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Meccanica, Macchine ed Energia – articolazione Meccanica e Meccatronica 3 – Giuseppe Anzalone, Paolo Bassignana, Giuseppe Brafa Musicoro • Copyright © Ulrico Hoepli Editore S.p.A.
B1.3Analisi armonica del sistema
biella-manovella
Lo studio che ha condotto alla formulazione approssimata della velocità (4Form. 1.6) e dell’accelerazione del piede di biella (4Form. 1.7) è
stato condotto utilizzando equazioni semplificate nelle quali sono stati
trascurati alcuni termini. È pur sempre possibile sviluppare le derivate dello spostamento x, operando a partire dalla formulazione completa
(4Form. 1.3 ), senza trascurare nessun fattore, onde ricavare formule
esatte per la velocità e soprattutto per l’accelerazione.
Per ovviare alle difficoltà concettuali causate dalla presenza della
radice quadrata all’interno della parentesi tonda nella [1.3], è possibile
sostituire la radice quadrata mediante uno sviluppo in serie di potenze.
Poiché:
1 − λ 2 sen 2 ϑ
è riconducibile alla seguente funzione generale:
(1 + x)a
in cui la variabile indipendente x è pari al prodotto (-λ2 sen2 ϑ) e l’esponente a è pari a 1/2. Sviluppando (1 + x)a in serie di Mc Laurin e tralasciando i passaggi relativi allo sviluppo in serie e alle successive operazioni di derivazione, per i quali si rimanda a testi specialistici, si perviene alla seguente formulazione dell’accelerazione del piede di biella:
ap = ω 2 r(cos ϑ + A2 cos 2 ϑ + A4 cos 4 ϑ + A6 cos 6 ϑ + A8 cos 8 ϑ + …)
in cui l’angolo ϑ può essere sostituito con il prodotto della pulsazione ω
per la variabile tempo t:
ap = ω 2 r(cos ω t + A2 cos 2 ω t + A4 cos 4 ω t +
+ A6 cos 6 ω t + A8 cos 8 ω t + …)
poliglotta
Componente armonica
GB: Harmonic component
F: Composante harmonique
D: Teilschwingung
richiamo
La formula che pone in relazione
la pulsazione con la frequenza
è la seguente: ω = 2 π f.
1
[1.10]
L’accelerazione del piede di biella si presenta in forma di serie, i
cui termini sinusoidali sono detti componenti armoniche.
Attraverso una rigorosa procedura matematica si è ottenuta la
[1.10], che costituisce l’espressione esatta per l’accelerazione del piede di
biella, le cui caratteristiche sono riportate di seguito.
—Essa si presenta sotto forma di somma di infinite funzioni coseno
che differiscono fra loro per ampiezza e pulsazione.
—La prima delle funzioni coseno, avente ampiezza A1 unitaria e pulsazione ω pari alla velocità angolare dell’albero, è detta componente fondamentale o del primo ordine.
—La seconda delle funzioni coseno, avente ampiezza A2 e pulsazione
pari al doppio della velocità angolare dell’albero, è detta componente del secondo ordine.
—La terza delle funzioni coseno, avente ampiezza A4 e pulsazione pari
al quadruplo della velocità angolare dell’albero, è detta componente
del quarto ordine; per le componenti di ordine superiore si procede
equilibratura del sistema biella-manovella e degli alberi a gomito
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utilizzando lo stesso principio, per cui si avranno componenti del sesto ordine, dell’ottavo ordine e così via.
—Tranne la componente fondamentale, tutte le componenti armoniche hanno ordine pari: ciò si nota dal fatto che in esse la pulsazione
ω è moltiplicata per un numero multiplo di 2.
—Le ampiezze A2, A4, A6 sono dette coefficienti armonici e decrescono all’aumentare dell’ordine:
A2 > A4 > A6 > A8 > …
richiamo
Lo studio delle frequenze proprie
dei corpi è analizzato nella
Unità didattica A1.
—Di norma solo i primi due termini hanno importanza nello studio dei
fenomeni vibratori (specie nello studio dinamico del sistema biellamanovella), poiché l’ampiezza delle componenti armoniche si riduce
man mano che si prendono in considerazione gli ordini più elevati.
—Le armoniche di ordine elevato non sono tuttavia trascurabili, qualora una di esse risulti in fase con la frequenza propria di alcuni organi appartenenti al macchinario e che entrano in risonanza
quando sono eccitati dalla componente con frequenza uguale a quella dell’organo.
—L’insieme delle frequenze delle diverse armoniche generate nel moto
alterno del piede di biella, induce nei vari organi sottoposti a vibrazione uno stato di sollecitazione che causa l’affaticamento della struttura.
— La formulazione semplificata dell’accelerazione del piede di biella
(4Form. 1.7) si ottiene dalla formulazione completa (4Form. 1.10),
di cui rappresenta un caso particolare. È sufficiente prendere in
considerazione i primi due termini della serie (4Form. 1.10), aventi
ampiezze A1 = 1 e A2 = λ, per ottenere esattamente la [1.7].
—Anche la forza d’inerzia si presenta in forma di somma di infinite funzioni coseno; essa è ottenuta moltiplicando l’accelerazione (4Form.
1.10) per la massa mp applicata nel piede di biella. Le componenti più
importanti per l’esecuzione del calcolo strutturale della biella sono la
componente fondamentale e la componente di secondo ordine.
Esempio
Una pompa alternativa monocilindrica funziona a regime, alla frequenza di rotazione n = 1800 giri/min. Calcolare i valori delle pulsazioni relative alle componenti dell’accelerazione al piede di biella del primo, del
secondo, del quarto, del sesto e dell’ottavo ordine.
