razlikom između vrijednosti te veličine u dvama
bliskim trenucima. Ta razlika označena je grčkim slovom Ψ (psi) koji zamjenjuje u izvornim
jednadžbama prigušenih i prisilnih gibanja brzinu promjene s.
14
Kada maksimalne amplitude regresijske konstante a tečajnog godišnjeg debljinskog prirasta
istraživanih sastojina (a25 = 3.097; a106 = 1.011; a145 = 0.218) izravnamo eksponencijalnom
funkcijom:
Y = A e –kt
(22)
dobivamo parametre A = 5.326 i k = 0.017 krivulje koja tangira tjemena maksimalnih
amplituda krivulje prigušenih sinusoidnih oscilacija (Bezak, 1990). Odnos regresijske konstante
a, eksponencijalne krivulje i krivulje prigušenih sinusoidnih oscilacija prikazan je na grafikonu
(graf. 9).
a
5
Izmjerena
regresijska
konstanta
4
3
2
Prigušena
sinusoida
1
0
-1 0
50
100
150
-2
-3
Eksponencijalna
krivulja
t - godina
Grafikon 9. Izjednačenje maksimalnih amplituda regresijske konstante a
Godine 1923. nobelovac Louis de Broglie (r. 1892 - u. 1987) došao je na ideju kako čestice
imaju valna svojstva. De Broglie je bio pod snažnim utjecajem Einsteinovih argumenata kako
je dvojnost nužna za razumijevanje svjetlosti. Počeo je od čuvene Einstainove formule E=mc2
za ukupnu energiju bilo čega.
(23)
E = mc2 = (mc) (c) = (p) ( f λ)
gdje je E energija, m masa, c brzina, p količina gibanja, f frekvencija i λ valna duljina.
Brzinu rasta stabla poput tajanstvene sedmice regulira konstanta rasta 0.00729927. Ima
neka čudesna veza između klorofila a koji ima 137 atoma s rastom i prirastom hrasta lužnjaka.
Broj atoma u klorofilu a ključna je brojka u kompleksnim jednadžbama rasta i razvoja
debljinske i visinske strukture.
Recipročna vrijednost broja atoma u klorofilu daje univerzalnu konstantu rasta stabla α. =
1/137 = 0.0072997 koja pomnožena sa frekvencijom prirasta f daje koeficijente pulsacije ωd,D,h
sastojinske debljinske i visinske strukture. Frekvencija debljinske i visinske strukture izračuna
se iz omjera valne duljine λd debljinskog prirasta i perioda (valnih duljina) maksimalnih
amplituda debljinskog prirasta λd, visinskog prirasta λh. i perioda prirasta širenja krošnje λD.
Omjeri perioda, debljinskog prirasta, visinskog prirasta i prirasta širenja krošnje hrasta lužnjaka:
fd : fh : fD = λd / λd : λd / λh : λd / λD = 100/100 : 100/50 : 100/25 = 1 : 2 : 4
ukazuje na stabilno, periodično gibanje. Rast i prirast iskazuje se s periodom 10 godina.
Debljinski rast stabla iskazuje se u centimetrima, a visinski rast i rast krošnje u širinu iskazuju
se u metrima. U kontekstu kompleksne nelinearne dinamike rasta, koeficijenti pulsacije
debljinske i visinske strukture:
ωd : ωh : ωD = 0.072993 : 0.1459854 : 0.1824817 = 1 : 2 : 2.5
indiciraju točke fenomena rezonancije.
Broj dana u godini podijeljen s brojem atoma u klorofilu daje konstantu širenja krošnje,
ξ = 365/137 = 2.66423, valnu amplitudu širenja promjera krošnje AD, a njezina dvostruka
vrijednost daje valnu amplitudu debljinskog rasta Ad = 5.328. Koja se razlikuje za 0.002 od
15
amplitude Ad = 5.326 dobivenom izjednačenjem maksimalnih amplituda regresijske konstante
a (graf 9) debljinskog prirasta eksponencijalnom funkcijom (22).
Valna amplituda dužine debla Ahd = 4.669 je eigen-vrijednost, njezina skalirana vrijednost
amplituda je dužine krošanja Alk = 4.090, a njihov zbroj daje valnu amplitudu visinskog rasta
stabla Ah = 8.759. Feigenbaumov broj (eigen-vrijednost) opća je univerzalna konstanta,
jednako temeljena kao i broj π, što će reći kako je omjer opsega kružnice i njezinog promjera
3.142, a omjer udvostručenja kod visinskog rasta stabla je 4.669. Omjer veličina intervala
između susjednih udvostručenja tijekom visinskog rasta je 4.669, a omjer pod kojim se šire
grane je 2.664. Ovakva udvostručenja poznata su pod nazivom bifurkacija i matematički su
dokaz kaosa u šumi. Kaos se uzdiže uz deblo, grane i kulminira u vršnim grančicama. Grananje
je opće prirodno načelo.
Na visinski rast djeluje sila gravitacije kojom visinsko rastenje postaje prisilno. Brzina
prisilnog visinskog rasta limitirana je gravitacijskom konstantom visinskog rasta g = (1/137)2 =
0.0000532793 god-1, kvadratom recipročnog broja atoma u klorofilu. Gravitacija, jedna od
temeljnih sila prirode, opada obrnuto razmjerno kvadratu udaljenosti.
Koeficijent pulsacije debljinskog i visinskog rasta ωp, eigen-vrijednost δ, konstanta širenja
krošnje ξ, gravitacijska konstanta visinskog rasta g kao i Eulerov broj e = 2.718,
bezdimenzionalne su konstante.
Svako stablo u šumi na svakom staništu ima svoju matematičku strukturu, atraktor kojem
teži. Atraktor je dio faznog prostora ϕ kojemu svaka točka koja je započela gibanje blizu
njega, sve više se približava. Kako prolazi vrijeme bliska područja stežu se prema stablu.
Stabla istog prsnog promjera i iste visine teže istom volumenu. Za hrast lužnjak fazni prostor
debljinskog rasta prsnih promjera iznosi ϕd = 0.001, širenja krošnje ϕD = 0.027, a visinskog
rasta ϕh = 0.879.
Koeficijent otpora rastu k jedini je nelinearni parametar. Numeričko vrednovanje brzine
rasta i stanja stabilnosti sastojine detektira se iteracijama koeficijenta k u kompleksnim
jednadžbama rasta debljinske i visinske strukture. Vrijednosti koeficijenta otpora rastu iteriraju
u rasponu 0 – 1.
Kompleksne jednadžbe rasta i razvoja debljinske i visinske strukture hrasta lužnjaka
(Quercus robur L.) sa svim parametrima prikazane su u jednadžbama 24, 25 i 26.
Debljinski rast:
– kt
Ψd = 5.328 e sin (0.0729927 t – 0.001 )
(24)
Rast krošnje u širinu:
– kt
ΨD = 2.664 e sin (0.1824817 t – 0.027 )
(25)
Visinski rast:
– kt
Ψh = 8.759 e sin (0.1459854 t – 0.876 ) – 8.759 sin (0.000532793 t)
(26)
Hrast lužnjak (Quercus robur L.) kozmičko je drvo, ima jediničnu brzinu rasta
10. DENDROGRAMI
Rješenja kompleksnih jednadžbi su kompleksni brojevi, topološka dimenzija stabla.
Preslika kompleksnih brojeva u faznom prostoru su dendrogrami u kojima okomiti smjerovi
prikazuju amplitude ili multidimenzionalne vektore. Vodoravni smjerovi prikazuju prostor i
vrijeme. Dendrogram debljinskog rasta Ψd i rasta promjera krošnje ΨD prigušeno je gibanje, a
visinskog rasta Ψh prisilno je gibanje. Razvidna je periodičnost debljinske i visinske strukture
(graf. 10). Za hrast lužnjak period debljinskog prirasta je 100 godina, visinskog 50 godina, a
period prirasta širenja krošnje je 25 godina. Poslije prve kulminacije prirasta dolazi do pada
debljinskog prirasta, a istovremeno hrast lužnjak postiže drugu kulminaciju visinskog prirasta.
Tijekom vremena druge kulminacije debljinskog prirasta prestaje visinski prirast. Prvu
kulminaciju prirasta postižu krošnje, potom visine, a zadnju kulminaciju debljinski prirast.
16
Razvidna je druga kulminacija visinskog rasta tijekom pada debljinskog rasta. U vremenu
druge kulminacije debljinskog prirasta prestaje visinski rast. Dendrogram rasta krošnje u širinu
pokazuje jednu čudnu trajektoriju.
5
Ψd, h, D
4
Dendrogram dominantnog stabla
hrasta lužnjaka (Quercus robur L.)
3
2
1
0
Ψd - debljinski rast
Ψh - visinski rast
ΨD - rast promjera krošnje
-1
-2
-3
0
20
40
60
godine
80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300
Grafikon 10. Dendrogram debljinske i visinske strukture hrasta lužnjaka
Na dendrogramu razvidna je spoznaja koju je akademik Klepac često isticao:
Hrast lužnjak raste sto godina, živi sto godina i umire sto godina
Dendrogram stabla kao i kardiogram kod čovjeka pokazuje njegov bioritam i aritmiju.
Povezuje ih nelinearna dinamika. Normalan srčani ritam je periodičan, ali postoje i mnoga
neperiodična patološka stanja koja vode do nestabilnog stanja. Srce ima oblik u prostoru i može
se pratiti pulsni val kroz tri dimenzije. Stablo ima također oblik u prostoru, ali njemu se može
pratiti pulsni val u pet i više dimenzija. Tri su prostorne, četvrta je vrijeme, peta dimenzija je
brzina, a ostale dimenzije diskretno su skrivene u titrajnom sustavu.
11. KOMPLEKSNI VEKTORSKI PROSTORI RASTA I PRIRASTA
Rješenja kompleksnih jednadžbi su kompleksni brojevi, topološka dimenzija stabla.
Integracijom kompleksnih brojeva dobiva se prirast, a daljnjom integracijom rast debljinske i
visinske strukture, fraktalna dimenzija stabla. Kompleksne jednadžbe skup su valnih funkcija
koje predstavljaju moguća fizička stanja. Skup ima svojstva apstraktnog matematičkog objekta
koji se zove apstraktni vektorski prostor. Skupovi svih fizički smislenih rješenja linearnih i
valnih diferencijalnih jednadžbi uvijek tvore vektorske prostore, a njegovi vektori odredive su
kompleksne funkcije prostora i vremena. Naizgled apstraktna teorija vektorskih prostora vodi
na velika pojednostavljenja tijekom predviđanja budućeg razvoja sastojinske debljinske i
visinske strukture. Kako bismo razumjeli kompleksno preslikavanje i fizička predviđanja koji
se mogu i eksperimentalno izmjeriti, grafički možemo predočiti kompleksni vektorski prostor
debljinskog prirasta id i rasta d, prirasta širenja krošnje iD i promjera krošnje D, visinskog
prirasta ih i visinskog rasta h.
Iskoristimo li kompleksni vektorski prostor i linearnu relaciju kako je kompleksni broj Ψd
srednje sastojinskog stabla regresijska konstanta a debljinskog prirasta (Ψd = a), pomoću
debljinskog rasta ds i njegovog prirasta ids koeficijent regresije b izračuna se iz linearnog
odnosa:
b = (ids – Ψds ) / ds → id = Ψd + b d
(27)
17
Linearni odnos kompleksnog broja Ψd, prsnog promjera d i koeficijenta regresije b daje
debljinski prirast id. Praktična formula za rekonstrukciju i numeričku procjenu debljinskog
prirasta po debljinskim stupnjevima bez bušenja stabala Preslerovim svrdlom.
godine
id mm
10
8
6
4
85
65
130
45
0
5
t
25
2
20
d cm
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Grafikon 11. Kompleksni vektorski prostor
debljinskog prirasta
d cm
120
predominantno
100
dominantno
80
60
srednje sast.
40
kodominantno
20
podstojno
0
0
50
100
150
godine
Grafikon 12. Razvojni tijek debljinskog rasta
za karakteristična stabla
Na grafikonu (graf.11) prikazan je kompleksni vektorski prostor sastojinskog debljinskog
prirasta hrasta lužnjaka. Vidljiva je dinamika razvojnog tijeka sastojinskog tečajnog godišnjeg
debljinskog prirasta po dobnim razredima. Dinamika razvojnog tijeka prirasnih nizova tečajnog
godišnjeg debljinskog prirasta u potpunosti prati svu dinamiku razvojnog tijeka prirasnih
nizova istraživanih sastojina. Intenzivan je pomak prirasnog niza tijekom prve kulminacije i
ravnomjerniji tijekom druge kulminacije debljinskog prirasta. Uravnotežen za dominantna
stabla, a kaotičan za podstojna i prigušena stabla.
Na grafikonu (graf. 12) preslikan je razvojni tijek debljinskog rasta d karakterističnih
stabala u strukturi sastojine, predominantnog stabla (najdebljeg), dominantnog, srednje
sastojinskog, kodominantnog i podstojnog stabla s krošnjom koja umire.
dobni razredi
0,5
t
0
85
70
65
25
45
5
130
10
d cm
Grafikon 13. Kompleksni vektorski prostor
prirasta širine krošnje
15
10
5
t
0
130
70
85
1
20
65
1,5
25
45
2
dobni razredi
Dm
5
2,5
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
25
iD dcm
10
d cm
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Grafikon 14. Kompleksni vektorski
prostor rasta krošnje u širinu
Na grafikonu (graf. 13) prikazan je kompleksni vektorski prostor prirasnih nizova širina
krošanja. Razvojni tijek prirasnih nizova ukazuje na kritične periode minimalnog prirasta, pad
prirasta svakih 25 godina. Intenzivnom visokom proredom u vrijeme minimalnog prirasta
krošnje destabiliziramo sastojinu. Susjedne krošnje posječenog stabla ne zatvaraju međuprostor
i nastaju plješine. Česta pojava u mladim šumama poslije sječe.
Kompleksni vektorski prostor rasta krošnje u širinu po dobnim razredima (graf. 14)
pokazuje potpunu korelaciju s prsnim promjerom. Vrlo važna spoznaja za obračun optimalnog
broja stabala N na jednom hektaru površine i procjenu obrasta sastojine. Optimalna širina
18
promjera krošnje hrasta lužnjaka može se izračunati iz linearnog odnosa prsnog promjera d i
omjera univerzalne konstante ς = 2.66423 sa skaliranom vrijednošću sς = 0.96761.
D = ( ς + sς ) / ς + (sς / 2ς ) d = 1.36318 + 0.18159 d
(28)
Istraživanja Kreičija u ekološko-gospodarskom tipu II–G–20 na 3188 izmjerenih širina
krošanja pokazala su također potpunu korelaciju prsnih promjera i širina krošanja po dobnim
razredima. Izračunati parametri izmjerenih širina krošanja dali su regresijsku konstantu a =
1.365 i koeficijent regresije b = 0.157 (Krejči, 1988). Regresijska konstanta a jednaka je
optimalnoj, ali se razlikuju u regresijskom koeficijentu b. Za stablo prsnog promjera 50 cm,
optimalna širina krošnje je 10.413 m, izmjerena je 9.215 m. Izmjerene krošnje su uže za 1.198
m zbog toga što su u svom razvojnom tijeku bile prigušivane. Takve krošnje hrasta lužnjaka
postizale su u stotoj godini prsni promjer 45 cm.
Na grafikonu (graf. 15) prikazan je kompleksni vektorski prostor visinskog prirasta.
Vidljive su dvije kulminacije visinskog prirasta, prva prije dvadesete, a druga oko sedamdesete
godine starosti sastojine. Poslije druge kulminacije visinskog prirasta, visinski prirast opada, a
poslije 120. godine prestaje.
dobni razredi
ih dcm
12
10
8
6
4
2
0
t
65
85
45
25
5
140
80
20
d cm
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Grafikon 15. Kompleksni vektorski prostor
visinskog prirasta
hm
40
35
I. bonitet
30
25
II. bonitet
20
15
10
III. bonitet
5
0
0
50
100
150
godine
Grafikon 16. Razvojni tijek visinskog rasta
po bonitetima
Spoznaja, hrast lužnjak intenzivno raste do 70. godine, usporeno do 120. godine, a potom
visinski rast prestaje (Klepac, 1971).
Iteracijama koeficijenta otpora k visinskom rastu detektirao sam bonitete i rekonstruirao
razvojni tijek srednje sastojinskog stabla hrasta lužnjaka za I., II. i III. bonitet staništa (graf.
16). Preslika razvojnog tijeka visinskog rasta za I., II. i III. bonitet Špiranćevih prirasnoprihodnih tablica (Špiranec, 1975) pokazuje neznatne razlike.
12. NUMERIČKO BONITIRANJE STANIŠTA
Bonitet staništa odražava se kroz sposobnost neke vrste drveća ili sastojine da na nekom
tlu, pri normalnim klimatskim uvjetima i u određenom vremenu postigne određenu visinu i
proizvede neki obujam drva po jedinici površine.
Alati za numeričko bonitiranje staništa su kompleksne jednadžbe visinske strukture (26).
Iteracijama otpora k visinskom rastu u kompleksnoj jednadžbi detektira se bonitet sastojine. Za
dominantna stabla, vrijednosti otpora k manja od 0.050 preslikavaju I. bonitet sastojine, otpor k
(0.051 – 0.060) preslikava II bonitet, otpor k (0.061 – 0.070) preslikava III bonitet, otpor k
(0.071 – 0.080) preslikava IV bonitet, a otpor k veći od 0.081 preslikava V bonitet staništa ili
ekološko-gospodarskog tipa. Međuvrijednosti k preslikavaju međubonitete: I/II bonitet k
(0.051 – 0.055); II/III k (0.061 – 0.065); III/IV k (0.071 – 0.075) i IV/V bonitet k (0.081 –
0.085).
Kod numeričkog multidimenzijskog bonitiranja potrebno je izmjeriti srednju visinu
dominantnih stabala, njihov srednji promjer i starost. Izmjerene visine hrasta lužnjaka u
19
gospodarskoj jedinici Slavir tijekom uređivanja 2004. godine poslužile su za numeričko
bonitiranje staništa i konstrukciju standardnih visinskih krivulja. Bonitiranje i konstrukcija
standardnih visinskih krivulja obavljeno je kompleksnom jednadžbom visinske strukture (26).
Okosnica numeričkog bonitiranja bio je VI. dobni razred (101 do 120 g.), jer u toj dobi prestaje
visinski rast hrasta lužnjaka, a visinska krivulja se stabilizirala.
Empirijska je spoznaja, kako je hrast lužnjak u optimalnom stanju kada mu je srednji
sastojinski prsni promjer podjednak polovici starosti sastojine. Za starost 110 godina to je 55
cm, a standardna devijacija distribucije je 11 cm. Srednji sastojinski prsni promjer pada u
debljinski stupanj 57.5 cm, donje Hoenadlovo stablo pada u debljinski stupanj 47.5, a gornje
Hoenadlovo u debljinski stupanj 67.5 cm. Iz izmjerenih visina očitaju se pripadajuće srednje
visine: 47.5 = 32.9 m, 57.5 = 35.4 m i 67.5 = 36.6 m. Iteracijama koeficijentom otpora rastu k
kompleksnom jednadžbom visinske strukture rekonstruiramo razvojni tijek visina h-, hds i h+
po dobnim razredima raspona starosti 10 godina.
Kompleksnom jednadžbom debljinske strukture (21) i istim postupkom rekonstruiramo
razvojni tijek debljinskog rasta donjeg Hoenadlovog stabla d-, srednje sastojinskog ds i gornjeg
Hoenadlovog stabla d+. Linearnom regresijom po dobnim razredima dobivamo parametre
visinskih krivulja, a koji su prikazani u Tablici 1. Kako je koeficijent otpora rastu za
dominantna stabla k < 0.05 to UR sjemenjače hrasta lužnjaka pripada I. bonitetu. Linearna
regresija pokazala se kao najpovoljnija linija izjednačenja. Opisanom metodom rekonstruirao
sam standardne visinske krivulje za I. bonitet regularnih sastojina hrasta lužnjaka (graf. 17).
Tablica 1. Parametri visinskog rasta i razvojni tijek visina za karakteristična stabla
Godi
ne
god.
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Parametri visinskog
rasta hrasta lužnjaka
na I. bonitetu
h = a + bd
m
a
b
2.289
6.801
11.048
14.494
17.588
20.346
22.660
24.479
25.891
26.908
27.562
27.618
27.110
27.043
26.899
0.253
0.251
0.181
0.125
0.107
0.113
0.123
0.129
0.133
0.136
0.135
0.135
0.134
0.126
0.112
Donje Hoenadlovo
stablo d-
Srednje sastojinsko
stablo ds
Gornje Hoendlovo
stablo d+
k=
0.0526
d – cm
k=
0.0522
h– m
k=
0.0393
d s cm
k=
0.0491
h sm
k=
0.0264
d + cm
k=
0.0467
h +m
2.09
6.04
10.88
15.87
20.67
25.25
29.71
34.14
38.58
43.05
47.5
52.01
56.50
60.98
65.46
2.81
8.28
12.97
16.41
19.71
23.11
26.21
28.80
30.94
32.67
33.9
34.54
34.58
34.60
34.60
2.39
7.20
13.34
19.73
25.76
31.31
36.54
41.68
46.86
52.13
57.5
62.84
68.20
73.55
78.89
2.90
8.64
13.52
17.03
20.41
23.97
27.23
29.94
32.20
34.06
35.4
36.20
36.37
36.40
36.40
2.72
8.57
16.38
24.61
32.14
38.64
44.37
49.82
55.41
61.32
67.5
73.85
80.18
86.41
92.54
2,97
8.92
13.97
17.52
20.95
24.64
28.02
30.83
33.18
35.14
36.6
37.49
37.76
37.80
37.80
Istim postupkom i metodom mogu se konstruirati standardne visinske krivulje i
jednoulazne volumne tablice za svaki bonitet ili međubonitet. Pritom se mogu koristiti
izmjerene visine iz prethodnog uređivanja. Prostorno-vremenski razvoj visinskih krivulja hrasta
lužnjaka po dobnim razredima jednoznačno je određen bifurkacijama za sva vremena. Odnos
dužine debla i dužine krošnje strogo je matematički 0.533 : 0.467, a određuje ga amplituda
dužine debla Ahd = 4.669 i amplituda dužine krošnje Alk = 4.090, što će reći eigen-vrijednost
δ =4.669201609.
