ESERCITAZIONE: PREPARAZIONE
AL I COMPITINO
Giacomo Tommei
e-mail: tommei@dm.unipi.it
web: www.dm.unipi.it/∼tommei
Percentuali - Esercizio
I tuoi genitori hanno regalato a te e a tuo fratello dei BOT, che avete diviso
al 50%. Poich´e hai prestato dei soldi a tuo fratello, tuo fratello ti ha ceduto
il 15% dei suoi BOT, ma il valore dei BOT nel frattempo `e diminuito del
20%. Il tuo capitale in BOT `e aumentato, rimasto invariato o diminuito
rispetto al valore iniziale?
Giacomo Tommei
Percentuali - Soluzione
Indicando con N il valore complessivo dei BOT, a te e tuo fratello tocca inizialmente un
capitale in BOT pari a N/2. Tuo fratello decide di cederti il 15% dei suoi BOT, quindi il 15%
del suo 50%, ovvero ((15/100) · (50/100) = 7.5/100) il 7.5% del capitale totale: questo significa
che la tua quota di BOT passa da 50% a 57.5% con un incremento del 15%
((57.5 − 50)/50 = 7.5/50 = 15/100). Il tuo capitale diventa allora
N
2
(1 + 15/100)
Se tale capitale subisce una diminuzione del 20% allora avremo un capitale finale pari a
N
2
1+
15
100
1−
20
100
=
ovvero una diminuzione del capitale iniziale pari a 8%.
Giacomo Tommei
N
2
1−
8
100
Funzioni lineari - Esercizio
Nello studio di una variet`
a sperimentale di una certa pianta, `e noto che la
quantit`
a di semi, calcolata in percentuale, che germinano entro una
settimana dalla semina G dipende dalla temperatura T del terreno. E’ noto
inoltre che:
se la temperatura varia da 15◦ C a 30◦ C la percentuale di semi
germinati segue una legge lineare;
per temperature tra 30◦ C e 35◦ C la percentuale rimane costante;
per temperature tra 35◦ C e 40◦ C la percentuale di semi germinati
segue di nuovo una legge lineare;
temperature al di sotto di 15◦ C o al di sopra di 40◦ C impediscono ai
semi di germinare.
Sono stati raccolti i seguenti dati sperimentali:
per T=21, G(21)=36;
per T=27, G(27)=72
Determina G(T) e disegna il suo grafico.
Giacomo Tommei
Funzioni lineari - Soluzione
Leggendo con attenzione il testo si deduce che la funzione G(T) `
e definita a tratti ed in
particolare vale 0 negli intervalli [−∞, 15] e [40, +∞]. Nell’intervallo [15, 30] G(T) `
e lineare ed
`
e possibile esprimere la sua equazione sfruttando i dati sperimentali; l’equazione sar`
a del tipo
y = m1 x + q 1 ,
con
m1 =
72 − 36
27 − 21
=6
e q1 ottenuto imponendo il passaggio per un punto (ad esempio (15,0)):
0 = 6 · 15 + q1
⇔
q1 = −90
Nell’intervallo [30, 35] G(T) rimane costante ed il suo valore sar`
a dato dal valore che
l’espressione lineare ottenuta precedentemente assume per x = 30:
6 · 30 − 90 = 90 .
Nell’intervallo [35, 40] G(T) segue nuovamente una legge lineare partendo dal punto (35,90) per
arrivare al punto (40,0), poich´
e deve valere 0 per temperature superiori a 40◦ , quindi:
m2 =
0 − 90
40 − 35
= −18
e
q2 = 0 + 18 · 40 = 720 .
Giacomo Tommei
Disequazioni quadratiche - Esercizio
Risolvi la seguente disequazione
|1 − x| ≤ x2 − 2 x
Disegna poi l’insieme S ∩ T dove
S = {(x, y) ∈ R × R : y ≤ |1 − x|}
e
T = {(x, y) ∈ R × R : y ≥ x2 − 2 x}
Giacomo Tommei
Disequazioni quadratiche - Soluzione analitica
Possiamo procedere analiticamente o graficamente; scegliamo la prima strada.