Soluzione
Si calcola per prima la velocità angolare a cui corrisponde la pulsazione
dell’armonica fondamentale ω I:
ωI =
2 π n 2 π 1800
rad
=
= 188, 5
60
60
s
cui corrisponde la frequenza f I:
fI =
ω I 188, 5
=
= 30 Hz
2π
2π
La pulsazione della componente del secondo ordine vale il doppio rispetto
2
equilibratura del sistema biella-manovella e degli alberi a gomito
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a quella della componente fondamentale:
rad
s
ω II = 2ω I = 2 × 188, 5 = 377
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cui corrisponde la frequenza f II:
f II =
ω II 377
=
= 60 Hz
2π
2π
La pulsazione della componente del quarto ordine vale il doppio rispetto
a quella del secondo:
ω IV = 2ω II = 2 × 377 = 754
rad
s
cui corrisponde la frequenza f IV:
f IV =
ω IV 754
=
= 120 Hz
2π
2π
La pulsazione della componente del sesto ordine vale il sestuplo rispetto
a quella della componente fondamentale:
ω VI = 6 ω I = 6 × 188, 5 = 1131
rad
s
cui corrisponde la frequenza f VI:
f VI =
ω VI 1131
=
= 180 Hz
2π
2π
La pulsazione della componente dell’ottavo ordine vale il doppio rispetto a quella del quarto:
ω VIII = 2ω IV = 2 × 754 = 1508
rad
s
cui corrisponde la frequenza f VIII:
f VIII =
ω VIII 1508
=
= 240 Hz
2π
2π
Analisi sperimentale dell’accelerazione del piede di biella
È possibile effettuare il percorso inverso a quello della somma delle
componenti armoniche appena descritto, grazie al teorema formulato
dal matematico Jean Baptiste Fourier, per il quale:
una qualsiasi funzione periodica, non importa quanto complessa, può
essere decomposta nella somma di un numero infinito di componenti sinusoidali, aventi diverse ampiezze e con le frequenze correlate fra loro.
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equilibratura del sistema biella-manovella e degli alberi a gomito
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poliglotta
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Spettro delle frequenze
GB: Frequency spectrum
F: Spectre de fréquences
D: Frequenzspektrum
richiamo
Le apparecchiature in grado
di scomporre un segnale di natura
acustica o vibrazionale nelle sue
componenti armoniche sono dette
Sound Intensity Analyzer o Fast
Fourier Transformer (FFT).
L’insieme delle componenti armoniche di una vibrazione costituisce lo
spettro delle frequenze.
Osservazione: su questo principio si basano i rilevamenti sperimentali
eseguiti applicando accelerometri su macchinari vibranti, allo scopo di
prelevare segnali proporzionali all’accelerazione complessiva; tale segnale viene amplificato e inviato ad apparecchiature in grado di decodificarlo e scomporlo nelle sue componenti armoniche.
È possibile rappresentare lo spettro riportando le ampiezze delle componenti su un grafico, in cui sull’asse delle ascisse sono indicate le frequenze, anziché il tempo o l’angolo di rotazione; pertanto il grafico in
dominio di tempo diventa un grafico in dominio di frequenza, evidenziando il valore dell’ampiezza di ciascuna componente armonica.
Nella figura 1.7a si riporta lo spettro in dominio di frequenza per
l’accelerazione del piede di biella, in cui sono state prese in considerazione
le componenti fino al quarto ordine. Il grafico indicato nella figura 1.7b corrisponde a un rilievo sperimentale con l’accelerometro posto, per esempio,
sulla testata di un motore monocilindrico in funzione, dotato quindi di un
solo meccanismo biella-manovella; anche in questo caso sono stati riportati
i contributi delle componenti comprese tra il primo e il quarto ordine.
Fig. 1.7
Analisi spettrografica
dell’accelerazione del piede di biella:
a) schema teorico;
b) risultato sperimentale.
poliglotta
Vibrazione
GB: Vibration
F: Vibration
D: Schwingung
4
Dal confronto fra i due grafici, rispettivamente teorico e sperimentale,
tracciati nella figura 1.7, emergono diverse considerazioni:
—si conferma il ruolo preponderante svolto dall’armonica fondamentale e, in percentuale minore, da quella del secondo ordine;
—l’ampiezza dall’armonica fondamentale e quella del secondo ordine
stanno fra loro nel rapporto λ;
— gli spettri indicano il decadere dei contributi delle funzioni al crescere del loro ordine, soprattutto per gli ordini superiori al secondo;
—le ampiezze rilevate per via sperimentale sono di poco superiori a quelle
teoriche: ciò è dovuto alle componenti vibrazionali generate all’atto
della combustione, che si propagano attraverso la struttura e che vengono percepite dal sensore e poi trasmesse lungo la catena di misura;
—lo spettro rilevato per via sperimentale evidenzia anche la presenza
delle ampiezze di ordine dispari, seppure di bassa entità: anche queste sono generate dalla combustione.
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richiamo
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I motori a V, aventi l’angolo
fra le due bancate pari a 60°,
sono detti motori a V stretto
o a V scalato (4Fig.1.28).
Motori e compressori con cilindri a V e contrapposti
La ripartizione dei cilindri a V consiste nello sdoppiamento del basamento in due bancate parallele e inclinate; il numero dei cilindri viene suddiviso a metà per ciascuna bancata.
Tale architettura è molto diffusa quando è presente un elevato numero
di cilindri (per esempio nei motori con otto e più cilindri), mentre è meno
diffusa nei motori a due e a sei cilindri. Il vantaggio che ne deriva consiste
essenzialmente nel contenimento dell’ingombro longitudinale dell’albero
e del motore in generale. Infatti la lunghezza di un basamento formato da
un certo numero di cilindri in linea è pari alla somma degli alesaggi di ciascun cilindro più gli spessori di parete fra un cilindro e l’altro.
Suddividendo i cilindri alternativamente su due bancate affiancate
si ottiene una macchina di forma più compatta: infatti all’aumento delle
dimensioni trasversali segue una riduzione di ingombro longitudinale,
poiché le due bancate sono affiancate e ciascuna occupa circa la metà
della lunghezza del basamento unico.