Na grafikonu (graf. 17) razvidna je zakrivljenost pete dimenzije. Ovakav razvojni tijek
visinskih krivulja zakonitost je visinskog rasta i univerzalna je za sva vremena. Vrlo važna
spoznaja za konstrukciju standardnih visinskih krivulja i jednoulaznih volumnih tablica.
20
dobni razredi
hm
40
35
30
25
20
15
10
5
0
95
80
65
50
35
20
5
t
110
20
d cm
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Grafikon 17. Standardni razvoj sastojinskog visinskog rasta lužnjaka na I. bonitetu
Tablica 2. Jednoulazne volumne tablice (tarife) hrasta lužnjaka na I. bonitetu
Dobni razredi
Prsni
promjeri
20
30
40
50
60
70
80
90
100
3
cm
m
7,5
12,5
17,5
22,5
27,5
32,5
37,5
42,5
47,5
52,5
57,5
62,5
67,5
72,5
77,5
82,5
87,5
92,5
97,5
0.020
0.064
0.142
0.027
0.083
0.177
0.315
0.033
0.099
0.205
0.356
0.557
0.811
1.123
0.039
0.115
0.236
0.407
0.630
0.919
1.252
1.658
2.131
2.677
0.044
0.131
0.268
0.460
0.712
1.027
1.409
1.863
2.391
2.999
3.689
4.466
5.333
6.294
7.353
0.049
0.144
0.295
0.507
0.784
1.130
1.550
2.048
2.628
3.294
4.051
4.902
5.851
6.904
8.064
9.334
10.719
0.052
0.154
0.316
0.542
0.838
1.208
1.656
2.186
2.805
3.514
4.319
5.225
6.235
7.354
8.586
9.934
11.405
0.055
0.162
0.332
0.569
0.879
1.267
1.736
2.292
2.938
3.681
4.522
5.469
6.532
7.691
8.977
10.384
11.918
13.581
15.381
0.057
0.168
0.343
0.589
0.909
1.309
1.794
2.368
3.033
3.798
4.665
5.639
6.725
7.926
9.248
10.695
12.271
13.981
15.828
110
120,130,
140, 150
0.058
0.169
0.345
0.591
0.913
1.315
1.801
2.376
3.045
3.813
4.683
5.661
6.750
7.955
9.281
10.733
12.314
14.028
15.881
0.058
0.172
0.351
0.601
0.928
1.335
1.829
2.412
3.090
3.868
4.749
5.739
6.841
8.061
9.403
10.871
12.468
14.202
16,.075
Jednoulazne tablice i volumeni sastojine obračunavaju se na osnovi prostorno vremenskog
pomaka visina i dvoulaznih volumnih tablica (Špiranec, 1975). Jednoulazne volumne tablice
hrasta lužnjaka na I bonitetu prikazane su do 120 godine starosti jer u toj dobi prestaje visinski
rast i tarifa ostaje ista za starije sastojine (tab. 2). Na empirijskoj spoznaji, kako stabla istog
prsnog promjera i iste visine teže istom volumenu, temelji se konstrukcija dvoulaznih volumnih
tablica. Svako stablo u šumi na svakom staništu ima svoju matematičku strukturu, atraktor
kojem teži. Atraktor je dio faznog prostora kojemu svaka točka koja je započela gibanje blizu
njega, sve više se približava. Kako prolazi vrijeme bliska područja stežu se prema stablu, što će
reći, teže istom volumenu i istoj sortimentnoj strukturi.
Izjednačenje volumena stabla obavlja se metodom najmanjih kvadrata,
pomoću
logaritamskog oblika Schumacher-Hallove funkcije (12). Novčana vrijednost drvnih
sortimenata može se također obračunati funkcijom Schumacher-Hall-a (Bezak 2002b, 2007).
Sastojinski tečajni godišnji volumni prirast iv izračunava se Hufnaglovom metodom
(Klepac, 1963). Razlika volumena po debljinskim stupnjevima sadašnje i buduće sastojine daje
21
budući tečajni godišnji volumni prirast iv. Prirasni nizovi tečajnog godišnjeg volumnog prirasta
konkavnog su oblika i prikazani su na grafikonu (graf. 18).
dobni razredi
3
iv m
0,25
0,2
0,15
0,1
d cm
140
110
80
50
85
20
65
0
45
25
5
0,05
t
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
Grafikon 18: Prostorno vremenski razvojni tijek tečajnog godišnjeg volumnog prirasta
Razvojni tijek tečajnog godišnjeg volumnog prirasta iv razvidno nam ukazuje na
relativističku pojavu, na Einsteinovo prvo specijalno načelo relativnosti:
Svi opći prirodni zakoni koji vrijede u nekom referentnom sustavu K
moraju također nepromjenjivi vrijediti i u nekom drugom referentnom sustavu K'
koji se ravnomjerno translatorno giba u odnosu na K.
13. DISIPATIVNA STRUKTURA ŠUME
Belgijski fizičar i kemičar Ilya Prigogine (r.1917. - u. 2003.) jedan je od pravih pionira
kaosa. Godine 1977. dobio je Nobelovu nagradu iz kemije za rad na disipativnim strukturama.
Prigogine je prvi uveo pojmove disipativnih sustava i samoorganizacije. Prigogine razlikuje
sustave u ravnoteži, blizu ravnoteže i sustave daleko od ravnoteže. U sustavima daleko od
ravnoteže tvar se reorganizira. Mogu nastati nova dinamička stanja tvari, stanja koja su odraz
interakcije danog sustava s njegovom okolinom. Tu nalazimo prijelaz između nereda,
toplinskog kaosa u red. Prigogine je te strukture nazvao disipativnim strukturama jer
zahtijevaju više energije za opstanak. Općenito, disipativne strukture uključuju proces
prigušenja. Kada sustav koji je daleko od ravnoteže uđe u kaotični period, mijenja se za razinu
spontane uređenosti, samoorganizacije (Sardar & Abrams, 1998).
Klasifikacijom strukturnih oblika sastojina na harmonično, ravnotežno, periodično,
neperiodično i kaotično stanje dobivamo disipativnu strukturu šume. Dijagnoza stanja
stabilnosti šume obavlja se kompleksnim jednadžbama debljinske strukture (24 i 25) prema
shemi prikazanoj na Slici 4.
22
Slika 4. Disipativna struktura šume
Numerička klasifikacija strukture na stanja sastojina, kompleksnim jednadžbama rasta i
razvoja debljinske strukture je jednostavna. Dovoljno je poznavati promjer stabla d i njegovu
starost kako bi iteracijama koeficijenta otpora rastu k uskladili brzinu modela s brzinom
debljinskog rasta stabla. Iteracijama k u intervalima 0.001 → 0.027 → 0.050 → 0.073 →
0.999 dobivamo disipativnu strukturu stabala u sastojini. Ista shema vrijedi i za rast krošnje u
širinu. Vrijednosti koeficijenta otpora rastu k < 0.027 preslikavaju približno harmonično
širenje krošnje, krošnje s otporom k 0.027 < 0.045 preslikavaju ravnotežni (stabilan) razvoj,
krošnje s otporom k u rasponu 0.045 < 0.055 preslikavaju periodičan rast i razvoj, krošnje s
otporom k u rasponu 0.055 < 0.073 su u stanju neperiodičnosti (nestabilnosti), a krošnje s
koeficijentom otpora k > 0.073 u kaotičnom su stanju.
ΨD
3
harmonično
2
1
ravnotežno
0
periodično
-1
0
50
100
150
-2
-3
neperiodično
kaotično
godina
Grafikon 19. Dendrogrami širenja promjera krošnje u disipativnoj strukturi sastojine
Dendrogrami širenja promjera krošnje u disipativnoj strukturi razvidno pokazuju periode
prirasta, 25 godina. Dendrogrami na grafičkom prikazu (graf. 19.) pokazuju neke čudne
atraktore, neke nepravilne trajektorije. Postoji posebna kategorija atraktora poznati kao
kaotični ili čudni atraktori. Čudni atraktori žive u matematički konstruiranom prostoru
poznatom kao fazni prostor. Fazni prostor je imaginarni prostor u kojem se brojevi mogu
pretvoriti u slike. Najčuveniji čudni atraktor je Lorenzov atraktor, koji je povezan s učinkom
23
leptira. Leptirov učinak (butterfly effect) ističe tvrdnju kako su početni uvjeti i male smetnje
vrlo važni za kaos. Karakteristična značajka kaotičnih sustava je njihova osjetljiva ovisnost o
početnim uvjetima.
U periodičnom sustavu varijabla nakon proteka čvrsto određenog vremenskog intervala
točno ponavlja svoje prethodno ponašanje. Nestabilno ponašanje je ono kod kojeg je za
prijelaz između periodičnog i neperiodičnog potrebna vrlo mala promjena u sustavu. To znači i
vrlo veliku osjetljivost o početnim uvjetima. Nadalje, neperiodično ponašanje označava kako
nijedan parametar sustava ne mijenja vrijednost periodično. To znači da se vrijednosti prirasta
ne ponavljaju u potpunosti. Kaotično ponašanje nastaje kada šuma nema dovoljno energije za
opstanak i dolazi do spontane uređenosti, nelinearnog povratnog učinka (feedback effect), što
će reći sušenja.
Disipativna struktura promjera krošanja (graf. 19) pokazuje kako samo predominantna i
dominantna stabla pokazuju periodična gibanja koja mogu doživjeti duboku starost.
Neperiodične krošnje na rubu su stabilnosti. Prag stabilnosti je stanje s otporom rastu 0.05.
Stabla koja su u nestabilnom i kaotičnom stanju prva umiru. To je vrlo važna spoznaja za
odabir stabala tijekom proreda i propisivanja ophodnje.
Disipativna struktura debljinskog rasta model je numeričke dijagnoze i praćenja stabilnosti
šume.
Dijagnozu stanja stabilnosti obavio sam za uređajni razred Sjemenjače hrasta lužnjaka u
gospodarskoj jedinici Slavir. Dendrometrijski podaci debljinske strukture prikupljeni tijekom
redovne revizije 2004. godine (obrasci O-2) poslužili su za dijagnozu stanja stabilnosti hrasta
lužnjaka. Iteracijama koeficijenta otpora rastu k numerički je obrađen hrast lužnjak u svakom
odjelu/odsjeku, bez obzira na namjenu, bonitet ili ekološko – gospodarski tip.
Klasifikacijom strukturnih oblika sastojina hrasta lužnjaka na početna stanja, ravnotežna
stanja, periodična stanja, neperiodična stanja i kaotična stanja dobili smo disipativnu strukturu
šume. U kaotično stanje razvrstane su sve sastojine u kojima je započelo intenzivno sušenje, a
u neperiodično stanje razvrstane su sve sastojine u kojima su evidentirana sušenja slabijeg
intenziteta. Dijagnozu stanja stabilnosti i detekciju brzine debljinskog rasta sastojina hrasta
lužnjaka u gospodarskoj jedinici Slavir utvrdio sam istovremeno kompleksnom jednadžbom
debljinske strukture (24) sukladno shemi prikazanoj na Slici 4. Koeficijent otpora debljinskom
rastu k veći od 0.061 granični je slučaj kaotičnog stanja u gospodarskoj jedinici Slavir.
U početno stanje razvrstane su sve sastojine stare do 20 godina, I. dobni razred. To su
početni uvjeti, period prve kulminacije visinskog i debljinskog prirasta kada njegom
usmjeravamo sastojine prema stabilnom stanju. I najmanji biotički i abiotički poremećaj,
zahvat u njezi ili izostanak njege mogu usmjeriti sastojinu prema stabilnom ili nestabilnom
stanju.
U početnom stanju bilo je 1204 ha ili 15% obrasle površine uređajnog razreda Sjemenjača
hrasta lužnjaka. To su sastojine I. dobnog razreda, period oko prve kulminacije debljinskog i
visinskog prirasta.
U ravnotežnom stanju bilo je samo 621 ha ili 8% površine UR sjemenjače hrasta lužnjaka.
Sastojine ravnotežnog stanja bile su pretežno mješovite i sa manjim učešćem hrasta lužnjaka u
normalnom obrastu. Debljinski rast u 120. godini postiže srednji sastojinski prsni promjer
60.14 cm. U vrijeme prve kulminacije prirasta srednja širina goda bila je 3.00 mm, a u vrijeme
druge kulminacije prosječna širina goda bila je 2.550 mm.
U periodičnom stanju bilo je 1295 ha, ili 16% površine UR sjemenjače hrasta lužnjaka.
Debljinski rast periodičnog stanja u 120. godini postigao je srednji sastojinski prsni promjer
54.03 cm, a prosječna širina goda u istoj starosti iznosila je 2.326 mm. Iznenađujuće je kako se
3720 ha ili 48 % sastojina nalazilo u neperiodičnom stanju. To je nestabilno stanje na rubu
kaosa, kada također može doći do sušenja. Vrijeme je ono što sprječava da se sve dogodi
odjednom. Debljinski rast neperiodičnog stanja u 120. godini postigao je srednji sastojinski
prsni promjer 50.21 cm, a prosječna širina goda u istoj starosti bila je 2.166 mm.
U gospodarskoj jedinici Slavir detektirano je 1004 ha ili 13 % sastojina koje su ušle u
kaotično stanje. Kaotično stanje, kada sastojina nema više energije za opstanak i dolazi do
24
spontane uređenosti, emergentne pojave, najčešće sušenje hrastika. Debljinski rast kaotičnog
stanja u 120. godini postiže srednji sastojinski prsni promjer 46.60 cm, a prosječna širina goda
u istoj starosti bila je 2.018 mm.
Slika 5. Fraktalna dimenzija disipativnih struktura sastojina hrasta lužnjaka
Disipativna struktura šume može se preslikati na karte. Fraktalna dimenzija disipativnih
struktura uređajnog razreda Sjemenjače hrasta lužnjaka u gospodarskoj jedinici Slavir
prikazana je na Slici 5.
Dijagnoza disipativnih struktura za 80 primjernih ploha iz disertacije, u EGT: II-G-20 za
šume hrasta lužnjaka vlažnog tipa, pokazala je kako je prije 30 godina bilo 32% ravnotežnih
sastojina, 33 % u periodičnom, 20% u neperiodičnom i 15% u kaotičnom stanju. Iz ove
usporedbe vidljiv je trend disipacije stabilnih sastojina u nestabilno stanje.
14. NELINEARNA DENDROKRONOLOGIJA
Dendrokronologija, znanstvena je disciplina u šumarstvu koja svojim metodama koristeći
se analizama vremenskih serija određuje zbivanja u prošlosti i rekonstruiraju prirodne pojave
koje utječu na produktivnost šumskog ekosustava. Dendrokronološke metode primjenjuju se za
određivanje datuma zbivanja nekih događaja u prošlosti te rekonstruiranje prirodnih pojava i
procesa koji utječu na produktivnost i dinamiku šumskog ekosustava (Pranjić, 1996). Kod vrsta
drveća umjerene zone mogu se pratiti promjene rasta i prirasta stabala. Na osnovi širine godova
u prošlosti mogu se ustanoviti periodi klimatskih promjena, kao i godine stresnih pojava
svakog stabla (Fritts, 1976). Stablo se razvija pod utjecajem združenih čimbenika čiji utjecaji
mogu biti kumulirajući, antagonistički ili pak sinergični, a registrirani su kumulativno u širini
goda. Međuovisnost svih životnih procesa bit je svih ekoloških odnosa. Razumjeti ekološku
25
međuovisnost znači razumjeti odnose. To zahtjeva pomak u percepciji, koji je karakterističan
za sustavno poimanje.
Interpretacijom događanja klimatskih promjena u prošlosti, biotičkih ili abiotičkih ekscesa
u ekosustavima linearnim modelom preko debljinskog prirasta može se doći do pogrešnih
zaključaka.
Za nelinearnu dendrokronologiju rasta i prirasta poslužile su mi analize stabala hrasta
lužnjaka broj 208, 210 i 215. Dendrogrami za sva tri stabla (graf. 20) su druga derivacija
debljinskog rasta koje pokazuju čudne oscilirajuće sinusoidne trajektorije. Stablo 208 s
prosječnim otporom k = 0.04783 imalo je stabilan i periodičan rast, stablo 215 s prosječnim
otporom k = 0.05891 imalo je nestabilan i neperiodičan rast, a stablo 210 s prosječnim otporom
k = 0.06777 imalo je neperiodičan rast, na rubu kaotičnog stanja. Na istom grafikonu nalazi se
dendrogram za srednje stablo preslikan kompleksnom jednadžbom debljinskog rasta (24) uz
otpor k = 0.05668 pokazuje jednu prigušenu sinusoidu neperiodičnog stanja.
k
Ψ
6
srednje stablo
kompleksna
jednadžba
analiza - 208
5
4
3
0,14
periodično
0,12
kaotično
0,1
2
analiza - 215
1
0
-1 0
0,16
analiza - 208
0,08
0,06
50
100
150
analiza - 210
analiza - 215
0,04
analiza - 210
0,02
-2
0
-3
godine
0
50
100
150 godine
Grafikon 20. Dendrogrami debljinskog rasta Grafikon 21. Vremenske serije otpora debljinskog
analiziranih stabala
rasta analiziranih stabala
Dinamika dendrograma ima vremensku seriju poput fraktala sa svojstvima samosličnosti na
vremenskoj skali. Iteracijama i usklađivanjem debljinskog prirasta rekonstruiraju se vremenske
serije otpora rastu. Iteracijama otpora rastu k obavlja se dijagnoza stanja stabilnosti u prostoru i
vremenu. Na grafikonu (graf. 21) preslikane su vremenske serije otpora debljinskom rastu i
njihov odnos prema periodičnom, neperiodičnom i kaotičnom stanju. Za sva tri stabla u dobi
oko prve kulminacije prirasta su početni uvjeti (butterfly effect) o kojem ovisi daljnji razvoj
događanja u šumi. Infinitezimalno male promjene na početku mogu dovesti do velikih promjena
na kraju. To se ponašanje opisuje kao obilježje kaosa. Stablo broj 208. poslije prve kulminacije
debljinskog prirasta prolazi period stabilnog stanja, a poslije 70. godine ulazi u period
nestabilnog stanja. Stablo 215 poslije 60. godine prolazi period neperiodičnog rasta, u 90. godini
ulazi u kaotično stanje, a poslije 130. godine stanje se stabiliziralo. Stablo 210 već poslije 50.
godine ulazi u kaotično stanje, a poslije 120. godine stanje se stabiliziralo. Za sva tri stabla
stresno razdoblje njihovog razvojnog tijeka započelo je u 70. godini starosti sastojine, a poslije
110. godine započelo je razdoblje stabilizacije. Tada su započele oplodne sječe. Rekonstrukcija
događanja u šumi za vremensko razdoblje (1920–1950) trebala bi dati odgovor za nestabilno i
kaotično ponašanje u rastu i razvoju analiziranih stabala hrasta lužnjaka.
Nelinearna dendrokronologija kvalitativna je metoda kojom se mogu precizno izmjeriti
promjene prirasta zbog biotičkih ili abiotičkih ekscesa. Metodama nelinearne dinamičke
analize mogu se spoznati male promjene u samo jednom parametru koji može prebaciti inače
stabilan sustav preko bifurkacijske točke u kvalitativno novo ponašanje. Kompleksna
jednadžba debljinske strukture kvalitativni je model za kvantitativnu numeričku nelinearnu
dendrokronologiju rasta i razvoja šuma.
26
15. MULTIDIMENZIJSKO MODELIRANJE DINAMIKE RASTA I RAZVOJA
ŠUME
Točno ili približno ponavljanje procesa u sustavu na analognom modelu naziva se
simulacija. Određivanje apstraktnog modela i realizacija odgovarajućeg modela u nekom
realnom sustavu naziva se modeliranje. Određivanje vladanja nekog sustava može se
prema tome provesti analitički ili numerički polazeći od njegovog apstraktnog modela ili
simuliranjem na fizikalnom modelu. U svim postupcima bitnu ulogu ima određivanje
apstraktnog sustava kao matematičkog modela realnog sustava. Prirasno-prihodne tablice
su jedan takav apstraktni model, itinerar rasta i razvoja šuma u prostoru i vremenu.
Kompleksne jednadžbe rasta i razvoja sastojinske debljinske i visinske strukture univerzalni su
alati za konstrukciju prirasno-prihodnih tablica. Rješenja kompleksnih jednadžbi su kompleksni
brojevi, topološka dimenzija šume, a skupovi kompleksnih brojeva fraktalna dimenzija šume.
Skupovi stabala tvore sastojinu, a kroz prirasno-prihodne tablice za jedan hektar površine
preslikavaju se dinamički sustavi preko razvojnog tijeka debljinske, visinske i volumne
strukture.
15.1. Modeliranje optimalne i disipativne strukture debljinskog rasta hrasta lužnjaka
Optimalna produkcija najveće novčane vrijednosti drvnih sortimenata hrasta lužnjaka
(Quercus robur L.) zahtjeva i optimalnu strukturu razvojnog tijeka debljinske distribucije
stabala. Kako bi izmodelirao i rekonstruirao optimalnu debljinsku distribuciju stabala fine
strukture godova, izabrao sam starost 100 godina, jer je 100 godina period maksimalnih
amplituda debljinskog prirasta. Kompleksna jednadžba debljinske strukture (24) univerzalni je
alat za takva multidimenzijska modeliranja.
Iteracijama koeficijenta otpora rastu usklađujemo brzinu rasta modela s brzinom rasta stabla
ili sastojine, istovremeno detektiramo disipativnu strukturu sastojine, drugim riječima obavljamo
dijagnozu stanja stabilnosti šume.
Iteracijama koeficijenta otpora rastu k ≤ 0.027 modeliramo širinu goda ≥ 3.000 mm.
Otporom debljinskom rastu k < 0.027 dobivamo grubu strukturu godova, jer preko 50% stabala
ima godove šire od 3 mm. Koeficijent otpora debljinskom rastu 0.05 kritična je točka stabilnosti
šume. Povećanjem otpora debljinskom rastu sastojina prelazi u nestabilno i neperiodično stanje.
Kada je koeficijent otpora debljinskom rastu veći od koeficijenta pulsacije k > ωd debljinski rast
postaje kaotičan.
Iteracijama otpora debljinskom rastu k = 0.027 hrast lužnjak u 100. godini postiže srednji
sastojinski prsni promjer 60.91 cm, prosječni debljinski prirast 6.091 mm, a prosječnu širinu
goda 3.046 mm. Dobiva se gruba struktura godova. Širina krošnje za taj prsni promjer iznosi
12.38 m. Sastojina je u stabilnom, ravnotežnom stanju.