A questo punto è opportuno montare due bielle per manovella, collegate con pistoni operanti il primo in una bancata, il secondo nell’altra; in
tal modo si sono ridotti sia l’ingombro in longitudinale del basamento sia
la lunghezza complessiva dell’albero; l’angolo fra le due bancate è scelto
fra pochi valori, principalmente 60°, 90° e 120°.
Nei motori bicilindrici a V l’albero a gomiti presenta una sola manovella su cui sono montate affiancate entrambe le bielle, consentendo di
ottenere una buona riduzione degli ingombri in senso assiale unitamente
a un’elevata rigidezza torsionale (4Fig.1.25a). Si tratta di un’architettura
adottata frequentemente sia nei motori motociclistici sia nei compressori.
Fig. 1.25
Imbiellaggio per:
a) motore bicilindrico a V di 90°;
b) motore bicilindrico contrapposto;
c) motore bicilindrico boxer,
di produzione BMW.
Con riferimento allo schema rappresentato nella figura 1.25a è possibile
notare la presenza di un abbondante contrappeso, il cui asse di simmetria è in linea con l’asse del cilindro destro, proprio quando il pistone
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destro si trova al PMS. Quest’ultimo è dimensionato in modo da controbilanciare al 100% sia la forza alterna del primo ordine, agente sul
pistone destro, sia la forza centrifuga dell’albero.
Nella suddetta configurazione, inoltre, il pistone sinistro si trova
esattamente a metà della sua corsa, e la sua forza alterna del primo
ordine vale 0.
Eseguendo una rotazione oraria di 90° le parti si invertono; il pistone destro si trova a metà corsa (quindi la sua forza alterna del primo ordine è nulla); il pistone sinistro si trova al PMI, pertanto la forza
alterna del primo ordine è massima ma del tutto controbilanciata dal
contrappeso: in questa seconda configurazione esso si dispone con l’asse
di simmetria allineato all’asse del cilindro sinistro.
Si può affermare che adottando l’architettura a due cilindri a V di 90°
mediante contrappesatura si ottiene la completa equilibratura delle forze alterne del primo ordine.
Un’interessante variante consiste nell’aumentare l’angolo fra i due cilindri fino a 180°, così che le loro posizioni siano contrapposte. L’albero a
gomiti è ora formato da due manovelle pure contrapposte, in modo che
entrambi i pistoni giungano contemporaneamente al PMS, condizione
necessaria per il funzionamento regolare dei bicilindrici a quattro tempi
(4Fig.1.25b). L’albero a gomiti è analogo a quello impiegato nelle pompe
e nei compressori. Nella figura 1.25c è riportata la vista in elevazione del
motore motociclistico bicilindrico contrapposto R 1100 S, di produzione
BMW, in cui è posto in evidenza il pistone destro al PMS e un contrappeso a mannaia: tale contrappeso più un secondo ribaltato di 180° servono
per assicurare l’equilibratura dinamica dell’albero (4Fig.1.18b).
Nella figura 1.26 è riportato il compressore modello XLE, di produzione Ingersoll-Rand, avente due cilindri a 90°.
Fig. 1.26
Compressore bicilindrico a V di 90°,
modello XLE, di produzione
Ingersoll-Rand.
1
2
3
4
5
6
9
7
8
6
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Si possono osservare le valvole (1), il pistone (2), il passaggio dell’aria
proveniente dal primo stadio (3), l’interrefrigeratore (4), il vano separatore di condensa (5), due intercapedini di passaggio dell’acqua di
raffreddamento (6), la flangia di fissaggio del cilindro di alta pressione
all’incastellatura (7), la superficie di scorrimento della testa a croce in
materiale antifrizione (8) e l’indicatore del livello dell’olio (9).
Nella figura 1.27a è raffigurato il compressore modello T 30, di produzione Ingersoll-Rand, avente tre cilindri a doppia V: tale soluzione è detta
a W. Poco diffusa è la soluzione a quattro cilindri a V, usata su alcuni modelli motociclistici, come riportato in sezione nella figura 1.27b, in cui sono
posti in evidenza i pistoni e le bielle della prima manovella, orientati fra
loro a 90°, dietro ai quali vi sono le due cascate di ingranaggi, una per bancata, di comando delle due coppie di assi a camme della distribuzione. La
soluzione a V trova un vasto campo di applicazione nei motori a sei cilindri.
Fig. 1.27
Cilindri a V:
a) compressore tricilindrico a W,
di produzione Ingersoll-Rand;
b) motore quadricilindrico Honda
a V di 90°.
poliglotta
Imbardata, beccheggio
GB: Yaw, pitch
F: Lacet, galop
D: Gieren, Stampfen
7
Nell’esempio illustrato nella figura 1.28 l’albero motore ha sei manovelle
orientate fra loro a 60°, presentandosi come un doppio motore tricilindrico simmetrico: pertanto quando un pistone di una bancata giunge al
PMS, anche nell’altra bancata si ha un pistone al PMS.
Questa proprietà rende la successione delle combustioni molto regolare, tuttavia, venendo a mancare il piano mediano di simmetria, nasce
uno squilibrio nelle coppie centrifughe.
In tal modo sorgono due momenti squilibrati:
— il primo è orientato secondo un asse verticale che determina un moto vibratorio di imbardata;
— il secondo è orientato sull’asse orizzontale, perpendicolare all’asse
dell’albero motore, che determina un moto vibratorio di beccheggio,
per la cui equilibratura si deve ricorrere alle contrappesature.
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Fig. 1.28
Motore Duratec V6 da 2544 cc
di produzione Ford:
a) sezione trasversale;
b) vista in esploso con il basamento
a V, l’albero motore e i semigusci,
il sottobasamento e la coppa dell’olio.
Nei motori a otto, dieci, dodici e più cilindri l’architettura a V permette
di dimezzare il numero di manovelle: per esempio, nei motori a otto cilindri l’albero motore si presenta con solo quattro manovelle orientate fra
di loro a 90°, con due bielle su ciascun perno di manovella, realizzando
un ingombro longitudinale notevolmente ridotto (Figg. 1.14 e 1.29).