Dobro je poznata empirijska spoznaja kako je hrast lužnjak u normalnom i stabilnom stanju
kada mu je srednji sastojinski prsni promjer u centrimetrima polovica njegove starosti.
Iteracijama otpora debljinskom rastu k = 0.0423 hrast lužnjak u 100. godini postiže srednji
sastojinski prsni promjer 50 cm, prosječni debljinski prirast 5.000 mm, a prosječnu širinu goda
2.500 mm. U debljinskoj strukturi sastojine 95% stabala ima finu strukturu godova. Drugim
riječima s otporom debljinskom rastu k = 0.0423 dobivamo optimalnu debljinsku strukturu.
Optimalna širina krošnje u toj dobi je 10.41 m. Sastojina je u stabilnom, ravnotežnom stanju.
Iteracijama otpora debljinskom rastu k = 0.050 hrast lužnjak u 100. godini postiže srednji
sastojinski prsni promjer 44.73 cm, prosječni debljinski prirast 4.473 mm, a prosječnu širinu
goda 2.236 mm. Širina krošnje za taj prsni promjer iznosi 9.46 m. Sastojina je u periodičnom
stanju.
Iteracijama otpora debljinskom rastu k = 0.060 hrast lužnjak u 100. godini postiže srednji
sastojinski prsni promjer 38.53 cm, prosječni debljinski prirast 3.853 mm, a prosječnu širinu
27
goda 1.926 mm. Širina krošnje za taj prsni promjer iznosi 8.33 m. Sastojina je u nestabilnom,
neperiodičnom stanju.
Iteracijama otpora debljinskom rastu k = 0.073 hrast lužnjak u 100. godini postiže srednji
sastojinski prsni promjer 31.65 cm, prosječni debljinski prirast 3.165 mm, a prosječnu širinu
goda 1.582 mm. Širina krošnje za taj prsni promjer iznosi 7.09 m. Sastojina je u kaotičnom
stanju.
ids mm
ds cm
ravnotežni p.d.
prirast 6,091 mm
optimalni p.d.
prirast 5.000 mm
periodični p.d.
prirast 4.473 mm
neperiodični p.d.
prirast 3,853 mm
kaotični p.d.
prirast 3.165 mm
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
ravnotežni
debljnski rast
optimalni
debljnski rast
periodični
debljinski rast
neperiodični
debljinski rast
kaotični
debljinski rast
100
80
60
40
20
0
0
50
100
150
godina
0
Grafikon 22. Razvojni tijek optimalnog
debljiskog prirasta u disipativnoj strukturi
50
100
150
godina
Grafikon 23. Razvojni tijek optimalnog
debljinskog rasta u disipativnoj strukturi
Na grafikonu (graf. 22). preslikan je tečajni godišnji debljinski prirast (dvostruka širina
goda) srednje sastojinskog stabla za optimalnu i disipativnu strukturu, a na grafikonu (graf. 23)
preslikan je razvojni tijek debljinskog rasta srednje sastojinskih stabala za optimalnu i
disipativnu strukturu hrasta lužnjaka.
Na grafikonu (graf. 24.) prikazan je odnos optimalnog debljinskog rasta hrasta lužnjaka i
debljinskog rasta prema prirasno-prihodnim tablicama Špiranca (Špiranec, 1975) i Cestara
(Bezak i dr.1989). Optimalni debljinski rast nelinearni je model s dvije kulminacije debljinskog
prirasta, a debljinski rast kod Špiranca i Cestara prikazan je po linearnom modelu s jednom
kulminacijom i dvije točke infleksije. Optimalni debljinski rast podjednak je sa Špirančevim na
I. bonitetu do 90. godine, a potom dolazi do odstupanja zbog druge kulminacije debljinskog
prirasta.
ds cm
optimalni
debljinski rast
Špiranec
I. bonitet
Špiranec
II. bonitet
Špiranec
III. bonitet
Cestar EGT
II - G - 10; 20
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
50
100
150
godina
Grafikon 24. Optimalni debljinski rast hrasta lužnjaka i debljinski rast domaćih autora
Za disipativnu strukturu hrasta lužnjaka na I. bonitetu konstruirao sam distribucije prsnih
promjera za disipativna stanja (Tablice 6, 8, 10 i 12). Na grafikonu (graf. 25) relativne su
distribucije prsnih promjera hrasta lužnjaka optimalnog stanja na I. bonitetu.
28
%
Relativna distribucija optimalnog stanja hrasta lužnjaka (Quercus robur . L)
I. bonitet
0,600
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
0,500
0,400
0,300
0,200
0,100
2,
50
7,
50
12
,5
0
17
,5
0
22
,5
0
27
,5
0
32
,5
0
37
,5
0
42
,5
0
47
,5
0
52
,5
0
57
,5
0
62
,5
0
67
,5
0
72
,5
0
77
,5
0
82
,5
0
87
,5
0
92
,5
0
97
,5
10 0
2,
5
10 0
7,
5
11 0
2,
50
0,000
-0,100
cm
Grafikon 25. Relativna distribucija optimalnog stanja hrasta lužnjaka
15.2. Kompleksni vektorski prostor debljinskog prirasta u disipativnoj strukturi
Istovremeno kada mjerimo brzinu debljinskog rasta hrasta lužnjaka obavljamo i dijagnozu
stabilnosti sastojine. Potrebno je samo izmjeriti prsni promjer srednje sastojinskog stabla ds i
utvrditi starost sastojine kako bi kompleksnom jednadžbom debljinske strukture (24)
rekonstruirali razvojni tijek nizova debljinskog prirasta po dobnim razredima. To se može
učiniti za svaku sastojinu, bez bušenja stabala Preslerovim svrdlom. Potrebno je manje
vremena od bušenja jednog jedinog stabla.
Rješenja kompleksne jednadžbe debljinskog rasta (24) i linearna relacija (27) uz koeficijent
otpora k = 0.0423 preslikavaju kompleksni vektorski prostor optimalnog debljinskog prirasta.
Istom jednadžbom dobiva se razvojni tijek debljinskog prirasta i parametri nizova debljinskog
prirasta u disipativnoj strukturi. U tablici 3. prikazan je razvojni tijek tečajnog godišnjeg
debljinskog prirasta i parametri prirasnih nizova za optimalno i disipativno stanje.
Tablica 3. Tečajni godišnji debljinski prirast i parametri prirasta za optimalno stanje u
disipativnoj strukturi hrasta lužnjaka
DisipaOptimalno
Periodično
Neperiodično
Kaotično
tivna
stanje
stanje
stanje
stanje
stanja
k = 0.0423
k = 0.0500
k = 0.0600
k = 0.0730
Dobni
razredi
God.
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
id
2.325
4.597
5.818
6.034
5.722
5.325
5.070
4.993
5.026
5.092
5.142
5.162
5.161
5.151
5.141
a
b
2.325
2.272
1.221
0,217
-0.312
-0.398
-0.254
-0.077
0.033
0.065
0.050
0,020
-0.013
-0.010
-0.009
0.000
0.336
0.361
0.310
0.246
0.192
0.153
0.127
0.111
0.101
0.092
0.085
0.078
0.073
0.067
id
2.153
4.100
5.069
5.229
5.016
4.766
4.617
4.575
4.592
4.622
4.644
4.652
4.651
4.648
4.645
a
2.152
1..948
0.964
0.159
-0.212
-0.251
-0.148
-0.041
0.016
0.030
0.021
0.008
-0.001
-0.003
-0.003
id = a + bd
mm
b
id
0.000
0.344
0.362
0.306
0.242
0.190
0.154
0.130
0.114
0.103
0.093
0.085
0.079
0.073
0.068
1.948
3.549
4.260
4.367
4.238
4.101
4.027
4.008
4.015
4.026
4.033
4.036
4.036
4,035
4,034
a
b
1.948
1.595
0.718
0.107
-0.129
-0.138
-0.073
-0.018
0.007
0.011
0.007
0.002
-0.000
-0.001
-0.001
0.000
0.355
0.363
0.302
0.238
0.189
0.155
0.132
0.116
0.104
0.095
0.086
0.079
0.073
0.069
id
1.710
2.940
3.426
3.489
3.422
3.359
3.329
3.323
3.325
3.328
3.329
3.330
3.330
3.330
3.330
a
1.710
1.230
0.486
0.063
-0.067
-0.063
-0.029
-0.007
0.002
0.003
0.002
0.001
-0.000
-0.000
-0.000
b
0.000
0.368
0.364
0.296
0.233
0.187
0.155
0.133
0.117
0.105
0.095
0.086
0.080
0.074
0.068
29
Svaka sastojina ima svoju brzinu rasta. Potrebno je samo detektirati stanje sastojine u
disipativnoj strukturi i primijeniti parametre debljinskog prirasta za obračun volumnog prirasta.
Parametri debljinskog prirasta po dobnim razredima su standardni i vrijede za sva vremena.
Bušenje stabala Preslerovim svrdlom potpuno je nepotrebno jer su izvrtci neupotrebljivi za
procjenu budućeg rasta i razvoja sastojine.
15.3. Kompleksni vektorski prostor rasta i prirasta širina krošanja u disipativnoj strukturi
Rješenja kompleksne jednadžbe širina krošanja (25) daje kompleksne brojeve (graf. 19),
topološku dimenziju krošnje hrasta lužnjaka. Integracija kompleksnih brojeva daje prirast, a
daljnja integracija preslikava rast krošnje u širinu, fraktalnu dimenziju krošnje.
Kompleksni vektorski prostor rasta krošnje u širinu po dobnim razredima (graf. 14)
pokazuje potpunu korelaciju s prsnim promjerom. Vrlo važna spoznaja. Umjesto jednadžbe
(24) praktičnija je linearna relacija (28), kojom se dobiva optimalna širina krošnje hrasta
lužnjaka. Površina horizontalne projekcije širine krošnje srednje sastojinskog stabla određuje
broj stabala po dobnim razredima. Optimalni broj stabala na jednom hektaru površine
izračunava se preko optimalne širine krošnje srednje sastojinskog stabla Ds po formuli:
N = 10000 / Ds2 * π / 4
(29)
Jaka linearna korelacija širina krošanja Ds s prsnim promjerom ds omogućuje obračun
optimalnog broja stabala na jedinici površine, a to je jedan hektar površine. U Tablici 4.
prikazan je optimalni prirast i rast krošnje obračunat kompleksnom jednadžbom širenja krošnje
(24) i rast krošnje obračunat linearnom relacijom (28).
Tablica 4. Razvojni tijek prirasta i rasta širine krošanja u optimalnoj i disipativnoj strukturi
Dobni
razredi
God.
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Kompleksna
jednadžba 24
Optimalni prirast i
rast krošnje u širinu
d cm
m
1.700
1.171
0.616
1.026
1.129
0.919
0.944
1.026
0.988
0.965
0.989
0.991
0.980
0.983
0.987
1.70
2.87
3.48
4.51
5.64
6.56
7.50
8.53
9.52
10.48
11.47
12.46
13.44
14.42
15.41
Rast krošnje u širinu
Harmonično
Ravnotežno
Optimalno
1.90
3.12
4.82
6.62
8.23
9.50
10.51
11.41
12.36
13.47
14.72
16.05
17.38
18.64
19.82
1.85
2.90
4.30
5.77
7.12
8.29
9.32
10.31
11.32
12.38
13.50
14.64
15.77
16.89
18.00
1.78
2.61
3.66
4.76
5.79
6.76
7.67
8.58
9.49
10.41
11.34
12.27
13.21
14.14
15.07
Periodično
Neperiodično
Kaotično
1.75
2.49
3.41
4.35
5.26
6.12
6.96
7.79
8.62
9.46
10.30
11.14
11.98
12.82
13.66
1.71
2.35
3.12
3.91
4.68
5.42
6.15
6.88
7.60
8.33
9.06
9.79
10.52
11.25
11.98
1.67
2.20
2.82
3.45
4.07
4.68
5.28
5.88
6.48
7.09
7.69
8.29
8.89
9.50
10.10
m
15.4. Prirasno-prihodne tablice optimalne i disipativne strukture
Prirasno-prihodne tablice okvirni su model, itinerar rasta i prirasta sastojinske strukture u
prostoru i vremenu. Univerzalni alati za konstrukciju prirasno-prihodnih tablica su kompleksne
jednadžbe rasta i razvoja sastojinske debljinske i visinske strukture. Razvojni tijek debljinskog
rasta srednjeg stabla ds izračuna se kompleksnom jednadžbom 24, a razvojni tijek visinskog
rasta hs kompleksnom jednadžbom 26. Broj stabala na jednom hektaru površine N izračuna se
formulom 29, a volumen sastojine V regresijskim modelom izjednačenja volumena stabla
regresijskim modelom 13. Konstrukcija prirasno-prihodnih tablica kompleksnim jednadžbama i
regresijskim modelima u Excelu brza je i jednostavna.
U tablicama 5, 7, 9 i 11 prikazane su prirasno-prihodne tablice za optimalno stanje,
periodično, neperiodično i kaotično stanje na prvom bonitetu. Itinerar rasta i razvoja šuma
hrasta lužnjaka (Quercus robur L.) u prostoru i vremenu.
30
Broj stabala N/ha može se prikazati Levakovićevim distribucijama za praćenje razvoja
sastojinske strukture po debljinskim stupnjevima za dobne razrede raspona širine 10 godina.
Kako bi dobio distribucije s prsnim promjerima koje odgovaraju prsnim promjerima, temeljnici
i volumenu prirasno-prihodnih tablica optimalnog stanja, periodičnog, neperiodičnog i
kaotičnog stanja poslužio sam se jednadžbom Levakovića (7) i Hrenovim jednadžbama (Hren,
1979; Hren i dr. 1988), jednadžbe 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10 i 11.
U tablicama 6, 8, 10, i 12. prikazani su teoretski parametri Levakovićeve funkcije za
izražavanje i praćenje razvoja sastojinske debljinske strukture: srednji prsni promjer ds, kvadrat
disperzije s22, varijaciona širina Vš i parametri c1 i c2. Parametri c1 i c2 pokazuju stupanj
asimetrije distribucije stabala. Podjednaki c1 i c2 preslikavaju pravilnu regularnu strukturu, veći
c2 preslikava lijevu asimetriju kod mladih sastojina, a veći c1 preslikava desnu asimetriju
distribucije stabala kod zrelih sastojina. U istim tablicama su teoretske distribucije broja stabala
po debljinskim stupnjevima koja bi morala ostati poslije sječe.
Prirasno-prihodne tablice i distribucije prsnih promjera nacrti su za izvođenje uzgojnih
radova – proreda. Opće je poznata spoznaja kako su uzgojni zahvati u mladim sastojinama, od
presudne važnosti za daljnji razvoj događanja u šumi, početni uvjeti. Proredama do 70. godine
starosti sastojine može se modelirati budući razvoj debljinske strukture. Izostanak uzgojnih
radova dovodi do prirodne disipacije stabala u disipativnoj strukturi sastojine.
Sveukupna maksimalna produkcija, odnosno sveukupni maksimalni godišnji etat (Es )
sastoji se od godišnjeg etata glavnog prihoda (Eg) i godišnjeg etata prorede (Ep). U dobi od 120.
godina maksimalni godišnji etat optimalne strukture, periodičnog, neperiodičnog i kaotičnog
stanja sastojina hrasta lužnjaka iznosi:
optimalno
Es = Eg + Ep
⇒ 3.89 + 4.33 = 8.22 m3/ha
periodično
Es = Eg + Ep
⇒ 3.71 + 4.01 = 7.72 m3/ha
neperiodično
Es = Eg + Ep
⇒ 3.49 + 3.61 = 7.09 m3/ha
kaotično
Es = Eg + Ep
⇒ 3.20 + 3.06 = 6.26 m3/ha
Akademik Klepac je u svojim eksperimentalnim istraživanjima utvrdio za hrast lužnjak
maksimalnu produkciju od 7-8 m3/ha. Sveukupna produkcija od 7-8 m3/ha je maksimalni iznos
šumske produkcije za hrast u Centralnoj Europi, a u našim ekološkim uvjetima to je iznos koji
se postiže redovnim gospodarenjem, (Klepac, 1982).
Tablice 5, 7, 9 i 11 preslikavaju produkciju s korom. Kako je dvostruka širina kore u 100.
godini 3.00 cm to je u 100. godini prsni promjer periodičnog stanja bez kore je 41.73 cm.
Razlika maksimalne produkcije s korom i bez kore daje maksimalnu godišnju produkciju kore.
periodično s korom
Es = Eg + Ep
⇒ 3.71 + 4.01 = 7.72 m3/ha
periodično bez kore
Es = Eg + Ep
⇒ 3.22 + 3.41 = 6.63 m3/ha
produkcija kore
Es = Eg + Ep
⇒ 0.49 + 0.60 = 1.09 m3/ha
U starosti 100 godina, ukupna produkcija s korom periodičnog stanja iznosi 926.8 m3/ha, a
bez kore 795.1 m3/ha. Razlika je produkcija kore, 131.7 m3/ha ili učešće kore u postotku
14.2%. Tečajni godišnji volumni prirast s korom iznosi 7.40 m3/ha, a bez kore 6.43 m3 /ha.
Razlika 0.97 m3 /ha volumni je prirast kore.
31
Tablica 5. Prirasno-prihodne tablice hrasta lužnjaka (Quercus robur L.)
I.
bonitet – optimalno stanje
Tečajni
Zbroj
Ukupna Postotak
Glavna sastojina
Prorede
tečajnog
godišnji
God.
dS
hS
G
cm
m
2.32
2.98
N
10
4019
20
1869
30
950
40
562
50
380
60
279
70
216
80
173
90
141
100
117
110
99
120
85
130
73
140
64
150
56
6.92
12.73
18.77
24.49
29.82
34.89
39.88
44.90
50.00
55.14
60.30
65.46
70.61
75.75
m2
8.93
13.97
17.52
20.96
24.65
28.03
30.84
33.19
35.15
36.62
37.51
37.77
37.80
37.80
1.7
proreda
V
N
I
V
m3
Kom
%
2149
53.5
1.4
1.4
919
49.1
15.7
17.1
389
40.9
35.2
52.3
15.5
182
32.4
45.2
97.4
17.9
101
26.6
51.2
148.6
19.5
62
22.3
54.8
203.3
20.7
43
20.1
59.5
262.9
21.6
32
18.3
62.2
325.0
22.4
24
16.9
64.2
389.3
23.1
18
15.7
65.4
454.6
23.6
14
14.6
64.9
519.5
24.1
12
13.7
64.1
583.6
24.6
9
12.7
61.1
644.8
24.9
8
12.0
58.7
703.05
25.3
volumni.
prirast
116.29
3.07
21.84
6.98
10.29
8.85
7.03
9.79
5.44
10.44
4.31
10.58
3.50
10.37
2.99
10.18
2.62
9.97
2.28
9.47
1.96
8.72
1.66
7.74
1.48
7.13
1.37
6.74
33.4
86.0
103.1
139.3
191.6
192,1
289.5
245.3
393.9
296.3
499.7
340.1
603.3
380.1
705.1
415.6
804.9
445.0
899.6
467.3
986.8
480.6
1064.2
499.4
1135.5
507.3
Poprečni prirast
Glavne
sastojine
Sveukupna
Produkcija
m3
%
2.6
31.9
12.1
god.vol.
prirasta
m3
2.6
7.0
produkcija
1202.9
0.26
0.26
1.60
1.67
2.87
3.44
3.48
4.79
3.84
5.79
4.09
6.57
4.23
7.14
4.26
7.54
4.22
7.83
4.17
8.05
4.05
8.18
3.89
8.22
3.70
8.19
3.50
8.11
3.33
8.02
Tablica 6. Distribucije i parametri Levakovićeve funkcije optimalnog stanja hrasta lužnjaka
Distribucije prsnih promjera optimalnog stanja poslije sječe
Cm/g
.
2.5
7.5
12.5
17.5
22.5
27.5
32.5
37.5
42.5
47.5
52.5
57.5
62.5
67.5
72.5
77.5
82.5
87.5
92.5
97.5
102.5
107.5
112.5
Ukupno
10
20
30
40
50
1869
0
515
333
95
7
0
0
144
255
143
20
0
0
18
73
115
106
56
11
0
0
7
33
62
74
62
33
8
0
562/
380
380/
279
4019/
1869
1869/
950
950/
562
60
70
0
5
19
36
48
48
36
19
5
0
0
3
12
23
31
35
31
23
12
3
0
279/
216
216/
173
80
90
0
2
8
15
21
24
25
21
15
8
2
0
0
2
5
10
15
18
19
17
14
10
5
2
0
173/
141
141/
117
100
110
120
0
1
4
7
10
13
14
14
13
11
7
4
1
0
0
1
4
6
9
11
12
12
11
9
6
4
0
0
1
3
5
6
8
9
9
9
8
6
5
3
1
0
117/
99
99/
85
85/
73
130
140
150
0
1
2
4
5
6
7
7
7
7
6
5
4
2
1
0
0
2
3
4
5
5
6
6
6
5
5
4
3
2
0
0.7
1.6
2.5
3.4
4.2
4.8
5.3
5.5
5.5
5.3
4.8
4.2
3.4
2.5
1.6
0.7
73/
64
0
64/
56
56
Parametri Levakovićeve funkcije za izražavanje i praćenje razvoja sastojinske strukture
ds
2
S2
2.32
6.40
13.46
20.26
23.60
30.98
33.68
41.26
43.84
51.59
56.02
59.18
65.66
70.04
77.03
0,0247
0.0262
0.0278
0.0293
0.0307
0.0320
0.0333
0.0347
0.0360
0.037
0.0387
0.04
0.0414
0.0427
Vš
20
20
30
35
40
45
50
55
60
60
65
70
75
80
c1
0.451
2,417
2.851
2.767
2.571
2.405
2.254
2.102
1.972
1.852
1.738
1.625
1.519
1.427
c2
2.960
3.841
3.131
2.765
2.571
2.407
2.253
2.103
1.972
1.850
1.738
1.625
1.519
1.427
32
Tablica 7. Prirasno-prihodne tablice hrasta lužnjaka (Quercus robur L.)