Osservazione: nel caso del motore 8V la numerazione prevede che, osservando il motore dal lato della puleggia, il cilindro 1 sia il primo della
bancata sinistra e che il cilindro 5 sia il primo della bancata destra.
Anche nel motore 8V sono presenti due momenti squilibrati: il primo è
orientato secondo un asse verticale, mentre il secondo è orientato secondo un asse orizzontale, perpendicolare all’asse dell’albero motore, per la
cui equilibratura è necessario ricorrere alle contrappesature.
Fig. 1.29
Albero a gomiti a otto cilindri a V,
di 90° per un motore a quattro tempi:
a) schema;
b) vista frontale.
Osservazione: l’architettura a otto cilindri a V di 90° è usata anche per le
auto da competizione, come per esempio la monoposto Ferrari 248 F1 di
Formula 1, destinata a disputare il campionato 2006: il motore ha una
cilindrata di 2398 cc, ha 32 valvole ed eroga una potenza di circa 720 CV.
Nella figura 1.30 sono riportate le sezioni longitudinale e trasversale
del motore automobilistico 8V a 90° a ciclo Otto, di produzione Daimler
Benz, che equipaggia l’autovettura Mercedes 300.
In particolare è possibile osservare l’albero a gomiti cruciforme (22),
la biella (21), il pistone (49) e il basamento (17).
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Fig. 1.30
Motore M119 per l’autovettura
Mercedes 300:
a) sezione longitudinale;
b) sezione trasversale (archivio
Mercedes-Benz).
Si riportano i seguenti
dati tecnici:
— ciclo di lavoro: iniezione
di benzina a quattro tempi;
— potenza nominale:
KAT 240 kW/326 CV
(normativa 80/1269/CEE);
— coppia nominale:
KAT 480 N m
(normativa 80/1269/CEE);
— numero dei cilindri: 8
— rapporto alesaggio/corsa:
96,5/85,0 mm;
— cilindrata totale effettiva:
4973 cm3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
32
15
31
30
16
29
17
28
18
27
19
26
20
25 24
33
34
14
23
35
36
6
37 11
22
38
21
8
9
4
39
50
7
10
40
49
41
48
47
1Occhio di sospensione
2Dispositivo di regolazione albero
a camme
3Catena a rulli doppia
4Coperchio testa cilindri
5Cappuccio candela
6Filtro aria
7Albero a camme agente sulle valvole
di scarico
8Albero a camme agente sulle valvole
di aspirazione
9Valvola di aspirazione
10Valvola di scarico
11Distributore carburante
12Regolatore di pressione carburante
13Tiranteria di regolazione
14Valvola d’iniezione
15Tubo di mandata acqua di riscaldamento
9
42
46
45
16Ritorno acqua di riscaldamento
17Basamento
18Anello di tenuta
19Cappello cuscinetto di banco
20Corona dentata del volano
21Biella
22Albero motore
23Interruzione indicazione livello olio
24Valvola di sovrappressione olio
25Pompa olio
26Smorzatore di vibrazioni
27Catena a rulli singola (azionamento
pompa olio)
28Ventilatore a giunto viscoso
29Pompa acqua
30Ventilatore
31Distributore alta tensione
32Manicotto entrata acqua
25
44
43
33Canale olio
34Bocchettone dell’olio
35Tubo di aspirazione
36Misuratore masse d’aria a filo caldo (HLM)
37Tubazione ricircolo gas di scarico
38Parte inferiore tubo di aspirazione
39Supporto albero a camme
40Punteria idraulica
42Collettore di scarico
42Canale principale olio
43Supporto motore
44Foro di compensazione della pressione
45Asta controllo livello olio
46Trasduttore di pressione
47Tubo radiatore olio
48Filtro olio
49Pistone
50Testa cilindri
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In diverse applicazioni, per ragioni di semplicità di lavorazione e di
elevata rigidità, l’albero motore degli 8V presenta le quattro manovelle complanari, esattamente come nel caso del motore quadricilindrico:
questa è la soluzione adottata in molti motori Ferrari 8V di 90°, come il
motore dell’autovettura modello 360 Modena, il cui albero è riportato
nella figura 1.31.
Fig. 1.31
Imbiellaggio completo per il motore
8V dell’autovettura Ferrari, modello
360 Modena (per cortesia Ferrari
Image Service).
Nella figura 1.32 sono riportate due immagini dell’albero del motore a
12 cilindri a V di 60°, dell’autovettura Ferrari F 50.
L’albero presenta sei manovelle e sette supporti ed è analogo all’albero di un motore a quattro tempi a sei cilindri in linea, illustrato nella
figura 1.24.
Fig. 1.32
Motore a 12 cilindri a V a 60°,
per l’autovettura Ferrari F 50
(per cortesia Ferrari Image Service):
a) albero a gomiti;
b) imbiellaggio completo.
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equilibratura del sistema biella-manovella e degli alberi a gomito
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Nella figura 1.33 è riportata la sezione del motore della vettura Ferrari
458 Italia. La vettura è una berlinetta a due posti che monta un motore
8V di 90° in posizione posteriore/longitudinale. Il motore ha la cilindrata di 4499 cc e sviluppa la potenza massima di 570 CV alla frequenza di
rotazione di 9000 giri/min. La coppia massima vale 540 Nm al regime di
6000 giri/min.
Fig. 1.33
Sezione trasversale del motore
della vettura FERRARI 458 Italia
(per cortesia Ferrari Image Service).
richiamo
Il sistema formato da alberi ausiliari
rotanti è detto Lanchester Harmonic
Balancer, dal nome dell’inventore.