I.
bonitet – periodično stanje
Tečajni
Zbroj
Ukupna Postotak
Poprečni prirast
Glavna sastojina
Prorede
tečajnog
godišnji
God.
hS
G
V
N
i
cm
m
m2
m3
Kom
%
2.15
2.94
1.5
2.3
2104
50.6
1.2
1.2
959
46.7
13.1
14.3
422
38.5
29.6
43.8
213
31.6
40.2
84.0
120
26.1
46.2
130.3
77
22.7
51.9
182.2
53
20.2
56.0
238.1
38
18.3
58.9
297.0
29
17.0
61.2
358.2
22
15.6
61.8
420.0
17
14.5
61.5
481.5
14
13.5
60.3
541.7
11
12.7
58.2
599.9
9
11.9
56.0
655.9
N
10
4158
20
2054
30
1095
40
673
50
460
60
340
70
263
80
210
90
171
100
142
110
120
120
103
130
89
140
77
150
68
proreda
dS
6.25
11.32
16.55
21.56
26.33
30.94
35.52
40.11
44.73
49.38
54.03
58.68
63.33
67.97
8.79
13.77
17.30
20.71
24.33
27.66
30.43
32.74
34.65
36.07
36.91
37.13
37.15
37.15
6.3
V
14.5
16.8
18.5
19.8
20.8
21.7
22.4
23.0
23.5
24.0
24.4
24.8
god.vol.
prirasta
m3
volumni.
prirast
116.6
2.69
22.04
6.18
10.43
8.00
7.07
9.00
5.54
9.81
4.39
10.06
3.60
9.98
3.05
9,81
2.65
9.54
2.30
9.07
1.96
8.32
1.66
7.40
1.49
6.85
1.38
6.49
29.2
76.7
91.0
127.2
171.0
177.0
261.0
228.8
359.1
277.5
459.6
321.3
559.5
360.5
657.6
394.8
753.0
423.7
843.7
445.4
926.8
459.1
1000.8
469.4
1069.4
478.4
Glavne
sastojine
Sveukupna
Produkcija
m3
%
2.3
28.0
11.0
produkcija
1134.3
0.23
0.23
1.40
1.46
2.56
3.03
3.18
4.28
3.54
5.22
3.82
5.98
3.96
6.57
4.02
6.99
4.01
7.31
3.95
7.53
3.85
7.67
3.71
7.72
3.53
7.70
3.35
7.64
3.19
7.58
Tablica 8. Distribucije i parametri Levakovićeve funkcije periodičnog stanja hrasta lužnjaka
Distribucije prsnih promjera periodičnog stanja poslije sječe
cm/g
10
20
30
40
50
60
2.5
7.5
12.5
17.5
22.5
27.5
32.5
37.5
42.5
47.5
52.5
57.5
62.5
67.5
72.5
77.5
82.5
87.5
92.5
97.5
102.5
107.5
112.5
Ukupno
2054
0
691
308
87
9
0
0
270
277
113
13
0
0
56
130
141
94
35
4
0
0
21
64
91
85
55
21
3
0
0
4
25
48
62
60
42
19
3
0
460/
340
340/
263
4158/
2054
2054/
1095
1095/
673
673/
460
70
80
0
3
15
30
42
45
39
25
11
0
0
2
10
19
28
32
31
25
16
7
1
0
263/
210
210/
171
90
0
2
8
16
23
27
26
20
13
6
1
0
171/
142
100
110
0
2
7
14
19
22
22
17
11
5
1
0
0
1
4
9
14
17
18
16
12
8
3
1
0
142/
120
120/
103
120
0
1
3
7
10
13
14
13
12
9
5
2
0
103/
89
130
0
1
2
5
7
10
11
10
8
6
4
2
0
89/
77
140
150
0
1
3
5
7
8
9
9
8
7
5
3
2
1
0
0
0.4
1.6
2.2
4.9
6.4
7.5
8.2
8.3
7.8
6.8
5.4
3.9
2.3
1.1
0.2
0
77/
68
68
Parametri Levakovićeve funkcije za izražavanje i praćenje razvoja sastojinske strukture
ds
s 22
Vš
c1
c2
2.15
5.89
12.17
17.75
21.01
25.58
32.65
35.43
40.31
45.14
48.07
54.97
57.71
62.58
67.56
0,0240
0.0270
0.0276
0.0282
0.0287
0.0293
0.0298
0.0303
0.0308
0.0313
0.0318
0.0324
0.0329
0.0334
20
0.220
3.344
20
1.624
3.826
30
2.164
3.588
35
2.363
3.356
40
2.753
2.953
45
2.661
2.866
50
2.589
2.793
50
2.520
2.725
50
2.451
2,650
60
2.386
2.594
60
2.323
2.532
65
2.250
2.459
70
2.192
2.400
75
2.134
2.343
33
Tablica 9. Prirasno-prihodne tablice hrasta lužnjaka (Quercus robur L.)
I. bonitet – neperiodično stanje
Tečajni
Zbroj
Ukupna Postotak
Poprečni prirast
Glavna sastojina
Prorede
tečajnog
godišnji
God.
hS
G
V
N
I
cm
m
m2
m3
Kom
%
1.94
2.91
1.3
1.9
2049
47.0
0.9
0.9
998
43.3
10.3
11.2
475
36.3
24.2
35.3
252
30.2
33.8
69.2
148
25.4
40.4
109.5
97
22.3
46.4
155.9
68
20.1
51.2
207.2
49
18.0
53.6
260.8
37
16.7
56.3
317.1
28
15.5
57.2
374.3
22
14.4
57.1
431.4
18
13.4
56.2
487.6
14
12.6
54.3
541.9
12
11.8
52.5
594.4
N
10
4354
20
2306
30
1308
40
833
50
581
60
433
70
337
80
269
90
220
100
183
110
155
120
133
130
115
140
101
150
89
proreda
dS
5.48
9.75
14.11
18.35
22.45
26.48
30.49
34.50
38.53
42.56
46.60
50.63
54.67
58.70
8.67
13.58
17.09
20.48
24.05
27.33
30.05
32.33
34.19
35.57
36.36
36.54
36.60
36.60
5.4
V
15.4
17.2
18.5
19.6
20.6
21.4
22.1
22.7
23.2
23.6
24.0
volumni.
prirast
117.1
2.27
22.39
5.31
10.47
6.97
7.18
8.05
5.63
8.94
4.51
9.36
3.67
9.35
3.11
9.24
2.68
9.00
2.31
8.53
1.97
7.84
1.66
6.97
1.52
6.56
1.39
6.19
24.6
77.7
112.0
147.4
158.7
227.8
207.7
317.3
254.9
410.9
297.2
504.3
336.0
596.8
369.7
686.8
397.9
772.2
419.9
850.6
432.7
920.3
444.0
985.9
453.4
Glavne
sastojine
Sveukupna
Produkcija
m3
%
1.9
66.5
13.0
god.vol.
prirasta
m3
23.7
9.8
produkcija
1047.8
0.19
0.19
1.18
1.23
2.22
2.59
2.80
3.68
3.17
4.56
3.46
5.29
3.64
5.87
3.71
6.30
3.73
6.63
3.70
6.87
3.62
7.02
3.49
7.09
3.33
7.08
3.17
7.04
3.02
6.98
Tablica 10. Distribucije i parametri Levakovićeve funkcije neperiodičnog stanja
Distribucije prsnih promjera neperiodičnog stanja poslije sječe
Cm/g
10
20
30
40
50
60
70
2.5
7.5
12.5
17.5
22.5
27.5
32.5
37.5
42.5
47.5
52.5
57.5
62.5
67.5
72.5
77.5
82.5
87.5
92.5
97.5
102.5
107.5
112.5
2306
0
671
400
187
50
0
0
458
279
87
9
0
0
246
179
100
43
12
1
0
0
71
119
114
78
12
1
0
0
56
92
88
61
30
9
1
0
0
5
24
48
63
61
44
21
4
0
950/
562
562/
380
589/
438
438/
341
341/
273
Ukup.
4020/
1869
!869/
950
80
90
0
4
18
37
50
50
38
20
4
0
0
2
12
24
35
39
34
24
11
2
0
273/
223
223/
186
100
110
0
2
9
20
28
32
30
21
11
2
0
0
1
6
13
20
24
25
21
14
7
2
0
186/
157
157/
134
120
130
0
1
5
11
17
21
21
18
13
6
2
0
0
1
4
8
12
16
17
16
13
9
4
1
0
134/
117
117/
102
140
0
1
4
8
11
14
15
14
11
7
3
1
0
102/
90
150
0
1
3
7
11
14
15
14
11
8
4
1
0
90
Parametri Levakovićeve funkcije za izražavanje i praćenje razvoja sastojinske strukture
ds
S 22
Vš
c1
C2
1.94
7.38
10.99
13.40
17.97
22.71
25.77
31.06
33.49
38.80
41.60
46.55
48.93
53.21
58.89
0.0263
0.0268
0.0273
2.078
0,0282
0.0287
0.0291
0.0296
0.0300
0.0304
0.0309
0.0313
0.0318
0.0322
20
20
30
35
35
40
40
45
45
50
50
55
55
55
0.055
1.927
9.871
3.693
0.424
3.368
1.546
3.668
1.868
3.544
2,767
2,910
2,810
2,781
2,715
2,731
2,715
2,616
2,641
2.582
2,607
2,481
2,548
2,437
2,403
2,458
2,406
2,358
34
Tablica 11. Prirasno-prihodne tablice hrasta lužnjaka (Quercus robur L.)
I. bonitet – kaotično stanje
Tečajni
Zbroj
Ukupna Postotak
Poprečni prirast
Glavna sastojina
Prorede
tečajnog
godišnji
God.
hS
G
V
N
I
cm
M
m2
m3
Kom
%
1.71
2.88
1.1
1.6
1935
42.4
0.7
0.7
1030
39.1
7.4
8.1
531
33.2
18.0
26.1
301
28.1
26.5
52.7
187
24.4
33.3
85.9
125
21.4
38.9
124.8
88
19.4
43.7
168.6
65
17.7
47.1
215.7
50
16.5
50.0
265.7
38
15.0
50.3
316.0
30
14.0
50.7
366.7
24
13.0
50.1
416.8
20
12.4
49.5
466.3
16
11.5
47.1
513.5
N
10
4565
20
2631
30
1601
40
1070
50
769
60
581
70
457
80
368
90
303
100
253
110
215
120
185
130
161
140
141
150
125
proreda
dS
4.65
8.07
11.56
14.98
18.34
21.67
24..99
28.32
31.65
34.98
38.31
41.64
44.97
48.30
8.55
13.38
16.87
20.23
23.75
26.96
29.64
31.87
33.70
35.02
35.77
35.90
35.90
35.90
4.8
V
13.6
15.4
16.8
18.1
19.1
19.9
20..7
21.4
21.9
22.4
22.9
volumni.
Prirast
117.00
1.81
22.50
4.28
10.65
5.79
7.30
6.88
5.73
7.83
4.59
8.33
3.74
8.44
3.16
8.41
2.70
8.21
2.32
7.79
1.98
7.19
1.66
6.40
1.51
6.00
1.40
5.74
19.7
62.5
94.3
120.4
136.5
189.2
181.5
267.4
225.9
350.8
266.6
435.2
303.6
519.3
335.7
601.3
363.3
679.3
384.5
751.2
398.4
815.2
408.9
875.2
419.2
Glavne
sastojine
Sveukupna
Produkcija
m3
%
1..6
54.4
11.2
god.vol.
prirasta
m3
19.0
8.2
produkcija
932.6
0.15
0.15
0.95
0.98
1.81
2.08
2.36
3.01
2.73
3.78
3.02
4.46
3.23
5.01
3.33
5.44
3.37
5.77
3.36
6.01
3.30
6.18
3.20
6.26
3.06
6.27
2.92
6.25
2.79
6.22
Tablica 12. Distribucije i parametri Levakovićeve funkcije kaotičnog stanja
Distribucije prsnih promjera kaotičnog stanja poslije sječe
cm/g.
10
20
30
40
50
60
70
80
2.5
7.5
12.5
17.5
22.5
27.5
32.5
37.5
42.5
47.5
52.5
57.5
62.5
67.5
72.5
77.5
82.5
87.5
92.5
97.5
102.5
107.5
112.5
2631
0
1207
389
5
0
666
308
87
9
0
0
361
250
119
35
4
0
0
151
186
141
75
25
3
0
0
56
114
125
94
50
16
2
0
0
13
52
90
98
74
35
6
0
0
5
25
52
70
70
51
25
5
0
2631/
1601
1601/
1070
1070/
769
769/
581
581/
457
457/
368
368/
303
Ukup.
4565/
2631
90
100
110
0
9
31
52
60
52
33
14
2
0
0
3
16
32
43
45
38
25
11
2
0
0
2
9
19
29
34
34
28
19
9
2
0
303/
253
253/
215
215/
185
120
130
0
3
11
21
28
30
28
21
13
5
1
0
0
1
6
13
19
23
24
22
17
10
5
1
0
185/
161
161/1
141
140
150
0
2
8
14
19
21
21
17
12
7
3
1
0
0
1
4
9
15
19
21
20
17
12
6
1
0
141/
125
125
Parametri Levakovićeve funkcije za izražavanje i praćenje razvoja sastojinske strukture
ds
s 22
Vš
c1
c2
1.71
4.34
5.95
12.31
15.57
18.86
22.57
26.41
28.97
32.71
36.23
39.28
43.15
46.19
49.52
0,0247
0.0262
0.0278
0.0293
0.0279
0.0283
0,0287
0,0291
0,0295
0.0299
0.0303
0.0307
0.0311
0.0315
15
20
25
30
35
35
40
40
45
50
50
55
55
55
0.137
3.094
0.308
3.419
0.564
3.397
1.188
3.389
1.841
3.613
2.782
3.092
2.853
2.857
2.449
3.082
2.590
2.872
2.677
2.684
2.362
2.850
2.456
2.679
2.164
2.806
2.566
2.364
35
15.5. Primjena multidimenzijskog modeliranja tijekom uređivanja i planiranja etata
Etat je drvna zaliha ili površina šuma koja je osnovom gospodarenja predviđena za sječu.
Etat se određuje prema proizvodnim mogućnostima staništa za svaki uređajni razred, po
odsjecima i vrsti drveća, a razrađuje se po grupama sortimenata na razini gospodarske jedinice.
Potrajnost prihoda etata planira se po uređajnim razredima glavnih gospodarskih vrsta drveća.
Etat prethodnog prihoda jednodobnih sastojina visokog uzgojnog oblika određuje se na
temelju propisane njege šuma proredom za svaku sastojinu po odjelima odnosno odsjecima,
uspoređujući stanišne prilike, drvnu zalihu, strukturu i dob sastojine s normalnim stanjem.
Intenzitet proreda kvantitativno je određen etatom, a kvaliteta je zavisila od iskustva
uzgajivača. Uređivač tijekom određivanja smjernica gospodarenja i utvrđivanja intenziteta
proreda uzima u obzir samo temeljnicu, volumen sastojine i volumni prirast, a distribuciju
broja stabala prikazuje samo kvantitativno.
Zadatak multidimenzijskog modeliranja je izrada nacrta kao pomoć kod izvedbe uzgojnog
zahvata, proreda. Ti nacrti su prirasno-prihodne tablice sa distribucijama poslije sječe.
Obradom distribucije prsnih promjera jednadžbama (3, 4, 6, 7, 8, 9, 10 i 11) izračunaju se
parametri Levakovićeve funkcije (7) za izmjeren broj stabala. Parametrima normalne strukture
izračuna se teoretska distribucija s optimalnim brojem stabala. Primjenjuju se distribucije
poslije sječe za optimalna i disipativna stanja. Razlika broja stabala izmjerene distribucije po
debljinskim stupnjevima i teoretske distribucije poslije sječe daje broj stabala za proredu.
Modeliranjem težimo regularnoj strukturi normalnog broja stabala i obrasta. Obrast treba
približiti normalnom sukladno stanju u kojem se nalazi. Period oko prve kulminacije prirasta
početni su uvjeti za daljnji razvoj događanja u šumi. Multidimenzijskim modeliranjem treba
težiti uzgoju stabilnih sastojina hrasta lužnjaka najveće novčane vrijednosti drvnih sortimenata.
Za obradu debljinske i volumne strukture izrađen je program u Exscelu. Parametri
visinskih krivulja po dobnim razredima su standardni za I bonitet (Tablica 1), a parametri
volumena stabla za hrast lužnjak (13) ugrađeni su u program. U program su ugrađeni i
parametri debljinskog prirasta za optimalno i disipativna stanja (Tablica 3).
Sječom stabala predviđenih za proredu dobivamo distribuciju poslije sječe. Uz obračun
jednoulaznih volumnih tablica dobiva se volumen izmjerene sastojine poslije sječe. Distribuciji
poslije sječe dodaje se budući debljinski prirast i dobiva se buduća distribucija prsnih promjera.
Uz obračun 10 godina starijih jednoulaznih volumnih tablica dobiva se volumen buduće
sastojine, a razlika je budući volumni prirast.
Buduća distribucija prsnih promjera po debljinskim stupnjevima izračunava se
Levakovićevom funkcijom (5) i Hrenovim jednadžbama (8, 9, 10 i 11).
Test metode multimenzijskog modeliranja obavio sam za sve dobne razrede raspona
starosti 10 godina. Modeliranje u odsjecima 51c, 27c, 18c, 43a, 6a, 23c, 118b i 47b
gospodarske jedinice Slavir su modeli 1, 8, 9, 10, 11, 12, 13 i 14. Kako u Slaviru nedostaju
sastojine 40 do 80 godina starosti to sam testirao odsjeke 128a, 127a, 8b, 91a i 106d u
gospodarskoj jedinici Posavske šume – Sunja, modeli: 2, 3, 4, 5, 6 i 7.
Kako multidimenzijski modelirati sastojine optimalne i održive strukture? Praktičnu
primjenu modeliranja optimalnog i potrajnog gospodarenja demonstrirat ću u odsjeku 27c
(model 8), u sastojini staroj 82 godine. Postupak multidimenzijskog modeliranja obavlja se po
metodi koju je predložio Hren (Hren et dr. 1988).
Modeliranje sastojine započinje s detekcijom brzine rasta srednje sastojinskog stabla. Uz
poznati prsni promjer srednje sastojinskog stabla i poznatu starost sastojine kompleksnom
jednadžbom debljinske strukture (24) utvrđujemo brzinu debljinskog rasta, a ujedno obavljamo
dijagnozu stabilnosti sastojine. Iteracijama za srednji sastojinski prsni promjer ds = 33.1 cm i
starost sastojine t = 82 godina dobili smo koeficijent otpora rastu k = 0.0580 što će reći kako se
sastojina nalazi u neperiodičnom stanju. Primjenjuju se prirasno-prihodne tablice
neperiodičnog stanja (Tablica 9 i 10) i parametri debljinskog prirasta istog stanja za 90. godinu
(Tablica 3). Model obrade prikazan je na grafikonu 25 i Tablici 13.
36
N
Izmjereno
60
50
Teoretsko
40
Prorede
30
20
Poslije sječe
10
Buduća
struktura
0
d
7,
50
17
,5
0
27
,5
0
37
,5
0
47
,5
0
57
,5
0
67
,5
0
77
,5
0
87
,5
0
97
,5
0
-10
d cm
Grafikon 25. Multidimenzijsko modeliranje dinamike rasta i razvoja sastojine
Tablica 13. Multidimenzijsko modeliranje dinamike rasta i razvoja sastojine u odsjeku 27c
Gospodarska jedinica: Slavir
Odjel/odsjek: 27c
Starost: 82 godina
Vrsta drveća: hrast lužnjak
Bonitet: I.
Stanje: neperiodično
Deb.
Teoretska
Izmjereno
Prorede
Poslije sječe
Buduća sastojina
stupanj
poslije sječe
Cm
Distribucije prsnih promjera
1
2
3
4
5
6
2.5
7.5
0
0
0
0
0
12.5
9
4
5
4
4
17.5
18
18
0
18
13
22.5
36
38
0
36
24
27.5
45
51
0
45
32
32.5
53
51
6
51
37
37.5
40
38
2
38
37
42.5
27
19
8
19
32
47.5
16
4
7
9
23
52.5
4
0
2
2
14
57.5
2
1
1
6
62.5
0
0
0
1
67.5
0
72.5
77.5
82.5
87.5
92.5
97.5
Ukup.
254
220
31
223
223
Struktura: izmjerena, modelirana, poslije sječe i buduća sastojina
StaN
ds
G
V
Vp
E.p.
Int.
Obrost
Struktura
rast
god .
kom
cm
m2
m3
%
Izmjereno (Pravilnik)
82
254
33.00
21.69
335
8.40
41.0
12
0.87
Modeliranje
82
254
33.09
21.84
326
11.02
72.0
22
1.11
Poslije sječe
82
219
31,68
17.26
254
8.57
0.88
Buduće stanje
92
219
35.36
21.51
340
1.04
Kvalitativnim proredama podržavati neperiodično stanje i regularnu strukturu normalnog
obrasta.
37
1. Obradom distribucije prsnih promjera jednadžbama (3, 4, 6, 7, 8 i 9) izračunaju se
parametri Levakovićeve funkcije za izmjeren broj stabala. Standardno se izračuna srednji
sastojinski prsni promjer ds, temeljnica G i volumen V izmjerene sastojine.
2. Izmjerenoj distribuciji (kolona 2) pridruži se teoretska distribucija poslije sječe za 80.
godinu (kolona 3).
3. Razlika broja stabala po debljinskim stupnjevima izmjerene distribucije i teoretske
distribucije poslije sječe daje broj stabala za proredu (kolona 4).
4. U koloni 5 prikazana je distribuciju stabala poslije sječe za koju se izračuna srednji prsni
promjer ds, temeljnica G i volumen V sastojine poslije sječe.
5. Distribuciji poslije sječe dodaje se budući debljinski prirast (90 god.) iz tablice 3, te
dobivamo distribuciju buduće sastojine (kolona 6) za koju se standardno izračuna srednji prsni
promjer ds, temeljnica G i volumen V buduće sastojine. Primjenjuju se parametri visina za 90.
godinu (Tablica 1).
6. Razlika volumena buduće sastojine i volumena sastojine poslije sječe daje budući
volumni prirast.
7. Kako prsni promjeri buduće sastojine ne padaju u sredinu debljinskog stupnja to se
Hrenovim jednadžbama 10 i 11 distribucija broja stabala svede na sredinu debljinskog stupnja.
Kako bi se dobila regularna struktura normalnog obrasta u odsjeku nužne su iteracije u
modeliranju, ponavljanje u odabiru stabala za sječu kako bi dobili željenu regularnu strukturu i
temeljnicu koja osigurava potrajnost prihoda.