11
Equilibratura mediante alberi ausiliari contrappesati
L’evoluzione raggiunta dalla tecnica motoristica nel corso degli anni
Ottanta e Novanta ha consentito di raggiungere regimi di rotazione
sempre più elevati, in modo da ottenere elevate prestazioni da cilindrate minori e con architetture semplificate come lo schema a quattro cilindri e a quattro tempi.
L’aumento dei regimi di potenza massima ha richiesto l’esecuzione
di interventi volti al miglioramento del comfort e dell’affidabilità degli
organi, costringendo all’adozione di misure di contenimento delle vibrazioni emesse dal motore e in particolare dagli organi alterni. Rela
tivamente ai problemi legati all’equilibratura del motore a quattro cilindri, il principale difetto consiste nello squilibrio delle forze alterne del
secondo ordine.
La soluzione adottata da molti costruttori consiste nel realizzare dei
contrappesi rotanti a velocità doppia rispetto a quella dell’albero motore, sistemando all’interno del basamento due alberi paralleli all’albero
motore, ma rotanti a velocità doppia. Tali alberi sono muniti di masse
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eccentriche, generando forze centrifughe rotanti in grado di controbilanciare gli effetti delle forze alterne squilibrate del secondo ordine. Il principio di funzionamento è illustrato nella figura 1.34.
Fig. 1.34
Sistema di equilibratura delle forze
alterne d’inerzia del secondo ordine
mediante alberi ausiliari:
a) pistone al PMI; le masse
degli alberi ausiliari sono rivolte
verso il basso;
b) manovella a 45°; le masse
degli alberi ausiliari sono orizzontali;
c) manovella a 90°; le masse
degli alberi ausiliari sono rivolte
verso l’alto;
d) manovella al PMI; le masse
degli alberi ausiliari sono rivolte
verso il basso.
richiamo
L’albero ausiliario rotante nello stesso
verso dell’albero motore è detto
corotante, quello rotante in verso
opposto è detto controrotante.
12
Due alberi gemelli, che portano ciascuno una massa eccentrica, ruotano
a velocità doppia rispetto all’albero motore, il primo nello stesso senso
dell’albero motore, mentre il secondo in senso opposto. Quando il pistone è al PMS, i due contrappesi sono rivolti verso il basso, con le due forze centrifughe pari ciascuna alla metà della forza alterna d’inerzia del
secondo ordine: le tre forze appaiono quindi in equilibrio (4Fig.1.34a).
Quando l’albero motore ha compiuto una rotazione di 45°, la forza
alterna d’inerzia del secondo ordine è nulla (4Fig.1.34b); i due alberi
ausiliari hanno compiuto una rotazione di 90°, dato che ruotano a velocità doppia; le due masse eccentriche si trovano in posizioni opposte, per
cui le due forze centrifughe risultano opposte.
Facendo compiere all’albero motore altri 45°, il pistone ha effettuato circa metà corsa in discesa, mentre la forza alterna d’inerzia del secondo ordine è orientata verso il basso, avendo raggiunto il suo valore
massimo negativo: le due masse centrifughe hanno compiuto un altro
mezzo giro e si trovano ora rivolte verso l’alto, equilibrando il sistema
(4Fig.1.34c ).
equilibratura del sistema biella-manovella e degli alberi a gomito
B1
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Si analizza infine la configurazione in cui il pistone è al PMI: dopo una
rotazione complessiva di 180°, la forza alterna d’inerzia del secondo ordine
ha compiuto un ciclo completo, raggiungendo di nuovo il valore massimo
positivo; anche gli alberi ausiliari hanno compiuto una rotazione completa, per cui i due contrappesi sono di nuovo rivolti verso il basso: le tre forze
pertanto si annullano (4Fig.1.34d ).
Nella figura 1.35 viene illustrato il montaggio e l’azionamento mediante cinghia bidentata dei due alberi ausiliari. Si noti come i due alberi ausiliari sono posizionati ad altezza diversa rispetto all’albero motore, allo scopo di generare anche una coppia di riequilibrio, per annullare
l’effetto rollio dovuto alle spinte laterali dei pistoni sulle pareti.
Fig. 1.35
Motore a quattro cilindri munito
di due alberi ausiliari per
l’equilibratura della forze alterne
d’inerzia del secondo ordine.
Nei motori monocilindrici e bicilindrici spesso si ricorre alla pratica
dell’albero controrotante singolo per bilanciare gli squilibri del primo
ordine: in tal modo, malgrado la complicazione costruttiva introdotta, si
opera un alleggerimento della contrappesatura dell’albero motore, riducendo le inerzie dell’imbiellaggio e gli ingombri radiali.
La figura 1.36 riporta due immagini del motore Rotax V 990, che
equipaggia la moto Aprilia RSV 1000. Si tratta di un motore bicilindrico
a V stretto di 60°, con due assi a camme per ciascuna testata. È possibile osservare lo schema della trasmissione del moto dall’albero motore ai
quattro assi a camme, mediante due catene, una anteriore e una posteriore, con interposto un ingranaggio riduttore con rapporto 2:1.
Anche il moto dell’albero controrotante laterale di equilibrio delle
forze alterne del primo ordine viene trasmesso da un ingranaggio, in
questo caso con rapporto 1:1 (4Fig.1.36b).
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Fig. 1.36
Motore bicilindrico Rotax V 990,
con un albero ausiliario per
l’equilibratura della forze alterne
d’inerzia del primo ordine:
a) vista a motore semismontato;
b) schema della trasmissione del
moto agli organi interni.
Si osserva inoltre la parte di propulsore su metà basamento con in primo
piano, da sinistra verso destra, la trasmissione primaria, l’albero motore
a gomito unico, con le due bielle e con il contrappeso a mannaia; sulla destra è collocato l’albero controrotante con il suo contrappeso in evidenza
(4Fig.1.36a).
Il motore bicilindrico Twin-Air che equipaggia la vettura Fiat
500 presenta le due manovelle allineate, secondo lo schema già descritto nella figura 1.20. Esso ha l’albero motore in ghisa con quattro
contrappesi (anziché un unico contrappeso centrale a mannaia, come
raffigurato nella figura 1.17) e poggia su tre supporti di banco.