Model 8. Sastojina hrasta lužnjaka u 27c odsjeku regularne je strukture, nalazi se u
neperiodičnom stanju i stara je 82 godine. Srednje sastojinski prsni promjer iznosi 33.09 cm,
temeljnica 21.84 m2/ha, volumen 326 m3/ha i volumni prirast 11.02 m3/ha. Izmjerena su 254
stabla lužnjaka, a teoretska distribucija poslije sječe trebala bi imati 220 stabala. Razlika
izmjerene i teoretske distribucije daje 34 stabla za proredu na jednom hektaru površine.
Korekcija izmjerene i teoretske distribucije dozvoljava 31 stablo za sječu kako bi se dobio
normalni obrast. Etat proreda trebao bi biti 71.65 m3/ha, intenziteta 22 %. Korekcija je nužna
radi potrajnog gospodarenja. Poslije sječe je ostalo 219 stabala, srednje sastojinskog stabla
31.68 cm, temeljnice 17.3 m2/ha, volumena 254 m3/ha i volumnog prirasta 8.57 m3/ha.
Buduća distribucija u 92. godini trebala bi postići srednji sastojinski prsni promjer 35.36
cm, temeljnicu 21.5 m2/ha i volumen 366 m3/ha.
Multidimenzijskim modeliranjem dobivamo približni volumen sastojine i preciznije utvrđeni
volumni prirast. Sastojinu obrasta 0.88 kvalitativnim modelom uspio sam multidimenzijskim
modeliranjem podignuti na normalni obrast 1.04. Izmjera tijekom revizije osnove
gospodarenja, ujedno je i kontrola propisanog etata i izvršenja propisa.
U Tablicama 14 i 15 prikazana je usporedba linearnog uređivanja i nelinearnog
modeliranja. Modeli su zbog dinamike rasta podijeljeni u dvije grupe. Prva su starosna grupa
do 80 godina, koja obuhvaća dinamiku rasta oko prve kulminacije debljinskog i visinskog
prirasta. Druga su grupa starije sastojine koje obuhvaćaju dinamiku rasta oko druge
kulminacije debljinskog prirasta, sporijeg visinskog prirasta ili prestanka visinskog rasta.
Linearno uređivanje preslika je strukture iz obrazaca O-2, osnove gospodarenja za 14
modela, gospodarske jedinice Slavir i Posavske šume: broj stabala N na jednom hektaru
površine, temeljnica G, srednji sastojinski prsni promjer ds, volumen sastojine V i volumni
prirast iv. Nelinearno modeliranje preslika je iste distribucije stabala, ali obrađena
kompleksnim jednadžbama debljinske i visinske strukture, primjenom Levakovićeve funkcije
za izražavanje i praćenje razvoja sastojinske strukture.
U Tablici 14 dat je prosjek za 7 modela mlađih od 80 godina i 7 modela starijih od 80
godina. U svim modelima srednji sastojinski prsni promjeri i temeljnice su isti. Neznatne
razlike su kod mlađih sastojina zbog taksacijske granice 10 cm koja se u praksi primjenjuje
tijekom dendrometrijske izmjere. Tijekom modeliranja snizio sam taksacijsku granicu na 5 cm.
Kod mlađih sastojina volumeni sastojine dobiveni primjenom izmjerenih visinskih krivulja niži
38
su za 5% od volumena sastojine primjenom standardnih visinskih krivulja. Kod starijih
sastojina ta razlika je neznatna, jedva 1%.
Kod mlađih sastojina volumni prirasti dobivenih metodom izvrtaka u prosjeku su niži za
46% od volumnih prirasta dobivenih kompleksnom jednadžbom debljinske strukture. Kod
starijih sastojina ta razlika u prosjeku je 14 %. U prosjeku za sve modele ta razlika je 34%.
Osnovni razlog tih razlika je grubo razvrstavanje izvrtaka po dobnim razredima raspona
starosti 20 godina. Kod linearnog uređivanja zanemarena je dinamika debljinskog i visinskog
rasta, intenzivan debljinski i visinski prirast kod mlađih sastojina, a usporen kod starijih
sastojina.
Tablica 14. Usporedba linearnog uređivanja i nelinearnog modeliranja
Model
Odjel/
Odsjek
1
2
3
4
5
6
7
96a
51c
128a
127a
8b
91a
106d
1–7
Prosjek
8
9
10
11
12
13
14
27c
19c
43a
6a
23c
118b
47b
8 – 14
1–
14
Linearno uređivanje
ds
G
V
cm
m2/ha m3/ha
Starost
godina
N/ha
kom
Prosjek
23
26
37
40
50
65
70
44
82
89
102
110
119
134
148
112
265
551
448
587
406
217
283
394
254
228
173
73
86
105
69
141
14.85
16.0
19.45
21.12
23.03
29.69
38.18
22.93
33.00
36.4
40.70
58.30
54.60
54.40
63.50
44.45
4,58
11.01
13.30
20.57
16.93
15.04
32.42
16.26
21.69
23.68
22.26
19.24
19.83
24.66
21.73
21.87
Ukupni
prosjek
78
268
30.11
19.07
Nelinearno modeliranje
ds
G
V
cm
m2/ha m3/ha
iv
m3/ha
N/ha
Kom
iv
m3/ha
35
81
115
183
153
181
421
167
335
379
375
356
361
460
424
384
2.03
7.00
5.80
8.60
6.93
4.78
9.29
6.35
8.40
9.20
8.00
6.70
6.90
7.40
6.50
7.59
265
551
494
606
406
217
283
403
254
228
173
73
86
105
69
141
14.85
15.95
18.68
20.84
23.03
29.63
38.17
22.70
33.09
36.32
40.47
58.45
54.78
54.22
63.77
44.56
4.59
11,01
13.60
20.67
16.91
14.96
32.38
16.30
21.84
23.64
22.26
19.59
20.27
24.24
22.03
21.98
27
68
120
188
176
185
463
175
326
361
375
368
372
442
419
380
5.03
11.69
13.21
15.00
10.72
9.18
18.03
11.84
11.02
12.27
9.43
7.25
7.01
7.67
6.84
8.78
276
6.97
272
29.94
19.14
278
10.31
U Tablici 15. prikazan je propis proreda iz osnove dobiven metodom intenziteta
prorjeđivanja i etat proreda dobiven multidimenzijskim modeliranjem. Osnovom gospodarenja
propisani prosječni etat za 14 odsjeka iznosi 33.4 m3/ha, intenzitet je 10.1%, a sječe se 48% od
prirasta. Multidimenzijskim modeliranjem prosječni etat prorjeđivanja iznosi 42.0 m3/ha,
intenzitet je 15.0%, a sječe se 41% od prirasta. Etat proreda dobiven multidimenzijskim
modeliranjem, maksimalni je etat koji osigurava održivo gospodarenje lužnjakovim
sastojinama u svakom odsjeku.
Osnovom gospodarenja za mlađe sastojine, modele 1 – 7, propisani prosječni etat iznosi
17.4 m3/ha, intenzitet je 10%, a sječe se 27% od prirasta. Multidimenzijskim modeliranjem za
iste modele prosječni etat prorjeđivanja iznosi 38.6 m3/ha, intenzitet je 22%, a sječe se 33% od
prirasta. Drugim riječima osnovom gospodarenja propisani intenziteti proreda su niski zbog
prenisko utvrđenog volumnog prirasta. U praksi se primjenjuje preporuka za mlađe sastojine
da se sječe 1/3 prirasta.
Osnovom gospodarenja za starije sastojine, modele 8 – 14, propisani prosječni etat iznosi
49.4 m3/ha, intenzitet je 13%, a sječe se 65% od prirasta. Multidimenzijskim modeliranjem za
iste modele prosječni etat prorjeđivanja iznosi 45.1 m3/ha, intenzitet je 12%, a sječe se 52% od
prirasta. Drugim riječima za starije sastojine osnovom gospodarenja propisani intenziteti
proreda u prosjeku su previsoki. Previsokim intenzitetima prorjeđivanja smanjujemo obrast
sastojine.
39
Tablica 15. Usporedba etata i intenziteta proreda za modele po odsjecima
Linearni model
Model
1
2
3
4
5
6
7
1–7
8
9
10
11
12
13
14
8 – 14
1 – 14
Odjel /
Odsje
k
96a
51c
128a
127a
8b
91a
106d
Prosjek
27c
19c
43a
6a
23c
118b
47b
Prosjek
Ukupni
prosjek
Starost
godina
23
26
37
40
50
65
70
44
82
89
102
110
119
134
148
112
78
V
m3/ha
iv
m3/ha
Nelinearni model
Etat
m3/ha
Intenzitet
%
V
m3/ha
iv
m3/ha
Etat
m3/ha
Intenzitet
%
35
81
115
183
153
181
421
167
335
379
375
356
361
460
424
384
2.03
7.00
5.80
8.60
6.93
4.78
9.29
6.35
8.40
9.20
8.00
6.70
6.90
7.40
6.50
7.59
5.5
15.0
14.9
28.0
0.0
18.0
40.6
17.4
41.0
44.0
46.0
50.0
55.0
50.0
60.0
49.4
16.0
18.5
12.9
16.0
0.0
9.9
9.6
10.4
12.0
12.0
12.0
14.0
15.0
11.0
14.0
13.0
27
68
120
188
176
185
463
175
326
361
375
368
372
442
419
380
5.03
11.69
13.21
15.00
10.72
9.18
18.03
11.84
11.02
12.27
9.43
7.25
7.01
7.67
6.84
8.78
3.5
18.8
20.7
70.1
28.7
12.78
115.5
38.6
71.6
86.0
70.7
0
22.3
66.6
0
45.3
13.0
28.0
17.0
37.1
16.0
7.0
25.0
22.0
21.9
24.7
18.6
0
6.0
15.1
0
11.9
330
6.97
33.4
10.1
278
10.31
42.0
15.0
U tablici (Tab. 16) prikazana je struktura poslije sječe i buduća struktura poslije 10 godina.
Multidimenzijskim modeliranjem sastojina hrasta lužnjaka na izabranih 14 odsjeka
prosječnog volumena 278 m3/ha, kvalitativnom doznakom planira se posjeći 42.0 m3/ha i
dobivamo prosječni volumen 236 m3/ha poslije sječe, uz budući volumni prirast 81.8 m3/ha
dobivamo prosječni budući volumen 318 m3/ha. Uz prosječni debljinski prirast 3.91 mm,
prosječni srednji sastojinski prsni promjer neperiodičnog stanja povećao se s 30.11 cm na 34.02
cm. Prosječna izmjerena temeljnica 19.1 m2/ha približila se normalnoj neperiodičnog stanja na
20.9 m2/ha.
Kako se u svih 14 odsjeka (modeli 1 – 14) razvojni tijek sastojinske strukture povećavao u
skladu očekivane prognoze (Tab. 14 i 16), može se zaključiti kako je multidimenzijskim
modeliranjem osigurana potrajnost prihoda. Buduća debljinska i volumna struktura (10 godina
poslije sječe) ujedno je i kontrola izvođenja sječa tijekom proteklog gospodarskog razdoblja.
Tablica 16. Struktura sastojina poslije sječe i buduća struktura poslije 10 godina
Poslije sječe
Model
Odjel/
Odsjek
1
2
3
4
5
6
7
96a
51c
128a
127a
8b
91a
106d
1–7
Prosjek
8
9
10
11
12
13
14
27c
19c
43a
6a
23c
118b
47b
8 – 14
1–
14
Starost
godina
N/ha
kom
ds
cm
Prosjek
23
26
37
40
50
65
70
44
82
89
102
110
119
134
148
112
257
571
359
387
338
210
209
333
219
196
150
73
79
94
69
126
14.27
13.85
19.88
20.71
23.08
29.14
38.45
22.04
31.68
34.50
39.38
58.45
54.88
52.98
63.77
44.17
Ukupni
prosjek
78
230
29.77
Buduća struktura
N/ha
Kom
4.47
9.38
7.94
9.41
9.21
8.53
13.53
8.92
8.57
9.32
7.60
7.25
6.45
6.50
6.31
7.43
Starost
Godin
a
33
36
47
50
60
75
80
54
92
99
112
120
129
144
158
122
257
571
359
387
338
210
209
333
219
196
150
73
79
94
69
126
8.18
88
230
G
m2/ha
V
m3/ha
iv
m3/ha
4.1
8.6
11.1
13.0
14.1
14.0
24.3
12.7
17.3
18.3
18.3
19.6
18.7
20.7
22.0
19.3
24
49
100
118
147
172
347
137
254
275
304
368
342
375
420
334
236
16.0
ds
cm
G
m2/ha
V
M3/ha
20.59
20.01
24.47
25.51
27.11
33.49
43.26
26.86
35.36
38.51
43.13
63.44
59.22
56.85
67.77
48.01
8.6
18.0
16.9
19.8
19.5
18.5
30.7
18.9
21.5
22.8
21.9
23.1
21.8
23.9
24.9
22.8
68
143
179
212
240
258
483
226
340
369
380
440
407
441
483
408
34.02
20.9
318
40
Multidimenzijskim modeliranjem mladih sastojina (modeli 1 – 7) prosječne starosti 44
godina, prosječnog volumena 175 m3/ha, kvalitativnom doznakom planira se posjeći 38.6
m3/ha i dobivamo prosječni volumen 137 m3/ha poslije sječe, uz budući volumni prirast 89.2
m3/ha dobivamo prosječni budući volumen 226 m3/ha. Uz prosječni debljinski prirast 4.16 mm,
prosječni srednji sastojinski prsni promjer optimalnog stanja povećao se s 22.70 cm na 26.86
cm. Prosječna izmjerena temeljnica 16.3 m2/ha približila se normalnoj optimalnog stanja na
16.7 m2/ha.
Multidimenzijskim modeliranjem starijih sastojina (modeli 8 – 14) prosječne starosti 112
godina, prosječnog volumena 380 m3/ha, kvalitativnom doznakom planira se posjeći 45.3
m3/ha i dobivamo prosječni volumen 334 m3/ha poslije sječe, uz budući volumni prirast 74.3
m3/ha dobivamo prosječni budući volumen 408 m3/ha. Uz prosječni debljinski prirast 3.54 mm,
prosječni srednji sastojinski prsni promjer neperiodičnog stanja povećao se s 45.56 cm na 48.01
cm. Prosječna izmjerena temeljnica 22.0 m2/ha približila se normalnoj neperiodičnog stanja na
22.6 m2/ha.
Kvalitativna i kvantitativna prognoza budućeg održivog razvoja šumskih sastojina
kompleksnim jednadžbama, praćene Levakovićevom funkcijom sastojinske strukture i
kompjutorskom obradom brza je i ugodna.
Multidimenzijskim modeliranjem postiže se potrajnost gospodarenja u svakom prostoru,
odsjeku, bonitetu ili ekološko gospodarskom tipu..
U Tablici 17. prikazani su parametri Levakovićeve funkcije, stupanj asimetrije a1, prosječni
kvadrat disperzije s2, varijaciona širina Vš, c1 i c2 za izmjerenu strukturu (modeli 1 – 14) i
parametri za očekivanu buduću strukturu nakon sječe.
Tablica 17. Parametri Levakovićeve funkcije modeliranih sastojina
Izmjerena struktura
Model
Odjel/
Odsje
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
96a
51c
128a
127a
8b
91a
106d
27c
19c
43a
6a
23c
118b
47b
God.
23
26
37
40
50
65
70
82
89
102
110
119
134
148
a1
s2
0.362
0.213
0.316
0.328
0.411
0.374
0.351
0.543
0.409
0.485
0.496
0.516
0.513
0.462
0.0369
0.0312
0.0234
0.0219
0.0358
0.0224
0.0553
0.0551
0.0351
0.0307
0.0442
0.0316
0.0356
0.0365
Vš
25
25
40
45
30
50
35
50
60
60
55
65
55
60
Buduća struktura
c1
c2
0.9013
0.0658
1.6180
1.9654
1.3580
2.5368
0.0936
0.0905
1.0459
2.4559
1.3072
2.5720
2.0826
1.6820
2.3526
2.4488
4.6457
5.0851
2.3861
4.9325
1.0258
0.6015
2.4767
2.6723
1.3419
2.3491
1.9265
2.1238
God
33
36
47
50
60
75
80
92
99
112
120
129
144
158
a1
0.445
0.334
0.433
0.446
0.428
0.470
0.409
0.507
0.518
0.563
0.517
0.487
0.488
0.463
s2
0.0300
0.0262
0.0293
0.0293
0.0307
0.0293
0.0333
0.0296
0.0300
0.0304
0.0387
0.0343
0.0341
0.0344
Vš
35
30
45
45
40
50
45
50
55
50
55
60
55
60
c1
0.0221
1.4976
2.1919
2.4025
1.9827
2.5240
1.5569
2.7756
2.7954
2.9915
1.8193
2.0601
2.0888
1.9822
c2
3.0119
3.9882
3.1856
3.0631
2.9905
2.9773
2.7000
2.6686
2.5267
2.1034
1.6331
2.2236
2.2385
2.4614
15.6. Novčane vrijednosti drvnih sortimenata hrasta lužnjaka za disipativna stanja
Dijagnoza disipativnih struktura sastojina hrasta lužnjaka u gospodarskoj jedinici Slavir
pokazala je kako se 15% sastojina nalazilo u početnom stanju ( 1- 20 g.), 8% u stabilnom
ravnotežnom stanju, 16% u periodičnom stanju, 48% u nestabilnom neperiodičnom stanju i
13% u kaotičnom stanju. Za svako stanje konstruirane su volumne prirasno-prihodne tablice i
prirasno-prihodne tablice novčane vrijednosti drvnih sortimenata. Sastojine u ravnotežnom
stanju s prosječnim koeficijentom otpora rastu k – 0.0425 odgovaraju prirasno-prihodnim
tablicama optimalnog stanja. Sastojine periodičnog stanja imale su prosječni koeficijent otpora
rastu k – 0.0500, a sastojine neperiodičnog i nestabilnog stanja imale su prosječni koeficijent
otpora rastu k – 0.0550. Sastojine kaotičnog stanja u gospodarskoj jedinici Slavir imale su
prosječni koeficijent otpora rastu k – 0.060, što znači kako je prag kaotičnog stanja zbog
starosti sastojina pomaknut prema neperiodičnom stanju.
41
Tablica 18. Prir.-prih. tab. novčane vrijed. drvnih sort. hrasta lužnjaka - optimalnog stanja
Glavna sastojina
G
o
d.
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
N
4354
1568
hs
V
Vr
N
V
cm
m
m3
Kuna
kom
M3
2.9
5
2787
1.8
3
3
485
8.3
743
746
439
39.7
3501
4247
233
57.5
5128
9375
105
53.0
5014
14389
72
63.1
8282
22671
53
71.9
16764
39435
35
69.6
18195
57629
25
68.3
21790
79419
20
69.4
28441
107860
15
68.7
31941
139801
12
65.2
38545
178346
10
62.5
36707
215053
8
60.3
35812
250865
2.32 2.98
6.90 8.96
26.7
410
305
233
180
145
120
100
85
73
63
55
18.71 17.59 158.9
24.41 21.03 206.8
29.72 24.73 267.6
34.78 28.14 318.3
39.76 30.96 354.3
44.78 33.32 389.2
49.86 35.29 422.01
54.99 36.77 448.1
60.14 37.67 466.5
65.28 37.95 478.5
70.42 38.00 486.9
75.55 38.00 493.2
Vr
Zbroj
vrijednosti
proreda
ds
1082 12.70 14.03 97.82
643
Prorede
Ukupna
vrijednost
produkcije
Kuna
Post.
teč.g.
prirast
Vrijed
Tečajni
godišnji
prirast
Vrijednosti
%
Kuna
5
2398
29.06
697.0
10.49
905.3
7.40
1049.4
10.53
2058.5
13.48
4733.7
4.76
3527.0
5.35
4958.1
5.70
7067.1
3.69
6377.4
4.77
9926.4
1.59
4372.8
1.60
4502.5
1.44
4165.6
9371
14177
18424
19543
28918
35114
49503
74169
96840
92675
132111
124062
181692
172943
252362
208276
316136
275599
415400
280782
459129
289100
504154
294945
0.5
0.5
119.9
120.1
287.5
312.4
354.4
460.6
390.9
578.4
585.2
825.0
1059.6
1383.4
1158.4
1651.4
1378.5
2018.8
1729.4
2523.6
1893.4
2874.0
2296.7
3461.7
2159.9
3531.8
2065.0
3601.1
1966.3
3638.7
239.6
2402
8625
Poprečna vrijed.
Glavne
Sveuk.
sastoprodukjine
cije
545810
Tablica 19. Prir.-prih. tab. novčane vrijed. drvnih sort. hrasta lužnjaka - periodičnog stanja
Glavna sastojina
G
o
d.
N
10
6686
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
2210
hs
V
Vr
N
V
cm
M
m3
Kuna
kom
M3
3.7
0
4475
2.5
0
0
894
12.1
1091
1091
529
36.8
3245
4336
270
50.8
4536
8872
143
54.7
5159
14031
92
61.5
8058
22088
63
66.1
15387
37475
44
66.4
17325
54800
32
66.6
21253
76053
24
66.0
21094
97147
19
65.3
26969
124116
14
62.4
28989
153105
12
59.6
32485
185590
9
56.9
33713
219302
2.15 2.93
6.25 8.73
518
375
283
220
176
144
120
102
87
76
66
30.0
91.7
16.55 17.20 148.2
21.56 20.59 198.0
26.33 24.20 250.9
30.95 27.49 297.0
35.52 30.24 334.8
40.12 32.53 368.8
44.74 34.42 398.4
49.38 35.82 422.6
54.03 36.64 439.2
58.69 36.84 449.2
63.33 37.00 457.6
67.98 37.00 463.8
Vr
Zbroj
vrijednosti
proreda
ds
1316 11.32 13.67
788
Prorede
Kuna
Post.
Poprečna vrijed.
Tečajni god.
teč.g.