All’estremità dell’albero lato volano si osserva la presenza di una
ruota dentata (4Fig. 1.37a) che ingrana con la rispettiva ruota compagna posta sull’albero controrotante, con rapporto di trasmissione unitario: l’albero controrotante ruota quindi alla stessa velocità
dell’albero motore ma in senso opposto (4Fig. 1.37b); tale albero porta due masse eccentriche di estremità (4Fig. 1.37c) per equilibrare le
forze alterne del primo ordine che, per la [1.9], su un singolo pistone
valgono FiI = mP ω2 r cos ϑ.
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Fig. 1.37
Albero motore e albero controrotante
del motore Twin Air (FPT Fiat
Powertrain Technologies);
a) vista dell’albero motore con in
evidenza i supporti di banco (1), i
perni di biella (2) e il semianello di
rasamento per la regolazione del
gioco assiale;
b) schema dell’insieme formato
dall’albero motore (3) con
relativo imbiellaggio e dall’albero
controrotante (1) con le sue masse
di bilanciamento (2);
c) albero controrotante con
in evidenza le masse eccentriche
a mannaia.
1
2
1
2
1
1
3
2
3
Da notare come l’albero controrotante sia stato dimensionato per equilibrare le forze alterne del primo ordine solo al 50%, mentre il restante 50% viene equilibrato dai quattro contrappesi presenti sull’albero
motore: ne consegue che i quattro contrappesi assolvono alla duplice
funzione di equilibrare sia le forze centrifughe sia le forze d’inerzia
del primo ordine, ma quest’ultime solo al 50%. In altri termini, è come
se ciascun contrappeso fosse formato da due masse contigue, una per
bilanciare le forze centrifughe, l’altra per equilibrare parte delle forze
alterne d’inerzia del primo ordine. La maggiorazione così ottenuta ha
come conseguenza la migrazione del baricentro al di fuori dell’asse di
rotazione, con la conseguente perdita dell’equilibratura statica, perdita che tuttavia viene compensata dal benefico effetto di bilanciare
parzialmente le forze d’inerzia: questa soluzione è detta sovraequilibratura.
Nello schema delle forze rappresentato nella figura 1.38 si nota la
presenza della forza alterna del primo ordine FiI applicata sul piede
di biella con direzione assiale e della quota parte della forza centrifuga che si origina nel contrappeso, destinata esclusivamente a
equilibrare la forza alterna: questa quota parte è indicata con la
sigla Fmc; tale forza parziale, concentrata nel baricentro del singolo
contrappeso, può essere scomposta in due componenti, di cui una assiale di valore Fa = mc ω2 rc cos ϑ, orientata in figura verso destra, l’altra
normale all’asse, di valore Fn = mc ω2 rc sen ϑ.
Fig. 1.38
Contrappesatura di una maschetta
dell’albero a gomiti del motore Twin
Air e scomposizione della forza
centrifuga parziale Fmc applicata
sul singolo contrappeso; in figura
compare anche la forza alterna del
primo ordine FiI applicata nel piede
di biella P.
Scegliendo opportunamente la geometria del contrappeso, si ha che
Fa = ¼ FiI e ricordando che i contrappesi sono due per ogni manovella,
si è ottenuta l’equilibratura al 50% della forza alterna d’inerzia del
primo ordine.
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richiamo
L’operazione di disaccoppiamento
comporta un grosso vantaggio
dal punto di vista del comfort
vibrazionale, essendo i tamponi
in gomma molto più rigidi in
verticale (nella direzione del peso
e dei sobbalzi della vettura) che
in orizzontale. Pertanto l’effetto
di filtraggio di una vibrazione
orizzontale risulta molto più efficace.
Osservazione: si noti come la funzione cos ϑ compaia in entrambe le
formule, in quella della FiI come pure in quella della Fa: da ciò si deduce che l’equilibratura apportata dai contrappesi si realizza con un
effetto continuativo e costante, cioè, sempre al 50% di FiI per qualunque valore istantaneo dell’angolo ϑ di rotazione dell’albero.
La componente normale Fn evidenziata nella figura 1.38 non prende
parte in alcun modo al fenomeno dell’equilibratura. Pertanto risulta
totalmente squilibrata e va a scaricarsi sui tamponi in gomma della sospensione del motopropulsore, come già visto in precedenza nella figura
1.4 in cui il motore è montato su vettura con l’asse del cilindro verticale. In tale caso, la condizione di squilibrio dovuto alle forze alterne
assiali verticali, destinata a scuotere il motopropulsore in verticale, nel
senso della gravità, è stata ruotata di 90° ed ora agisce in senso orizzontale: questo effetto è noto come disaccoppiamento.
Nella figura 1.39 si possono osservare diversi organi interni del motore K 75, di produzione BMW, tra cui l’albero motore a tre cilindri e
l’albero controrotante laterale, per equilibrare le coppie dovute alle forze alterne del primo ordine. Questa soluzione consente di raggiungere
un livello elevato di equilibratura complessiva.
Fig. 1.39
Motore a tre cilindri in linea
orizzontali, modello BMW K 75,
con un albero ausiliario
per l’equilibratura delle coppie
causate dalle forze alterne d’inerzia
del primo ordine.
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equilibratura del sistema biella-manovella e degli alberi a gomito
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L’Unità didattica in breveB1
Velocità e accelerazione del piede di biella
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Il sistema biella-manovella è un meccanismo articolato che trasforma il moto alternativo in rotatorio o viceversa. Esso è costituito dalla
manovella di lunghezza r e dalla biella di lunghezza l; i punti principali
sono il bottone di manovella B, il piede di biella P e i punti estremi della
corsa, detti punto morto superiore PMS e punto morto inferiore
PMI. Il sistema biella-manovella viene descritto inoltre dalle seguenti
grandezze cinematiche:
— lo spostamento x del piede di biella, quotato a partire dal PMS;
— l’angolo β‚ formato dall’asse della biella con l’asse del cilindro;
— l’angolo ϑ, corrispondente allo spostamento angolare della manovella.