Glavne
Sveuk.
prirast
prirast
produkVrijednosti sastoVrijed
jine
cije
%
Kuna
0
2697
24.02
647.7
10.37
838.3
7.56
999.4
10.36
1935.6
13.48
4432.5
4.85
3354.6
5.47
4771.9
2.62
3089.2
5.36
6829.5
3.24
5652.9
3.42
6982.3
2.39
5857.5
1.38
3736.7
9174
13220
17556
18678
27550
32875
46906
69142
91230
87300
124776
117695
172495
127334
203387
174535
271682
204095
328212
244929
398034
271020
0.0
0.0
134.8
134.8
269.4
305.8
330.5
438.9
373.6
551.0
547.9
781.8
987.7
1303.3
1091.3
1559.7
1307.7
1916.6
1273.3
2033.9
1586.7
2469.8
1700.8
2735.1
1884.1
3061.8
1935.8
3261.5
1831.2
3293.2
269.7
2697
8073
274674
Ukupna
vrijednost
produkcije
456610
493977
42
Tablica 20.: Prir.-prih. tab. novčane vrijed. drvnih sort. hrasta lužnjaka - neperiodičnog stanja
Glavna sastojina
G
o
d.
N
10
8416
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
ds
hs
M
2.04 2.89
cm
2729
5.85 8.59
1524 10.50 13.45
910
602
432
324
252
201
165
137
116
100
86
75
V
3
m
4.1
31.8
89.5
15.27 16.95 143.1
19.88 20.32 192.4
24.31 23.86 242.1
28.62 27.10 285.7
32.92 29.79 323.4
37.22 32.04 356.2
41.54 33.88 384.6
45.87 35.22 407.3
50.21 35.99 423.5
54.54 36.14 432.1
58.88 36.20 439.2
63.21 36.20 444.8
Prorede
Vr
N
V
Kuna
0
kom
M3
5687
2.8
Vr
Zbroj
vrijednosti
proreda
Ukupna
vrijednost
produkcije
Kuna
Post.
Poprečna vrjed.
Tečajni god.
teč.g.
Glavne
Sveuk.
prirast
prirast
produkVrijednosti sastovrijed.
jine
cije
%
Kuna
0
0
0
2865
286.5
2865
1205
14.0
1265
1265
614
36.1
3175
4440
309
48.5
4335
8775
170
54.3
4844
13619
108
60.5
5712
19331
72
63.5
8329
27660
50
64.7
15066
42726
37
64.8
16953
59679
27
64.2
20426
80105
21
62.7
25861
105966
17
60.6
28221
134186
13
57.7
26716
160902
11
55.0
29921
190824
7881
21.92
628.1
10.26
808.3
6.80
870.1
6.14
1053.7
8.90
2032.6
12.32
4613.9
4.38
3294.6
4.96
4622.4
5.38
6590.1
3.29
5527.0
1.57
3103.8
3.28
6567.4
2.36
5655.3
9146
12789
17229
17155
25930
22848
36467
37462
56793
75273
102932
93152
135878
122422
182102
167904
248009
197313
303279
200129
334316
239088
399990
265720
456543
143.3
143.3
262.7
304.9
319.7
430.7
343.1
518.6
380.8
607.8
535.2
811.3
940.9
1286.7
1035.0
1509.8
1224.2
1821.0
1526.4
2254.6
1644.3
2527.3
1539.5
2571.7
1707.8
2857.1
1771.5
3043.6
Tablica 21. Prir.-prih. tab. novčane vrijed. drvnih sort. hrasta lužnjaka – kaotičnog stanja
Glavna sastojina
G
o
d.
N
10
10523
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
3281
1773
ds
hs
V
cm
m
1.94 2.86
5.49 8.47
9.75 13.25
N
V
m
Kuna
kom
m3
4.6
0
7242
3.2
0
1508
15.2
1370
1370
721
35.9
3232
4602
356
47.0
4144
8746
200
53.5
4774
13519
125
58.6
5533
19052
83
61.5
8062
27114
58
62.7
16310
43424
42
62.7
14613
58037
31
62.1
16191
74227
24
60.6
12916
87143
19
58.5
10511
97654
15
55.6
10003
107657
12
52.9
10432
118090
3
33.1
88.2
495
371
288
230
188
156
132
113
98
86
18.35 20.07 186.2
22.45 23.55 232.9
26.48 26.73 275.2
30.49 29.39 311.7
34.50 31.59 343.3
38.54 33.38 370.5
42.56 34.68 392.2
46.60 35.40 407.4
50.64 35.50 415.3
54.67 35.50 421.2
58.71 35.50 426.7
Vr
Zbroj
vrijednosti
proreda
Vr
1051 14.11 16.73 138.7
695
Prorede
Kuna
. Post.
Poprečna vrijed.
Tečajni god.
teč.g.
Glavne
Sveuk.
prirast
prirast
produkVrijednosti sastoVrijed
jine
cije
%
Kuna
0
0
298.1
2981
2981
7942
21.24
633.1
9.46
751.7
6.97
852.8
6.12
1016.4
8.91
1960.7
14.72
5309.5
1.87
1515.4
3.92
3132.3
0.32
308.3
0.32
260.6
1.63
1196.7
2.46
1841.9
1.35
1122.3
9312
12227
16829
16612
25357
22002
35522
3607
55128
81109
108223
79952
123377
96663
154700
83555
157782
73246
160389
74702
172356
83118
83909
Ukupna
vrijednost
produkcije
190775
201998
149.0
149.0
264.7
310.4
305.7
420.7
332.2
507.1
366.7
592.0
515.4
787.5
1013.9
1352.8
888.4
1370.9
966.6
1547.0
759.6
1434.4
610.4
1336.6
574.6
1325.8
593.7
1362.7
559.4
1346.7
43
Novčana vrijednost drvnih sortimenata utvrđena je primjenom sortimentnih tablica koje se
primjenjuju za izračun sortimentne strukture u planu proizvodnje drvnih sortimenata za hrast
lužnjak po debljinskim razredima. Vrijednost drvnih sortimenata izračunata je primjenom
planskog cjenika drvnih sortimenata, a koji je baziran na cjeniku «Cjenik glavnih šumskih
proizvoda Hrvatske šume d.o.o.» u kategoriji cijena drvnih sortimenata na panju (UR. BROJ:
DIR-01/02-1276). Pošto je cjenik trupaca iskazan po debljinskim razredima srednjeg promjera,
za potrebe planiranja prihoda od prodaje u planskom cjeniku odabrana je cijena srednjeg
debljinskog razreda za pojedinu klasu trupaca hrasta lužnjaka. Na taj način obračunata
novčana vrijednost produkcije (Bezak i dr., 2007) iskazana je prema stanjima sastojina u
tablicama. (Tab.18, 19, 20, 21).
Sveukupna maksimalna produkcija novčane vrijednosti drvnih sortimenata u kunama,
odnosno sveukupna maksimalna vrijednost godišnjeg etata (Esnv ) sastoji se od vrijednosti
godišnjeg etata glavnog prihoda (Egnv) i vrijednosti godišnjeg etata prorede (Epnv). U dobi od
120. godina novčana vrijednost drvnih sortimenata i godišnji prirast vrijednosti u kunama
iznosi u sastojinama stanja:
optimalnog
Esnv = Egnv + Epnv ⇒ 2297 + 1165 = 3462 kn/ha; prirast ⇒ 9926 kn/ha
periodičnog Esnv = Egnv + Epnv ⇒ 1701 + 1034 = 2735 kn/ha; prirast ⇒ 6982 kn/ha
neperiodičnog Esnv = Egnv + Epnv ⇒ 1644 + 883 = 2527 kn/ha;
prirast ⇒ 3104 kn/ha
Esnv = Egnv + Epnv ⇒ 610 + 727 = 1337 kn/ha;
prirast ⇒ 1197 kn/ha
kaotičnog
Empirijska je spoznaja, kako se s različitim brojem stabala, s podjednakim razvojnim
tijekom temeljnice postiže podjednaka produkcija, ali novčana vrijednost drvnih sortimenata za
svako stanje sastojina signifikantno je različita.
kuna
kuna
4000
12000
p.g.s.p.n.v.
optimalno
3000
2000
p.g.s.p.n.v.
periodično
1000
p.g.s.p.n.v.
neperiodično
0
-1000
0
50
100
150
p.g.s.p.n.v.
kaotično
godina
Grafikon 26. Razvojni tijek poprečnog
prirasta novčane vrijednosti sortimenata
prirast n. v.
optimalno
10000
8000
prirast n. v.
periodično
6000
prirast n. v.
neperiodično
4000
prirast n. v.
kaotično
2000
0
0
50
100
150
godina
Grafikon 27. Tečajni godišnji prirast
novčane vrijednosti drvnih sortimenata
Odnos poprečnog prirasta sveukupne produkcije novčane vrijednosti drvnih sortimenata
(graf. 26) i tečajnog prirasta novčane vrijednosti drvnih sortimenata (graf. 27) u kunama
pokazuje signifikantne razlike za svako stanje sastojine
Iz gore navedenog jasno je iskazan porast vrijednosti produkcije koji koincidira sa
prosječnom stopom rasta od 202.4%, od kaotičnog stanja prema optimalnom. Razvidno je
(graf. 27) kako sastojine ravnotežnog stanja postižu maksimalnu kulminaciju tečajnog
godišnjeg prirasta vrijednosti u 120. godini, dok sastojine periodičnog i neperiodičnog stanja
imaju dvije kulminacije tečajnog godišnjeg prirasta vrijednosti s tim da se zadnja kulminacija
sastojina periodičnog stanja dešava u 130, a neperiodičnog stanja kasnije u 140 godini.
Sastojine kaotičnog stanja nakon kulminacije u 80. godini imaju signifikantan silazni trend
tečajnog godišnjeg prirasta novčane vrijednosti. Uzimajući u obzir i vrijednosnu produkciju
pojedinih stanja sastojina jasno je da gospodarenje treba prilagoditi zahtjevima optimizacije
produkcije drvne mase i vrijednosti, te sposobnosti prirodne obnove sastojina.
Prirasno-prihodne tablice za disipativna stanja (Tablice 5, 7, 9 i 11) pokazuju razliku
maksimalne prosječne godišnje sveukupne produkcije između optimalne strukture i kaotične
44
strukture u 120. godini koja iznosi u volumenu 1.183 m3/ha, ali razlika novčane vrijednosti
drvnih sortimenata (Tablice 18 – 19) iznosi 2125 kuna godišnje na jednom hektaru površine.
Prirasno-prihodne tablice za disipativna stanja u gospodarskoj jedinici Slavir pokazuju
podjednaku volumnu produkciju, ali pokazuju i signifikantnu razliku vrijednosne produkcije.
Kvalitativnim uzgojnim zahvatima i proredama pomažemo razvoju stabilne debljinske
strukture. Sastojine koje su ušle u kaotično stanje prvenstveno se moraju predvidjeti za obnovu.
Svako daljnje odlaganje propisa glavnog prihoda u sastojinama koje su ušle u kaotično stanje
izaziva ekonomske i gospodarske štete, a prirodna obnova je nemoguća. Podržavanje
nestabilnih i kaotičnih sastojina, iz gospodarskih i ekonomskih razloga je nedopustivo.
16. KAOTIČNE SPOZNAJE
16.1. Kaotične spoznaje nelinearnih dinamičkih sustava
Šuma je kaotični nelinearni dinamički sustav. Dinamički sustav je pravilo koje opisuje
promjenu stanja u nekom prostoru u ovisnosti o vremenu. Prostor može biti običan koordinatni
sustav, ali isto tako može biti kompleksna konfiguracija promatranog ekosustava u kojem se
šuma nalazi. Dinamika je pravilo kako od sadašnjeg stanja doći na sljedeće. Pravilo koje
opisuje promjenu stanja sustava kroz vrijeme je determinističko. Pravilo su kompleksne
jednadžbe rasta i razvoja šuma. Sustavi koji imaju takve jednadžbe koje nisu rješive
eksplicitno, nazivaju se nelinearni dinamički sustavi. Priroda je nelinearna, i to je neupitna
činjenica. Karakteristična osobina sustava što ih proučava kaos je nestabilno, neperiodično
gibanje. Vrlo jednostavni, strogo definirani, matematički modeli mogu pokazivati zastrašujuće
složeno ponašanje. Karakteristična značajka kaotičnih sustava je njihova osjetljiva ovisnost o
početnim uvjetima. Infinitezimalno male promjene na početku mogu dovesti do velikih
promjena na kraju. To se ponašanje opisuje kao obilježje kaosa. Proučavanjima kaosa i
njegovih učinaka otkrilo se kako sustavi mogu prelaziti iz kaotičnih u regularne i obrnuto. Sve
iznenadne promjene ponašanja uslijed malih promjena u okolnostima su bifurkacije (grananje).
Bifurkacije su opće prirodno načelo. Nelinearni sustavi koje proučava teorija kaosa su
kompleksni sustavi u smislu kako vrlo mnogo nezavisnih varijabli međudjeluju jedna s drugom
na bezbroj načina. Ti kompleksni sustavi imaju sposobnost uravnoteživanja reda i kaosa. Točka
ravnoteže nazvana je rubom kaosa, gdje je sustav u nekoj vrsti pritajena očekivanja između
stabilnosti i kolapsa.
Deterministički kaos, nova je znanost koja interdisciplinarno obuhvaća tradicionalne
znanstvene discipline povezujući različite pojave i otvara nove vidike determinizma događanja
u prirodi. Kaos je ne samo teorija već metoda kako objasniti pojave u prirodi. Kaos je stvorio
novu vrstu fiziologije, temeljenu na zamisli kako matematička sredstva mogu pomoći
znanstvenicima u razumijevanju kompleksnih sustava. Kaos i kompleksnost treba zajedno čitati
kao kaotičnost. Kaotičnost se može upotrijebiti kako bi se stvorio okvir unutar kojeg se mogu
nalaziti nova rješenja za probleme, istodobno kako se istražuju načini razmišljanja. Kompleksni
sustavi imaju sposobnost uravnoteživanja reda i kaosa.
Šume su titrajni sustavi koje postaju kaotične, jer posjeduju element povratne veze. U
šumama, period je vrijeme koje mora proći kada krošnja ponovo prolista. Period kada stablo
formira god jest jedna godina. Rast koji se iz godinu na godinu ponavlja, periodično je gibanje.
Takvo gibanje može se preslikati točkama u faznom prostoru. Točke opisuju krivulje koje
imaju zatvorenu petlju. Drugim riječima periodičnost nam daje mogućnost nadzora nad
stabilnošću šume i numeričku prognozu rasta i razvoja.
Kod vrsta drveća umjerene zone mogu se pratiti promjene rasta i prirasta stabala. Na
osnovi širine godova u prošlosti mogu se ustanoviti periodi klimatskih promjena, kao i godine
stresnih pojava svakog stabla (Fritts, 1976). Nelinearna dendrokronologija promatra razvoj
godova kroz mrežu pojava koje su povezane i međusobno su zavisne. U pojedinim starosnim
razdobljima dolazi prirodno do oscilacija debljinskog prirasta sukladno dinamici rasta svake
vrste drveća. Interpretacijom događanja u prošlosti linearnim modelom može se doći do
pogrešnih zaključaka. Obradom stabla nelinearnom metodom, primjenom kompleksne
45
jednadžbe debljinske strukture dobiva se kvalitativni i kvantitativni uvid u nelinearnu
dendrokronologiju stabla. Metodama nelinearne dinamičke analize mogu se spoznati male
promjene u samo jednom parametru koji može prebaciti inače stabilan sustav preko
bifurkacijske točke u kvalitativno novo ponašanje. Nelinearna dendrokronologija precizno prati
i mjeri oscilacije prirasta zbog klimatskih promjena, mjeri gubitak prirasta zbog biotičkih i
abiotičkih ekscesa.
U znanosti ukorijenjena je pretpostavka kako uz približno poznavanje početnih uvjeta i
razumijevanje prirodnih zakona možemo proračunati približno ponašanje sustava. Stvoren je
idealan znanstveni svijet gdje su pravilnosti odvojene od stvarnog iskustva i nereda. Linearno u
biti znači proporcionalno i pravilno. Linearne odnose na grafikonu prikazujemo ravnom crtom,
a linearni sustavi jednadžbi relativno lako se rješavaju. Suočeni s nelinearnim sustavom,
znanstvenici pribjegavaju linearnim aproksimacijama. Nelinearnost znači kako sama igra
mijenja svoja pravila, prigušenje ovisi o brzini, a brzina o prigušenju. Zbog nerješivosti
nelinearnih jednadžbi, od njih se bježi, uz izgovor kako je sve to nerazumljivo. Međutim, istina
je dijametralno suprotna, nelinearnost je rješiva i pravilna. Priroda je u svojoj suštini
nelinearna. Da nema nelinearnosti svijet bi bio drukčiji, jako dosadan i predvidljiv. Osnovni
razlog zašto se nelinearno ponašanje nije proučavalo leži u činjenici što su znanstvenici
reducirali teške nelinearne probleme na jednostavne linearne, kako bi ih lakše mogli
analizirati.
Bilo koja cjelina koja se mijenja tijekom vremena naziva se sustav. Nelinearni sustav je
onaj sustav čiji je model opisan nelinearnim jednadžbama. Nelinearnost zakona koji vladaju
sustavom preduvjet je za nastanak determinističkog kaosa u njemu, kao i ostalih pojava vezanih
za kaos. Dinamički sustav je onaj sustav koji doživljava promjene stanja u vremenu, odnosno,
po svojoj prirodi nije statičan. Dinamički sustavi imaju i svoje točke mirovanja, u kojima se
parametri sustava više ne mijenjaju, primjerice šuma u zimskom periodu. Nestabilno ponašanje
je ono kod kojeg je za prijelaz između periodičkog i neperiodičnog, potrebna vrlo mala
promjena u sustavu što uključuje vrlo značajnu osjetljivost o početnim uvjetima. Nadalje,
neperiodično ponašanje označava kako nijedan parametar sustava ne prolazi kroz periodičke
promjene vlastitih vrijednosti, tj. kako se niti jedno stanje sustava ne ponavlja u potpunosti.
Priroda u sebi sadrži duboki red i vjeruje se kako se on prirodno uspostavlja. Fizičar
Mitchell Jay Feigenbaum (r. 1944) iz Instituta za tehnologiju Massachussetesa prvi je dokazao
kako kaos nije matematički hir, nego je univerzalno svojstvo sustava s nelinearnim povratnim
učinkom. Prvi je dao značajan dokaz o tome kako kaos postoji u prirodi. Logističkim
preslikavanjem populacijske jednadžbe x → kx (1-x) otkrio je dokaz kako na krajnjim vršcima
stabla mora postojati neka matematička struktura koja ostaje ista kad se veličina mijenja za
faktor 4.6692016. Omjeri veličina debla prema granama, grana prema grančicama, dolaze sve
bliže i bliže broju 4.669, što se više približavaju vrhu stabla. Prema njegovom rezultatu o
univerzalnosti prirode, mogu se izreći dva eksperimentalna predviđanja. Omjer veličina
intervala između susjednih udvostručenja morao bi biti oko 4.669, a omjer pod kojim se
otvaraju grančice smokvinog stabla oko 2.503. Na temelju čisto kvalitativnog modela
Feigenbaum je dobio kvantitativno, numeričko predviđanje.
Priroda u sebi sadrži duboki red i ona se prirodno uspostavlja. Holistički pristup, i jedan od
prvih razrađenih opisa samoorganizirajućih sustava bila je teorija disipativnih struktura
nobelovca Ilya Prigoginea. Teorija disipativnih struktura govori o kretanju od reda prema
neredu i sve većoj entropiji. Prema drugom zakonu termodinamike, dok entropija raste energija
se gubi nepovratno. Rasipanje energije koja je nepovratna na molekularnoj razini prati suprotan
proces uređenog kaosa na subatomskoj razini. Pojam disipativna uveo je kako bi objasnio
koherentno ponašanje u sustavima daleko od stanja ravnoteže. Prema Prigogineu, disipativne
strukture su otoci reda u moru nereda, održavajući i povećavajući svoj red na način da
povećavaju nered svog okruženja.
Šuma je otvoreni sustav koja mora trošiti energiju kako bi se održala. Povećanje broja
vrsta drveća u sastojini i povećanje broja veza među njima, povećava kako njezinu
kompleksnost tako i stupanj nestabilnosti. Podstojna i kodominantna stabla crpe više hranjiva
46
iz tla jer im je potrebno više energije za opstanak. Veći broj stabala u svim stadijima razvitka,
na jedinici površine, traži više energije nego što mu stanište može dati. Takvo stanje usporava
rast debljinske strukture i dolazi do disipacije šume. Početni uvjeti oko prve kulminacije
prirasta presudni su za daljnji razvoj događanja u šumama. Tu šumar uzgajivač poznavanjem
dinamike rasta svake vrste drveća ima presudnu ulogu u kvalitativnom i kvantitativnom
multidimenzijskom modeliranju sastojina najveće kvalitete i vrijednosti.
Disipativnu strukturu možemo prepoznati u svakoj šumi bez obzira na starost. Početni
uvjeti su prirodno obnovljene sastojine u dobi oko prve kulminacije prirasta. Dominantna i
predominantna stabla su u stabilnom ravnotežnom stanju, srednje sastojinska su u
periodičnom, prigušena stabla su u nestabilnom stanju i neperiodičnom, a prigušena stabla s
krošnjom koja umire u kaotičnom su stanju. Kaotična stabla nemaju više energije za opstanak i
dolazi do nelinearnog povratnog učinka, što će reći sušenja. Disipacija se ogleda u borbi za
opstanak. Od početnih uvjeta mladih sastojina, kada imamo oko 10000 jedinki podmladka, pa
sve do kraja ophodnje kada ostane oko 100 stabala, jedva 1%. Stanje stabilnosti sastojine
diktira vrijeme ophodnje. Ophodnja je vrijeme odnosno promjer sječive zrelosti u kojima se
ostvaruje cilj gospodarenja propisan osnovom.
Svaka promjena vodnog režima može destabilizirati šumski ekosustav. Prokopom kanala
Dunav – Sava prve bi se posušile sastojine u kaotičnom stanju, a potom u neperiodičnom
stanju. U gospodarskoj jedinici Slavir posušilo bi se 4724 ha šuma hrasta lužnjaka ili 58%
njene ukupne površine. Sličan scenarij događanja odvijao bi se i u ostalim gospodarskim
jedinicama uz kanal Dunav – Sava.
Kaotična i disipativna je Svjetska ekonomija, kaotična i disipativna je ekonomija EU,
kaotična i disipativna je ekonomija Republike Hrvatske.
Ekonomija hrvatskog šumarstva ovisi o disipativnoj strukturi šuma.
Početkom 20. stoljeća francuski matematičar i topolog Henri Poincare (r. 1854. – u. 1912.)
pokazao je kako nastaju ozbiljni problemi kada se istodobno promatraju staze više od dvaju
nebeskih tijela. On je orbite triju planeta kvalitativno prikazao u faznom prostoru i istraživao
presjek njihovih staza. Njegova rješenja predvidjela su kako bi nazočnost trećeg tijela moglo
prouzročiti da se planet zavrti, zanjiše, ili čak odleti sa svoje staze. Treće tijelo, potrebno da se
naruši stabilnost, može biti neki od Sunčevih planeta, ali i neko manje tijelo, komet ili asteroid,
dolutao iz svemira. Poincare je otkrio kaos, dokaz kako je Sunčev sustav kaotičan. To je
kompleksni sustav koji se stalno mijenja. Kako bi planeti ostali stabilni moraju biti približno
periodični. Nužno je da njihove rezonancije nemaju jednostavne omjere kao što su 1:3 ili 2:3.
Ako se periodi ponavljaju, poremećaj se sa svakim slijedećim okretom može pojačavati i
nastupa rezonancija. Period tri uvijek vodi u kaos.
Kaos mi je pomogao kako bi razvio topološki pristup kvalitativnoj dinamici rasta i prirasta.
Proučavao sam staze godova na presjecima stabala i došao do spoznaje kako periodi
debljinskog i visinskog rasta imaju periode omjera 1:2. Poprečni presjek stabla na Slici 3
Poincareov je presjek.
Ian Stewart (r. 1945.), profesor matematike na Sveučilištu u Warwicku jedan je od vodećih
autoriteta za kaos. Kocka li se Bog? popularna je znanstvena knjiga I. Stewarta u kojoj na
jednostavan način izlaže osnovne principe kaosa, odnosno novu matematiku kaosa. Kaos nas
uči kako jednostavna pravila mogu prouzročiti kompleksno ponašanje. Teorija kompleksnosti
je nova znanost o kompleksnim i složenim sustavima. Proučava život na rubu kaosa i istražuje
svojstva kompleksnih sustava u tom stanju. Ti kompleksni sustavi imaju sposobnost
uravnoteživanja reda i kaosa. Točka ravnoteže nazvana je rubom kaosa, gdje je sustav u nekoj
vrsti pritajena očekivanja između stabilnosti i pada. Kompleksnost se bavi time kako se stvari
događaju, dok kaos teži promatranju i proučavanju nestabilnog i neperiodičnog ponašanja.
Kaos pokušava razumjeti dinamiku koja je u pozadini ponašanja kompleksnog sustava.
Kompleksnost naglašava međupovezanost svega. Vječna borba između reda i nereda,
harmonije i kaosa prožima čitavu prirodu. Red se izjednačava s dobrim, a nered s kaosom. Red
i kaos ogledaju se kao dvije suprotnosti, polovi oko kojih se vrte naše interpretacije svijeta.
Teorija kompleksnosti sazdana je oko težnje složenih sustava da iskazuje jednostavno
47
ponašanje, jednostavno na nekim razinama ponašanja, ali ne na razini pojedinačnih dijelova od
kojih se sustav sastoji. Filozofska srž teorije kompleksnosti je pojam emergencije, prema kojem
sustav može transcendetirati svoje sastavnice, tako da je cjelina veća od zbroja njegovih
dijelova. Srodnost kaosa i kompleksnosti nije slučajna. I jedno i drugo čine bitan dio teorije
nelinearne dinamike, jednog od najvećeg otkrića proteklog stoljeća. Kompleksnost i kaos
izazov su duboko usađenim uvjerenjima o uzroku i posljedici koje možemo nazvati očuvanjem
kompleksnosti. Otkriće kaosa proistječe iz nelinearnih međudjelovanja malog broja
jednostavnih komponenata. Teorija kompleksnosti naglašava suprotno, kako se međudjelovanja
visoke složenosti, koja djeluju u sustavima sastavljenima od mnoštva individualnih elemenata,
često udružuju, kako bi stvorila, u velikom mjerilu, jednostavne uzorke – emergentne fenomene
(Stewart, 1996.).
Multidimenzijsko modeliranje šuma holistička je vrsta matematike kojoj bi Ian Stewart dao
ime morfomatika. Suvremena teorija dinamičkih sustava istovremeno je i redukcionistička i
holistička. Ona je redukcionistička kada se služi diferencijalnim jednadžbama. Povezivanje
suptilnih veza univerzalnih konstanata prirode, valnih amplituda ili brojeva s rastenjem šuma
bio je moj holistički je pristup.
Prema opće prihvaćenoj definiciji:
Teorija determinističkog kaosa je kvalitativno proučavanje nestabilnog neperiodičnog
ponašanja u nelinearnim dinamičkim sustavima
16.2. Kaotične spoznaje multidimenzijskog modeliranja sastojina hrasta lužnjaka
Proučavajući strukturu i veličinu debljinskog i visinskog rasta hrasta lužnjaka potvrdio sam
univerzalnost eigen-vrijednosti. Omjer grananja tijekom visinskog rasta je 4.669, a omjer pod
kojim se šire grane hrasta lužnjaka je 2.664. Prostorno-vremenski razvoj visinskog rasta
jednoznačno je određen grananjem za sva vremena. Odnos dužine debla i dužine krošnje strogo
je matematički 0.533 : 0.467, a određuje ga amplituda dužine debla 4.669 i njegova skalirana
vrijednost 4.090, amplituda je dužine krošnje. Vrlo važna spoznaja za konstrukciju standardnih
visinskih krivulja i jednoulaznih volumnih tablica.
Brzinu debljinskog i visinskog rasta poput tajanstvene sedmice regulira univerzalna
konstanta rasta šuma 0.00729927 = 1/137 (stotridesetsedmi dio brzine svjetlosti). Kvadrat
njene brzine (1/137)2 = 0.000053279343 gravitacijska je konstanta visinskog rasta stabla.
Kompleksne jednadžbe kvalitativni su alati za kvantitativno, numeričko predviđanje rasta i
razvoja šuma. Kompleksne jednadžbe preslikavaju rast i razvoj šume u pet i više dimenzija. Tri
su prostorne, četvrta je vrijeme, peta dimenzija je brzina, a ostale dimenzije skrivene su u
titrajnom sustavu.
Istraživanja normalne proizvodnosti šuma i ekološko-gospodarskih tipova započela su
šezdesetih godina 20. stoljeća u Institutu za šumarska istraživanja Zagreb. Proučavala se
struktura šume na privremenim plohama. Konstruirale su se prirasno-prihodne tablice, itinerar
rasta i prirasta u prostoru i vremenu. U praksi isprva su se primjenjivale prirasno-prihodne
tablice stranih autora, najčešće njemačkih, pod pretpostavkom kako su rasle u sličnim
ekološkim uvjetima. Te tablice bile su izrađene izjednačivanjem pojedinih elemenata strukture
grafičkim putem. U šumarskom institutu prišlo se na računsko izjednačenje uz primjenu
matematičko statističkih metoda. Grafičko izravnavanje služilo je kao priprema za iznalaženje
oblika veze između dva elementa rastenja. Tijekom konstrukcija prirasno-prihodnih tablica
najčešće se tražila veza između starosti i drugog elementa sastojinske strukture, kao što je
srednja visina, srednji prsni promjer, temeljnica, volumen, srednja širina krošnje i slično. Kao
najpovoljnije funkcije izjednačenja pokazale su se funkcije koje su imale oblik S-krivulje.
Takve krivulje imaju jednu točku infleksije, zatim uspon i na kraju ublaženje uspona, odnosno
zadržavanje na gotovo istoj razini (Špiranec 1969). Broj stabala po hektaru dobiven je računski.
Špiranec iz izravnatih temeljnica i srednjeg prsnog promjera, a Cestar iz izravnatih srednjih
širina krošanja uz 105% zastrstost i izravnatih prsnih promjera (Bezak i dr. 1989). Krošnje
ekološko-gospodarskih tipova u prosjeku su bile u periodičnom stanju, uže od optimalne širine.
48
Razvojni tijek broja stabala i temeljnice veći je od tablica optimalnog stanja. Prirasno-prihodne
tablice po bonitetima (Špiranec, 1975) i Cestarove po ekološko gospodarskim tipovima imaju
orijentacijski značaj. Osnovni razlog je velika varijabilnost debljinske strukture koja otežava
njihovu primjenu. Debljinska struktura hrasta lužnjaka Špirančevih tablica na I. bonitetu nalazi
se između optimalnog i periodičnog stanja, na II. bonitetu periodičnog je stanja, a na III.
bonitetu neperiodičnog je stanja. Debljinska struktura hrasta lužnjaka ekološko-gospodarskih
tipova II-G-10, II-G-12, II-G-13, II-G-20 i II-G-22 periodičnog je stanja, a II-G-11 i II-G-21
neperiodičnog je stanja.
Godine 1993. objavio sam prirasno-prihodne tablice hrasta lužnjaka u šumama vlažnog tipa
(Bezak i dr., 1993; Bezak, 2002b). Razvojni tijek prsnih promjera dobiven je jednadžbom
prigušenih sinusoidnih oscilacija debljinskog rasta. Bili su to prognozni modeli koji su se
oslanjali na 100% zastrstost krošanja periodičnog stanja. Prognozni model M-1 normalnog
razvoja broja stabala bio je periodičnog stanja, prognozni model M-2 s razvojem manjeg broja
stabala bio je optimalnog stanja, a prognozni model M-3 s razvojem većeg broja stabala bio je
neperiodičnog stanja. Empirijska je spoznaja kako se s razvojnim tijekom većeg broja stabala
postižu manji prsni promjeri.
Spoznajom o velikoj varijabilnosti debljinske strukture, sastojine sam klasificirao prema
brzini njihova rasta, na optimalnu brzinu, periodičnu, neperiodičnu i kaotičnu brzinu.
Optimalna brzina rasta je ona brzina kojom postižemo finu strukturu godova. Za svaku brzinu
odnosno svako stanje konstruirao sam volumne prirasno-prihodne tablice i tablice novčane
vrijednosti drvnih sortimenata. Konstrukcija tablica obavljena je isključivo numerički,
kompleksnim jednadžbama debljinskog i visinskog rasta (24 i 26). Razvojni tijek broja stabala
obračunat je jednadžbom 29, gdje je korištena optimalna širina krošnje (25) uz 100% zastrstost
krošanja. Spoznajama na rezultatima tipoloških istraživanja razvio sam model i metodu kako
konstruirati prirasno-prihodne tablice za svaku vrstu drveća i svaku šumu.
Model optimalne produkcije visokovrijednih trupaca ima iznimnu važnost prihvaćanjem
europskih normi kod razvrstavanja trupaca po kakvoći
Numeričkim klasificiranjem stanja sastojina na ravnotežne sastojine i one koje su daleko od
ravnoteže detektiraju se nestabilne sastojine s najmanjom produkcijom drvne zalihe i novčane
vrijednosti drvnih sortimenata. Prirasno-prihodne tablice za disipativna stanja pokazuju
podjednaku volumnu produkciju, ali pokazuju signifikantnu razliku vrijednosne produkcije.
Sastojine u kaotičnom stanju prvenstveno se predviđaju za obnovu. Prijevremena sječa
periodičnih i stabilnih sastojina vodi potrajno gospodarenje direktno u degresiju. Disipativno
stanje sastojina ključni je kriterij za propisivanje ophodnje i smjernica gospodarenja šumama.
Distribucije prsnih promjera za optimalna i disipativna stanja poslije sječe su nacrti koji
pomažu šumaru tijekom odabira stabala za sječu. Svaka populacija teži regularnoj strukturi. Tu
šumar tijekom odabira stabala nastoji uzgojiti optimalnu distribuciju, ali i popraviti narušenu
strukturu stabala. Empirijska je spoznaja kako se njegom mogu modelirati sastojine hrasta
lužnjaka do 70. godina starosti. To je period intenzivnog rasta debljinske i visinske strukture.
Period kada možemo uzgojiti optimalnu i stabilnu regularnu strukturu najveće vrijednosti
drvnih sortimenata.
Primjena prirasno-prihodnih tablica je jednostavna, uspoređuje se izmjereni srednji
sastojinski prsni promjer određene starosti s odgovarajućim stanjima. Kod graničnih brzina
odabire se tablica boljeg stanja.
Multidimenzijsko modeliranje dinamike rasta i razvoja šuma model je kako učiniti iskorak
iz krutog linearnog sustava u nelinearni dinamični sustav gospodarenja. Model je univerzalan
jer se istim može obraditi svaka vrsta drveća, svaka sastojina i svaki odsjek. Multidimenzijskim
modeliranjem ispravlja se narušena regularna struktura i osigurava potrajnost prihoda u svakom
prostoru. U danima prije kaosa vrijednosne prosudbe bile su nevažne za znanstvena
istraživanja. Novo, na kaosu utemeljeno, razumijevanje stanja stabilnosti šume, zahtijeva novo
planiranje potrajnog prihoda u šumarstvu. Takvo planiranje prelazi u postnormalnu znanost.
Prirasno-prihodne tablice i distribucije stabala poslije sječe za optimalna i disipativna
stanja na I. bonitetu (Tablice 5 – 12) mogu se koristiti na čitavom šumsko gospodarskom
49
području Republike Hrvatske. Istim modelom mogu se konstruirati prirasno-prihodne tablice i
za ostale vrste drveća. Potrebno je pronaći koeficijente pulsacije debljinske i visinske strukture.
To sam već uradio za bukvu običnu (Fagus sylvatica L.) i jelu običnu (Abies alba Mill.). Hrast
lužnjak i jela obična imaju podjednaku brzinu debljinskog i visinskog rasta, ali bukva raste
brže. Za bukvu konstruirao sam volumne prirasno-prihodne tablice i tablice novčane vrijednosti
drvnih sortimenata (rukopis).
Standardne jednoulazne volumne tablice za hrast lužnjak na I. bonitetu (Tablica 2) mogu
se koristiti tijekom uređivanja šuma na čitavom šumsko gospodarskom području Republike
Hrvatske. Za II. i III. bonitet ili međubonitete potrebna je konstrukcija standardnih visinskih
krivulja. Nije potrebna izmjera visina i ustrojavanje visinskih krivulja. Mogu se koristiti visine
prethodnog uređivanja šuma. Na dominantnim stablima provjerava se pripadnost bonitetu.
Parametri tečajnog godišnjeg debljinskog prirasta hrasta lužnjaka (Tablica 3) za optimalna
i disipativna stanja mogu se koristiti na čitavom šumskogospodarskom području Republike
Hrvatske bez obzira na bonitet staništa ili ekološko gospodarski tip. Nije potrebno bušiti stabla
kako bi linearno prognozirali budući volumni prirast. Tijekom proučavanja strukture i veličine
debljinskog prirasta hrasta lužnjaka izbušeno je 5985 stabala kako bi proučio dinamiku prirasta.
Proučavanjem došao sam do spoznaje i pronašao jednadžbu kojom se može precizno izmjeriti
brzina debljinskog rasta svakog stabla bez bušenja.
Zakoni o šumama i pravilnici o uređivanju šuma temelje se na površinskoj ekologiji.
Površinska ekologija je antropocentrična vidi čovjeka iznad ili izvan prirode, kao izvor svih
vrijednosti. Prirodi pripisuje samo uporabnu vrijednost. Potrebni su nam Zakoni i Pravilnici
koji se oslanjaju na dubinsku ekologiju. Dubinska ekologija i dubinska ekološka svijest vidi
međuovisnost svih pojava u prirodi. Kao pojedinci i kao društvo dio smo periodičnih procesa u
prirodi o kojima ovisimo (Capra, 1980). Šumarstvu je potrebno novo nelinearno i holističko
poimanje.
17. KAOTIČNI ZAKLJUČCI
Šuma je kaotični nelinearni dinamički sustav. Dinamički sustav je pravilo koje opisuje
promjenu stanja u nekom prostoru u ovisnosti o vremenu. Pravilo koje opisuje promjenu stanja
sustava kroz vrijeme je determinističko. Pravila rasta šuma su kompleksne jednadžbe rasta i
razvoja sastojinske debljinske i visinske strukture. Rješenja su kompleksni brojevi, a njihova
preslika dendrogrami u kojima okomiti smjerovi prikazuju amplitude ili multidimenzionalne
vektore. Vodoravni smjerovi prikazuju prostor i vrijeme. Kompleksni brojevi su skupovi koji
predstavljaju moguća fizička stanja i tvore kompleksni vektorski prostor rasta i prirasta.
Integracijom kompleksnih brojeva dobiva se prirast, a daljnjom integracijom rast debljinske i
visinske strukture. Kompleksni brojevi topološka su dimenzija, a skupovi kompleksnih brojeva
fraktalna su dimenzija šume.
Kompleksne jednadžbe preslikavaju dinamiku rasta i razvoja šuma u šest dimenzija. Tri su
prostorne, četvrta je vrijeme, peta je brzina, a šesta dimenzija diskretno je skrivena u titrajnom
sustavu. Šume su titrajni sustavi koji postaju kaotični jer posjeduju element povratne veze.
Kompleksne jednadžbe kvalitativni su alati za izmjeru brzine promjena u šumama. Alati za
prostorno vremensko praćenje oscilacija prirasta tijekom klimatskih promjena, a također i za
obračun gubitka prirasta zbog biotičkih
ili
abiotičkih ekscesa. Nelinearnom
dendrokronologijom i metodama nelinearne dinamičke analize mogu se iteracijama preko
koeficijenta otpora rastu spoznati promjene stanja rasta stabla. Vremenske serije koeficijenta
otpora rastu uspoređuju se s vremenskim serijama klimatskih promjena.
Sušenje šuma emergentna je pojava. Bifurkacijama, grananjem nastaju novi nelinearni
dinamički sustavi.
Kompleksne jednadžbe visinske strukture univezalni su alati za numeričko bonitiranje
staništa, konstrukciju standardnih visinskih krivulja i konstrukciju standardnih jednoulaznih
volumnih tablica (tarifa).
50
Kompleksne jednadžbe debljinske strukture univezalni su alati za numeričko preslikavanje
debljinskog rasta i razvoja u prostoru i vremenu.
Kompleksnom jednadžbom debljinske strukture obavlja se dijagnoza stanja stabilnost
šume. Dijagnoza stanja stabilnosti šume od presudne je važnosti za održivo gospodarenje
šumama. Stanje disipativne strukture šume ključni je kriterij za propisivanje ophodnje.
Kompleksne jednadžbe sastojinske debljinske i visinske strukture univerzalni su alati za
konstrukciju prirasno-prihodnih tablica, itinerar rasta i razvoja šuma u prostoru i vremenu.
Kompleksne jednadžbe rastenja kvalitativni su alati za kvantitativno, numeričko
multidimenzijsko modeliranje rasta i razvoja šuma. Numeričkim multidimenzijskim
modeliranjem dinamike rasta i razvoja šuma osiguravamo potrajnost gospodarenja u svakom
prostoru, odjelu ili odsjeku.
Multidimenzijskim modeliranjem postiže se racionalizacija prikupljanja dendrometrijske
izmjere i brža obrada izmjerenih podataka. Preciznost prognoze budućeg rasta i razvoja šuma je
maksimalna.
Sastojine hrasta lužnjaka u Republici Hrvatskoj narušene su regularne strukture,
nestabilnog i neperiodičnog stanja, a 43% stabala značajno je oštećeno.
U uvjetima klimatskih promjena i recesije iskorak iz krutog linearnog sustava u nelinearni
dinamički sustav jedina je alternativa održivog gospodarenja i zaštite šuma.
Multidimenzijsko modeliranje dinamike rasta i razvoja hrasta lužnjaka (Quercus robur L),
model je kako gospodariti šumama Republike Hrvatske, ali i šumama Europske Unije.
18. KORIŠTENA LITERATURA I OBJAVLJENI RADOVI
Androić, M., Cestar, D., i dr., 1975: Istraživanje uzroka i posljedica sušenja prirodnih jelovih
šuma u SR Hrvatskoj. Radovi br. 23: 1-163, Zagreb.
Apsen, B., 1964: Repetitorij više matematike. Tehnička knjiga, YU ISBN 86-7059-134-0, str.
1-368, Zagreb.
Bezak, K., 1981: Proučavanje strukture i veličine sastojinskog debljinskog prirasta hrasta
lužnjaka (Quercus robur L.) u zajednici hrasta lužnjaka s velikom žutilovkom (Genisto
elatae – Quercetum roboris Horv. 38). Magistarski rad: 1-55, Šumarski fakultet
sveučilišta u Zagrebu.
Bezak, K., Cestar D., Hren V., Kovačević Z., Martinović J., Pelcer Z., 1989: Uputstvo za
izradu karte ekološko-gospodarskih tipova brdskog i nizinskog područja (II) SR Hrvatske,
Rad.Šumar.inst. 24 (79): 1-119, Zagreb., Zagreb.
Bezak, K., 1990: Proučavanje strukture i veličine sastojinskog rasta i prirasta hrasta lužnjaka
(Quercus robur L.) u zajednici hrasta lužnjaka s velikom žutilovkom (Genisto elatae –
Quercetum roboris Horv. 38). Disertacija:1-168, Šumarski fakultet sveučilišta u Zagrebu.
Bezak, K., Sruk V., Viličić V., 1990: Utjecaj hidromeliorativnih radova na dinamiku populacija
divljači u Črnec polju, Rad. Šumar. inst. 25(2): 363-384, Zagreb.
Bezak, K., 1992: Prigušene oscilacije fenomena rasta i prirasta praćene Levakovićevim
analitičkim izrazima. Zbornik o Antunu Levakoviću, HAZU Centar za znanstveni rad
Vinkovci, Posebno izdanje VI: 57-83.
Bezak, K., Krejči V., Vrbek, B.,1992: Fir Decline Followed by Changes of Vitaly and
Increment of Beech and Fir Forests in the 1961-1990 Period. (Propadanje jele praćeno
promjenama vitalnosti i prirasta šume bukve i jele od 1969-1990. godine). 6. IUFRO –
Tannensymposium, Šumarski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, Zbornik radova: 191-203,
Zagreb.
Bezak, K., Krejči V., Krznar A., 1993. Prirasno-prihodne tablice hrasta lužnjaka u šumama
vlažnoga tipa. Rad.Šumar.inst. br.1-2: str. 55-67, Zagreb.
Bezak, K., 1993: Erkenntnisse über gedampfte Schwankungen des Bestandszuwaches mit
Rückblick auf das Wachstumsmodel des Waldes. (Spoznaja oprigušenim oscilacijama
sastojinskog prirasta s posebnim osvrtom na modele rastenja šuma). IUFRO S. 4. 04-00,
51
Forest management Planning and Managerial Economics, Procedings Symposium: 6-14,
Palanga, Litthuania.