Il parametro λ, detto lunghezza ridotta della biella, è pari al rapporto fra il raggio r di manovella e la lunghezza l della biella.
Nelle macchine motrici il sistema biella-manovella trasforma la
forza di compressione Fg, agente sulla biella, in momento motore
agente sull’albero; tale forza è costituita dalla pressione p esercitata
dai gas in combustione, moltiplicata per l’area di base del cilindro di
alesaggio A. Nelle macchine operatrici il momento motore M che
agisce sull’albero e proviene da un motore esterno si trasforma in forza
motrice agente alla base della biella, destinata a trasformarsi a sua
volta in pressione sul fluido in pompaggio. La forza esercitata dai gas Fg
viene scomposta in due componenti: la componente Fb si scarica lungo la
biella sul bottone di manovella B; la componente Fn, normale all’asse del
cilindro, si scarica sul basamento. Per determinare la velocità vp del
piede di biella si esegue la derivata dello spazio x rispetto all’angolo di
manovella e la si moltiplica per la velocità angolare. La velocità media
vm è proporzionale alla corsa e alla frequenza di rotazione: in campo
motoristico essa assume valori compresi tra 8÷20 m/s. Per determinare
l’accelerazione si esegue la derivata della velocità del piede di biella
rispetto alla variabile angolare, moltiplicata per la velocità angolare.
Conviene semplificare la formula della velocità trascurando i termini
meno influenti sul risultato: in tal caso la velocità e l’accelerazione sono
costituite dalla somma di due funzioni trigonometriche, di cui la prima
ha pulsazione ω, mentre la seconda ha pulsazione 2 ω, essendo la pulsazione ω pari alla velocità angolare dell’albero.
La sinusoide con pulsazione ω è detta componente armonica fondamentale, o del primo ordine; la sinusoide con pulsazione doppia,
pari a 2 ω, è detta componente armonica del secondo ordine; è possibile ottenere la risultante sommando punto a punto le due sinusoidi.
Forze alterne d’inerzia del primo e del secondo ordine
Per calcolare la forza alterna d’inerzia agente sul piede di biella si
moltiplica l’accelerazione ap del piede di biella per la massa mp applicata
nel piede medesimo. La forza così trovata ha andamento periodico, è
costante come direzione (orientata secondo l’asse x), alterna come verso
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e varia periodicamente come ampiezza. Adottando la procedura di calcolo semplificata, tale forza può essere considerata come la somma di due
componenti: una forza alterna FiI del primo ordine e una forza alterna
FiII del secondo ordine. Nel tempo in cui la manovella compie una rotazione, la forza del primo ordine compie un’onda completa, mentre la
forza del secondo ordine ne compie due, poiché ha pulsazione doppia.
Analisi armonica del sistema biella-manovella
Eseguendo la derivata della velocità del piede di biella, senza trascurare
nessun fattore, e servendosi dello strumento matematico dello sviluppo in serie di Mc Laurin si perviene alla formulazione esatta e completa dell’accelerazione del piede di biella in serie, i cui termini
sinusoidali sono detti componenti armoniche.
L’accelerazione è pari a una somma di infinite funzioni coseno che
differiscono fra loro per ampiezza e pulsazione. La prima delle funzioni
coseno, avente ampiezza A1 e pulsazione ω pari alla velocità angolare
dell’albero, è detta componente fondamentale o del primo ordine.
La seconda delle funzioni coseno, avente ampiezza A2 e pulsazione pari
al doppio della velocità angolare dell’albero, è detta componente del
secondo ordine. La terza delle funzioni coseno che compare nello
sviluppo in serie, avente ampiezza A4 e pulsazione pari al quadruplo
della velocità angolare dell’albero, è detta componente del quarto
ordine; per le componenti di ordine superiore si procede utilizzando lo
stesso principio, per cui si avranno componenti del sesto ordine, dell’ottavo ordine e così via. Tranne la componente fondamentale, tutte le
componenti armoniche hanno ordine pari. Il rilievo sperimentale della
vibrazione dovuta al sistema biella-manovella conferma quanto trovato
per via teorica. Lo spettro delle frequenze è un grafico su cui sono
riportate le ampiezze delle componenti, in funzione delle frequenze ricavate mediante l’analisi armonica.
Equilibratura del sistema biella-manovella
Attraverso l’albero a gomito, detto anche albero a manovelle, la
biella scambia la forze motrici con l’esterno; esso è formato da campate
in numero proporzionale al numero dei cilindri. La campata è costituita da due bracci di manovella paralleli, detti maschette, e da un perno
di manovella parallelo all’asse di rotazione, sul quale è montata la
testa di biella. Le campate possono essere fra loro adiacenti oppure
separate da un perno, detto perno di banco, coassiale con l’asse di
rotazione dell’albero. Ogni perno di banco poggia su un supporto di
banco con interposto un cuscinetto di strisciamento.
Il bloccaggio dell’albero sui supporti avviene mediante ponticelli
muniti di semigusci, detti cappelli di banco.
Nei motori endotermici l’angolo di orientamento fra le manovelle è
scelto in modo da distribuire simmetricamente le masse, regolarizzando
la coppia motrice e ottenendo la successione delle fasi utili nei cilindri con
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intervalli uguali. Nelle macchine operatrici è fondamentale distribuire le
masse con regolarità. Nei motori bicilindrici a quattro tempi le manovelle
sono orientate a 360°; nei compressori e nelle pompe bicilindriche e nei
motori quadricilindrici a quattro tempi le manovelle sono orientate a 180°.