Bezak, K., 1995: The suppressed oscillations of the pedunculate oak (Quercus robur L.) stand
diameter growth (Prigušene oscilacije sastojinskog debljinskog rasta hrasta lužnjaka).
IUFRO XX World Congress, Tampere, Finland. Danish Forest and Landscape Research
Institute: str. 7-17, Tampere, Finska.
Bezak, K., 2000: The Uncertainty principle of diameter growth and increment in pedunculate
oak (Quercus robur L.), ( Načelo neodređenosti debljinskoga rasta i prirasta hrasta
lužnjaka (Quercus robur L.). IUFRO WORKING GROUPS, International conference
OAK 2000, Imrovement of Wood Quality and Genetic Diversity of Oaks, Poster
Abstracts, s. 13-14., Zagreb, Hrvatska.
Bezak, K., 2000: Quantum hypothesis of Growth and Development. XXI IUFRO World
Congress, IUFRO S4. 01. Poster Abstracts: str.127-128, Kuala Lumpur, Malesia.
www.iufro-down.boku.ac.at/iufro/congress2000/csc/proced_poster.062700.prn.pdf.
Bezak, K., 2001: Parametri Špiranćevih drvnogromadnih tablica za krupno drvo hrasta lužnjaka
(Quercus robur L), hrasta kitnjaka (Quercus petrea L) i bukvu (Fagus sylvatica L.), Šum.
list br. 11-12., 635-640, Zagreb.
Bezak, K., 2002a: Prisilno visinsko rastenje sastojina hrasta lužnjaka (Quercus robur L.). Rad.
Šumar.inst. 37 (2): 185-201, Jastrebarsko.
Bezak, K., 2002b: Modeli sastojina hrasta lužnjaka (Quercus robur L) i njihova novčana
vrijednost produkcije drvnih sortimenata, Šum. list br. 9-10., 479-487, Zagreb
Bezak., 2002b: Oscilacije između mitologije i kvantne fizike. Šum. list br. 5-6., 307-309, Zagreb.
Bezak, K., 2005: How do Forest Grow? Kako raste šuma?. XXII IUFRO World Congress,
Poster Abstracts. The International Forestry Review Vol. 7(5), pp. 34., Brisbane,
Australia.
Bezak, K. 2006: Modeliranje multidimenzijske dinamike šuma. Rad. Šumar. inst. 41 (1-2): 5763, Jastrebarsko.
Bezak, K., Kuric, D., Vrebčevć, M, 2007: Disipativna struktura sjemenjača hrasta lužnjaka
(Quercus robur L.) u gospodarskoj jedinici „Slavir“. Šum. list br. 1-2., 35-56, Zagreb.
Bezak, K., 2007a: Deterministic Chaos in Forests. DAAAM International Scientific Book
2007, B. Katalinic (Ed.), Published by DAAAM International, ISBN 3-901509-60-7,
ISSN 1726-9687, Vienna, Austria.
Bezak, K., 2007b: Linear or nonlinear system of sustainable forest Management? Annals of
DAAAM for & Procedings of the 18th International DAAAM Symposium, ISSN 17269679, ISBN 3-901509-58-5, Editor B. Katalinic, Published by DAAAM International, str.
077-078, Vienna, Austria.
Bezak, K., 2007c: Kaotična lovišta. Časopis Hrvatske šume, broj 127-128: 40-42, Zagreb.
Bezak, K., 2008: Diagnosing the dissipative strukture of Forests. Procedings Book /
International Scientific Conference Integral Protection of Forests – Scientific – Platform,
editor R. Nevenić. Institute of Forestry, pp. 171-175, Beograd.
Bezak, K., 2008: Kako zaštiti i potrajno gospodariti šumama? Šum. list br. 3-4., 181-183,
Zagreb
Bezak, K., 2008: The Dissipative strukture of forests. (Disipativna struktura šuma). Procedings
of the 1st International Conference „Valis Aurea“ Focus on: Regional Development ISBN
978-953-98762-7-0, ISBN 978-3-901509-60-5, Editor B. Katalinić Published by
Polytehnic of Pozega, Croatia & DAAAM International, str. 061-065, Vienna, Austria.
Bezak, K., 2009: Teorija kaosa pomaže šumarima. Priroda broj 982: 33-40, Zagreb.
Bezak, K., 2009: Modeliranje rasta i rasta sastojina obične bukve (Fagus sylvatica L) u
ekološko-gospodarskom tipu II-D-11. Rukopis.
Bezak, K., 2010: Nonlinear Dendrochronologyof Tree Growth and Development (Nelinearna
dendrokronologija rasta i razvoja stabla). Procedings of the 2st International Conference
„Valis Aurea“ Focus on: Regional Development ISBN 978-953-7744-06-9, ISBN 978-3-
52
901509-76-6, Editor B. Katalinić Published by Polytehnic of Pozega, Croatia &
DAAAM International, str. 079-083, Vienna, Austria.
Bošković J.R., 1763: Theoria philosophiae naturalis. Venetiis MDCLXIII. Prijevod s latinskog
J. Stipišić, 1974: Teorija prirodne filozofije. Institut za filozofiju Sveučilišta, Zagreb.
Brown, Pete: Order Out of Chaos – Ilya Prigogine and Isabelle Stengers. Internet:
http://www.littlesputnik.net/trpearce /orderchaos.htm
Capra, F., 1980: The Web of Life. Prijevod Zafirović, L., 1998: Mreža života. Liberata, str. 1304, Zagreb
Cestar D., Hren V., Kovačević Z., Martinović J., Pelcer Z., 1986: Uputstva za izradu karte
ekološko-gospodarskih tipova gorskog područja (I) SR Hrvatske šuma. Rad. Šumar. inst.
4: 1-125, Zagreb.
Cestar D., Hren V., Kovačević Z., Martinović J., Pelcer Z., 1986: Tipološke značajke nizinskih
šuma Slavonije. (Typological characteristic of lowland forests of Slavonia). Rad. Šumar.
inst. 21 (68): 1-80, Zagreb.
Cestar D., Bezak K., 1988: Probleme der Forsteinrichtungen der submediterranen Region
Croatiens. (Problem uređivanja šuma submediteranskog i eumediteranskog područja
Hrvatske). IUFRO S. 4. 04-00 Forest management planning and Managerial Economies,
Proceedings Symposium: 25-31, Haifa, Israel.
Cipan,
V.,
2003:
Filozofski
osvrt
na
deterministički
kaos.
Internet:
http://student.fizika.org/~vcipan/filozofija.html
Coles, Peter., 2000: Hawking and the Mind of God. Prijevod Peričić, A., 2001: Hawking i um
Boga. Naklada Jesenski i Turk, str. 1-70, Zagreb.
Dekanić, I. 1991: Utjecaj strukture na njegu sastojina proredom u šumi hrasta lužnjaka i
običnog graba (Querco roboris – Carpinetum illyricum Anić). HAZU Centar za
znanstveni rad Vinkovci, str. 1-153, Vinkovci.
Dirac, M., 1988: Metode u teorijskoj fizici. Moderna fizika, Školska knjiga, str. 87-95, Zagreb.
Dodig, S., Jakšić, A., Polferov I., Sušac, D., 2004: Osnova gospodarenja za gospodarsku
jedinicu SLAVIR, (2004 – 2013. godinu), Vinkovci.
Dubravac, T., 2002: Zakonitosti razvoja strukture krošanja hrasta lužnjaka i običnoga graba
ovisno o prsnom promjeru i dobi u zajednici (Carpino betuli-Quercetum roboris Anić em.
Rauš 1969.). Disertacija, str:1-196, Zagreb.
Einstein, A., 1956: Über die Specieelle und die allgemeine Relativitätheorie. Prijevod: Mikulić,
D.: Moja teorija. Polaris/Kronos, str. 1-110, Beograd, Zagreb.
Fritts, H.C., 1976: Tree Rings and Climate. Academic Press, str. 1-567, London, New York,
San Francisco.
Harapin, M., 1996: Utjecaj biotičkih čimbenika na sušenje šuma Pokupskog bazena. Rad.
Šumar. inst. vol. 31, br. 1/2: 131-138, Jastrebarsko.
Heisenberg, W., 1988: Teorija, kritika i filozofija. Moderna fizika, Školska knjiga, str. 69-85,
Zagreb.
Hren, V., 1979: Podesnost Levakovićeve funkcije za izražavanje i praćenje razvoja sastojinske
strukture. Rad. Šumar. Inst. br. 36, 1-79, Zagreb.
Hren V., Krejči V., Bezak K., 1988: Frekvencija broja stabala po debljinskim stupnjevima kao
pomoć kod uzgojnih zahvata – proreda. Rad. Šumar. inst. 23 (75): 159-165, Zagreb. 15
Hren, V., V., Krejči, 1990: Pomak krivulje dužina krošanja u jednodobnim sastojinama
lužnjaka s obzirom na njihovu starost. Rad. Šumar. Inst., Vol. 25, 2:337-344, Zagreb.
* KAOSLANTIDA: Deterministički kaos, fraktali, fraktalna geometrija, fraktalna umjetnost,
2007: Internet http://elgrunon.wordpress.com/2007/04/18/mala-povijest-deterministickogkaosa-iii/
Klepac, D., 1955: Utvrđivanje prirasta po metodi izvrtaka. Šumarski list br. 11-12, Zagreb.
Klepac, D., 1961: Novi sistem uređivanja prebornih šuma. Poljoprivredna šumarska komora
NR Hrvatske. str. 1-46, Zagreb.
Klepac, D., 1963: Rast i prirast šumskih vrsta drveća i sastojina. Nakladni Zavod Znanje, str. 1299, Zagreb.
53
Klepac, D., 1963: Uređivanje šuma. Nakladni Zavod Znanje, str. 1-341, Zagreb.
*Klepac, D., 1971: Jedan pokus o tome kako se pomiče visinska krivulja u jednodobnim
sastojinama hrasta lužnjaka s obzirom na njihovu starost. Šum. list, str. 141-149, Zagreb.
Klepac, D., 1975b: Oscilacija i struktura debljinskog prirasta hrasta lužnjaka u gospodarskoj
jedinici “Josip Kozarac” od 1950 do 1971. godine. JAZU, Centar za znanstveni rad
Vinkovci, Vinkovci.
Klepac, D., 1982: Hrastove šume u Slavoniji. Šum. list br. 11/12., Zagreb.
Klepac, D., Kovačić Đ., 1993: Još jedna mogućnost primjene jednadžbi funkcije rasta. HAZU,
Anali za šumarstvo 18/2:41-53. Zagreb.
Klepac, D., 1996: Rast i prirast hrasta lužnjaka; knjiga: Hrast lužnjak (Quercus robur L) u
Hrvatskoj, HAZU, Centar za znanstveni rad Vinkovci, Vinkovci.
Klepac, D., 2000: Najveća cjelovita šuma hrasta lužnjaka u Hrvatskoj SPAČVA. Hrvatska
akademija znanosti i umjenosti, Centar za znanstveni rad u Vinkovcima, knjiga 10., 1116 str., Vinkovci.
Komlenović, N., Cestar D., 1981 Istraživanje stanja ishrane obične jele (Abies alba Mill.) u
utvrđenim ekološko - gospodarskim tipovima šuma u SR Hrvatskoj. Rad. Šumar. inst.
45: 1-37, Zagreb.
Komlenović, N., Cestar D., 1984: Istraživanje stanja ishrane lužnjaka (Cuercus robur L.) u
utvrđenim ekološko - gospodarskim tipovima šuma u SR Hrvatskoj. Rad. Šumar. inst.
59: br. 1-34, Zagreb.
Komlenović, N., Bezak, K., Rastovski, P., 1989: Istraživanje stanja ishrane poljskog jasena
(Fraxinus angustifolia Wahl.) u utvrđenim ekološko-gospodarskim tipovima šuma u
Hrvatskoj. Rad. Šumar. inst. 59: 1-34, Zagreb.
Komlenović, N., Bezak, K., Rastovski, P., 1991: Istraživanje stanja ishrane hrasta kitnjaka
(Quercus petraea L.) u utvrđenim ekološko-gospodarskim tipovima šuma Hrvatske. Rad.
Šumar. inst. 26 (1): 43-60, Zagreb.
Kolaković, M., Vrankić, I., 2004: Teorija kaosa. Zbornik ekonomskog fakulteta u Zagrebu, str.
86-96, Zagreb.
Kovačić, Đ., Hren, V., 1984: Normalna raspodjela stabala po debljinskim stupnjevima i
dobnim razredima u ekološko-gospodarskim tipovima II–G–20 i II–G–21. Rad. Šumar.
Inst. 61: 1-65, Zagreb.
Krahl-Urban, J., 1959: Die Eichen. Hamburg u., Berlin.
Kramer, H., 1988: Waldwachstumslehre: Ökologische und. antropogene Einflüsse auf das
Wachstumd. Waldes, seine Massen- und Wertleistung und Bestandessicherheit. Verlag
Paul Parey, str. 1-374, Hamburg, Berlin.
Krejči, V.: 1988: Prirast širina krošanja u zajednici hrasta lužnjaka s velikom žutilovkom
(Genisto elatae – Quercetum roboris Horv. 38) na području Hrvatske. Rad. Šumar. inst.
23 (77): 1-41. Zagreb.
Krstačić, G., 2004: Nelinearna dinamika i „teorija kaosa“ u kardiologiji. Medix, Vol.10
No.54/55, Zagreb.
Kušan, V., Kalafadžić, Z., Hrašovec, B., Diminić, D., Zdjelar, M., 1991: Izgled oštećenih
stabala jele, smreke i bukve. Mala ekološka biblioteka, Knjiga 5, str. 1-65, Zagreb.
Lesmoir-Gordon, N., Rood, W. & Edney, R. 2000: Introducing Fraktal Geometry. Prijevod:
Lopac, V., 2005: Fraktalna geometria. Naklada Jesenski i Turk, str. 1-173, Zagreb.
Levaković, A., 1935: Analitički oblik zakona rastenja, Glas. šum. pokuse 4., 189-282, Zagreb.
Levaković, A., 1938: O izgledima i mogućnostima numeričkog bonitiranja stojbina. Glas.
Šum. pokuse 6:319-373, Zagreb.
Levaković, A., 1938: Fiziološko-dinamički osnovi funkcija rastenja, Glasnik za šumske pokuse
6, Zagreb.
Levaković, A., 1948: O analitičkom izražavanju sastojinske strukture. Glasnik za šumske
pokuse, str. 293-366, Zagreb. 15
Lopac, V. 2003: Do kaosa i natrag: putovanje u nepredvidljivost. Naklada Jesenski i Turk. str.
1-75, Zagreb.
54
Luketin, I., : Determistički kaos. Internet: http://www.pmfst.hr/~luketin/ivadip.htm
Lukić, N., 1992: Primjena Levakovićeve formule rasta u dendrokronologiji. Zbornik radova
o Antunu Levakoviću, str. 57-83. HAZU, Centar za znanstveni rad Vinkovci.
Lukić, N., A. Pranjić, T. Kružić, S. Babić, 1996: Dendrokronološka istraživanja u šumama
Pokupskog bazena. Rad. Šumar. inst. vol.31, br. 1/2: 125-130, Jastrebarsko.
Mayer, B., 1996: Hidropedološki odnosi na području nizinskih šuma Pokupskog bazena. Rad.
Šumar. inst. vol.31, br. 1-2: 37-89, Jastrebarsko.
Matić, S., 1991: Njega šuma proredom. Šumarski fakultet i J.P. “Hrvatske šume”/ Uprava šuma
Koprivnica, str. 1-45. Zagreb.
Matić, S., 1992: Uzgojni radovi na obnovi i njezi sastojina hrasta lužnjaka. Monografija: Hrast
lužnjak (Quercus robur L.) u Hrvatskoj. HAZU Centar za znanstveni rad Vinkovci i JP
“Hrvatske šume” p.o.o. str. 167-212, Zagreb.
McEvoy, J.P. & Zarate, O. 1996: Introducing Quantum Theory. Prijevod: Lopac, V., 2002:
Kvantna teorija za početnike. Naklada Jesenski i Turk, str. 1-176, Zagreb.
Meštrović, Š., Pranjić, A., Kalafadžić, Z., Križanec, R., Bezak, K., Kovačić, Đ., 1992:
Uređivanje šuma, Monografija šume u Hrvatskoj. Šumarski fakultet, Sveučilište u
Zagrebu. Separat str. 131-152. Zagreb, 14
Meštrović, Š., Fabijanić, G., 1995: Priručnik za Uređivanje šuma. Ministarstvo poljoprivrede i
šumarstva; Hrvatske šume p.o. Zagreb, 1- 416 str., Zagreb.
Milković, I. i dr. 2006: Šumskogospodarska osnova područja (2006-2015). Hrvatske šume
d.o.o. Zagreb, Zagreb.
Moritz, H., 1995: Science, mind and the universe. Prijevod Trbojević, D., 1988: Znanost, um i
svemir: Uvod u prirodnu filozofiju, Školska knjiga, str. 1-264, Zagreb.
Morozov, G.R., 1930: Nauka o šumi, Priredio: Balen J., 1940., str. 1-205, Zemun.
Nakić, I., 2000: Deterministički kaos. Maturalna radnja, Gimnazija Jurja Barakovića, Zadar
Internet: http://www.inet.hr/~ivnakic/kaos.
Pejnović, T., 2009: Osnova gospodarenja za gospodarsku jedinicu Posavske šume – Sunja,
(2009 – 2018. godinu), Sisak.
Ponomarev, L. I., 1988: The Quantum dice. Prijevod Trbojević, D., 1995: Kvantna kocka.
Školska knjiga, str. 1-372, Zagreb.
Pranjić A., 1980: Odnos visinskog i debljinskog prirasta u sastojinama hrasta lužnjaka. Glasnik
za šumske pokuse 20, str. 5-92, Zagreb.
Pranjić, A., 1981: Hipotetski razvoj sastojina hrasta lužnjaka. Glas. šum. pokuse, 23: 1-23,
Zagreb.
Pranjić, A., Lukić, N., 1997: Izmjera šuma. Šumarski fakultet Sveučilišta u Zagrebu. Šumarski
fakultet, pp: 1 – 405, Zagreb.
Prpić, B., Z. Seletković, I. Tikvić, G. Žnidarić, 1996: Ekološko – biološka istraživanja . Rad.
Šumar. inst. vol.31, br. 1-2: 97/109, Jastrebarsko.
Rastovski P., Bezak K., 1994: Istraživanje stanja prehrane i rasta obične bukve (Fagus sylvatica
L.). Rad. Šumar. inst. 29 (2): 259-277, Jastrebarsko.
Roša, J., 2001: Praćenje šumskih ekosustava, Hrvatske šume, , ISBN 953-6253-19-14, str. 176, Zagreb
Salam, A., 1988: Unification of Fundamental Forces. Prijevod Brana J.: Ujedinjenje temeljnih
sila prirode. Školska knjiga, str. 1-61, Zagreb.
Sardar, Z. & Abrams, I., 1998: Introducing Chaos. Prjevod Lopac, V., 2001: Kaos. Naklada
Jesenski Turk, str.1-176 str., Zagreb.
Savelov, A. A., 1960: ПЛОСКИЕ КРИВЪІЕ. Prijevod Kučinić, B., S. Hozjan, 1979:
Ravninske krivulje. Školska knjiga, str. 1 – 383, Zagreb.
Stamenković, V., 1974: Prirast i proizvodnost stabala i šumskih sastojina. Beograd.
Supek, I., 1952: Teorijska fizika i struktura materije, drugi dio. Školska knjiga, Zagreb.
Supek, I., Furić, M., 1994: Počela fizike, Školska knjiga, str. 1 – 250, Zagreb.
Stewart, I., 1996: Does God play dice? Prijevod, Lopac, V., 2003: Kocka li se bog? Nova
matematika kaosa. Naknada Jesenski Turk, str. 1-480,. Zagreb.
55
Tompkins, P. & Bird, C., 1973: The secret life of Plants. Prijevod, Miles, M.: Tajni život
biljaka. Prosvjeta, str. 1-275, Zagreb.
Šafar, J., 1963: Uzgajanje šuma. Savez šumarskih društava Hrvatske, str. 1-598, Zagreb.
Špiranec M., 1969: Proučavanje normalne proizvodnosti šuma. Rad. Šumar.inst. br. 14,
str.
1-39, Zagreb
Špiranec M., 1975: Drvnogromadne tablice, Rad. Šumar.inst., br 22, str. 1-262, Zagreb
Špiranec M., 1975: Prirasno prihodne tablice. Rad. Šumar.inst. br. 25, str. 1-85. Zagreb
Valacco, D.: Suptilne veze holističke znanosti. Internet: http://www.cid-nova.hr/slike/
materijali/holistika_1.pdf.
Weinberg, S., 1995 Dreams of a Final Theory. Prijevod, Vernić, O. & Mikuličić, D.,: 1997:
U potrazi za konačnom teorijom. Izvori, str. 1-297, Zagreb
Wicherink, J., 2008: Buđenje duša distorzije. Prijevod: Kvaternik, M., Internet
Wichman, E.H., 1971: Quantum physics. Berceley physics course – volume 4. Prijevod: Zovko
N., 1988: Kvantna fizika. Udžbenik fizike Sveučilišta u Berkeleyu – svezak 4. Tehnička
knjiga, str: 1 – 226. Zagreb.
Zelić, J. 2000: Prilog raspravi o teoriji rasta, prirasta i održivog razvoja.. Šum. list br. 9-10.,
Zagreb.
Zelić, J. 2006: Raste li drveće u šumi po pravilima zlatnog reza i Fibonacijevog niza “. Šum.
list br., 7-8, Zagreb.
56

MULTIDIMENZIJSKO MODELIRANJE DINAMIKE

ovdje - Hrvatska udruga za arborikulturu

„KVALITETA, RAST I RAZVOJ“

ŠUMARSKI LIST 11

Mesne pasmine velikog okvira

1 - Šumarski list

zaštita endemne pančićeve omorike u nr bosni i hercegovini

Refleksije i poruke Savjetovanja

LOGISTIČKI MODEL - Zavod za matematiku

BIFURKACIJE U ŠUMAMA OBIČNE JELE (Abies alba

ŠUMARSKI LIST 11