Un albero rotante è detto già di per sé staticamente (dinamicamente) equilibrato se non necessita dell’aggiunta di contrappesi per
raggiungere lo stato di equilibratura statica (dinamica). Si raggiunge
l’equilibratura dinamica di un corpo rotante nel caso in cui la risultante dei momenti dovuti alle forze centrifughe, riferiti a un punto
qualunque dell’asse, risulti uguale a 0. Un albero è in condizione di
equilibratura dinamica se, essendo già equilibrato staticamente,
ammette un piano di simmetria perpendicolare all’asse di rotazione. Ciò
è ottenuto automaticamente sia per l’albero a gomito a una sola manovella sia per l’albero del motore bicilindrico a quattro tempi. L’albero
a gomito del motore bicilindrico a due tempi ha le forze centrifughe
uguali, parallele e con versi opposti, formanti una coppia; pertanto, per
equilibrare tale coppia occorre applicare due contrappesi.
Per quanto concerne l’equilibratura delle forze alterne d’inerzia
vale la seguente regola: nessuna delle due componenti alterne d’inerzia
può essere completamente equilibrata con la sola applicazione di contrappesi sull’albero a gomito. Bilanciando la forza alterna d’inerzia
del primo ordine mediante contrappeso si crea uno squilibrio agente
in senso perpendicolare all’asse della corsa. Nella maggioranza dei casi,
infatti, è preferibile raggiungere solo un’equilibratura parziale della
forza alterna d’inerzia del primo ordine.
Fra le infinite componenti armoniche, la forza alterna del secondo ordine, avente frequenza doppia rispetto alla frequenza dell’albero,
per essere equilibrata richiede una forza opposta rotante a velocità doppia rispetto a quella dell’albero motore.
Da queste considerazioni derivano le seguenti regole:
— né le forze né le coppie del secondo ordine sono equilibrabili parzialmente attraverso contrappesi posti sull’albero a gomito;
— non è possibile formulare relazioni fra lo stato di equilibratura
dell’albero e quello delle forze e delle coppie del secondo ordine.
Esistono comunque alcuni tipi di imbiellaggi completamente equilibrati come forze alterne del primo e del secondo ordine, senza dovere
ricorrere a contrappesi o a altri dispositivi, come l’imbiellaggio a sei
cilindri per motori a quattro tempi.
Si esegue lo studio dell’equilibratura dei carichi alterni tracciando un diagramma circolare: se la distribuzione dei raggi che rappresentano le forze di uno stesso ordine presenta una simmetria, si deduce
che la somma vettoriale delle forze è pari al vettore nullo e la macchina
risulta equilibrata relativamente a quell’ordine specifico.
Gli alberi motore a due cilindri e a quattro tempi sono squilibrati
sulle forze alterne e centrifughe; gli alberi motore a quattro cilindri e
a quattro tempi sono squilibrati sulle forze alterne del secondo ordine:
tale squilibrio viene annullato ricorrendo a una coppia di alberi ausiliari, uno controrotante e uno corotante, che ruotano a velocità doppia di quella dell’albero. Gli alberi motore a cinque cilindri sono invece
equilibrati sulle forze alterne del primo e del secondo ordine.
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PROBLEMI DI RIEPILOGOB1
1.Calcolare l’angolo di orientamento delle manovelle per un motore a sei
cilindri a due tempi.
2.La lunghezza della biella misurata fra l’asse del piede e l’asse della
testa per il motore a quattro cilindri e a quattro tempi, modello M41
di produzione BMW, vale l = 130 mm. La corsa vale C = 82,8 mm.
Ipotizzando che la pressione dei gas valga p = 10 bar quando la biella e
la manovella sono in quadratura, calcolare il momento motore istantaneo nella suddetta configurazione.
3.Calcolare il tratto di corsa, misurato a partire dal PMS, descritto dal
piede di biella quando l’angolo di manovella passa da ϑ = 0 a ϑ = π/4.
La corsa vale C = 140 mm, mentre la lunghezza ridotta della biella vale
λ = 0,28.
4.Un motore motociclistico monocilindrico ha un’accelerazione massima
al piede di biella pari ad ap = 24 000 m/s2, alla frequenza di rotazione
n = 7600 giri/min. Sapendo che la corsa vale C = 62,6 mm, calcolare la
lunghezza ridotta della biella.
5.Una pompa alternativa monocilindrica funziona a regime alla frequenza di rotazione n = 1200 giri/min. Calcolare i valori delle pulsazioni e
delle frequenze relative alle componenti dell’accelerazione al piede di
biella del primo, del secondo, del quarto, del sesto e dell’ottavo ordine.
6. C
alcolare le forze alterne del primo e del secondo ordine al PMS, agenti
sul piede di biella di un motore ad accensione per compressione camionistico, la cui corsa vale C = 150 mm, mentre la lunghezza della biella misura l = 250 mm e funziona alla frequenza di rotazione n = 2200 giri/min.
La massa concentrata al piede della singola biella vale mp = 7,5 kg.
7.Un motore ha la corsa che vale C = 58 mm. La forza alterna d’inerzia del secondo ordine vale FiII = 3200 N, quando ruota alla velocità
n = 8000 giri/min. La lunghezza ridotta della biella vale λ = 0,24.
Calcolare la massa mp concentrata al piede di biella.
8.Un motore marino a due tempi e sei cilindri ha il raggio di manovella
r = 300 mm e la lunghezza ridotta della biella λ = 0,282. Il rapporto
corsa/alesaggio vale C/A = 1,14, mentre la frequenza di rotazione vale
n = 200 giri/min. La massa m p concentrata al piede di biella è
mp = 1350 kg. Calcolare l’alesaggio, la lunghezza della biella e la forza
alterna d’inerzia agente sul piede di biella al PMS.
9.Un motore motociclistico a tre cilindri ha alesaggio A = 53,4 mm, corsa
C = 52 mm, lunghezza della biella l = 118 mm e frequenza di rotazione
n = 11 000 giri/min. Determinare la cilindrata e l’accelerazione ap al
piede di biella al PMS e al PMI.
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