Se x ≤ 1 allora
2
1 − x ≤ x − 2x
2
⇔
x −x−1≥0
⇔
da cui segue (ricorda che x ≤ 1)
x≤
1−
1−
x≤
√
5
2
∨
x≥
1+
√
5
2
√
5
2
Se x > 1 allora
2
x − 1 ≤ x − 2x
⇔
2
x − 3x + 1 ≥ 0
⇔
da cui segue (ricorda che x > 1)
x≥
3+
x≤
3−
√
5
2
La soluzione completa `
e allora
x≤
1−
√
5
2
Giacomo Tommei
∨
x≥
3+
√
5
2
√
2
5
∨
x≥
3+
√
2
5
Funzioni razionali fratte - Esercizio 1
Sia data la funzione
f (x) = (a − 1) x2 +
b−1
x2
con i parametri a, b ∈ R ∧ a, b 6= 1.
√
a) Calcola i parametri a e b sapendo che f (−1) = 26 e f (− 5) = 10.
b) Determina l’espressione esplicita della funzione g(x) ottenuta
traslando il grafico di f (x) di 1 unit`
a verso destra e poi dividendo per
2 le ordinate.
c) Data la funzione con i parametri calcolati nel punto a) trova i valori di
x per i quali f (x) ≤ 26.
d) Data la funzione con i parametri calcolati nel punto a) trova il valore
f (α) sapendo che
5
+ α = 13
α
Giacomo Tommei
Funzioni razionali fratte - Soluzione 1
a) L’insieme di definizione della funzione, qualunque siano i parametri (supposti entrambi
√
diversi da 1), `
e R − {0}. Imponendo le condizioni f (−1) = 26 e f (− 5) = 10 si arriva al
sistema lineare di due equazioni nelle due incognite a e b
a + b = 28
5 (a − 1) + (b − 1)/5 = 10
che ha come soluzione a = 2 e b = 26 (si pu`
o risolvere, ad esempio, per sostituzione). La
funzione cercata `
e quindi
25
2
f (x) = x +
x2
b) La prima trasformazione da applicare `
e x → x − 1 ottenendo la funzione
h(x) = (x − 1)2 + 25/(x − 1)2 ; tenendo poi fissa la funzione e dividendo per 2 le
ordinate, si ha un riscalamento che porta alla trasformazione h(x) → 2 h(x) ottenendo
"
2
g(x) = 2
(x + 1) +
25
(x +
#
1)2
Se la divisione per 2 delle ordinate fosse stata interpretata come divisione dei valori
della funzione avremmo avuto
g(x) =
1
"
2
Giacomo Tommei
2
(x + 1) +
25
(x + 1)2
#
Funzioni razionali fratte - Soluzione 1
c) Imponenedo f (x) ≤ 26 si ha
2
x +
⇔
25
x2
2
≤ 26
⇔
x4 + 25
x2
2
(x − 1) (x − 25) ≤ 0
⇔
≤
26 x2
x2
⇔
⇔
4
2
x − 26 x + 25 ≤ 0
(x − 1) (x + 1) (x − 5) (x + 5) ≤ 0
−5 ≤ x ≤ −1
∨
1≤x≤5
d) Per trovare f (α) potresti risolvere l’equazione in α
5
α
+ α = 13
e successivamente andare a sostituire il risultato nell’equazione che definisce f (x). C’`
e
per`
o un modo pi`
u semplice. Eleva al quadrato ambo i membri della precedente
uguaglianza:
2
25
5
5
2
2
+α
= 13
⇔
· α + α = 169
+2
α
α2
α
⇔
25
α2
+α
2
= 169 − 10 = 159
Ma il primo membro dell’uguaglianza precedente non `
e altro che f (α), da cui segue che
f (α) = 159.
Giacomo Tommei
Funzioni razionali fratte - Esercizio 2
Sia data la funzione
f (x) =
a x2 − b
|x − 2|
con i parametri a, b ∈ R ∧ a, b 6= 0.
a) Calcola i parametri a e b sapendo che f (−1) = 3/2 e f (−2) = 5.
b) Data la funzione con i parametri calcolati nel punto a), individua
l’insieme di definizione e trova i valori di x per i quali f (x) = 0.
c) Data la funzione con i parametri calcolati nel punto a), calcola i limiti
agli estremi dell’insieme di definizione.
Giacomo Tommei
Funzioni razionali fratte - Soluzione 2
a) Imponiamo le condizioni f (−1) = 3/2 e f (−2) = 5:
a (−1)2 −b
|−1−2|
a (−2)2 −b
|−2−2|
= 3
2
⇔ 2a − 2b = 9
=5
⇔ 4 a − b = 20
Risolvendo il sistema si trova a = 31/6 e b = 2/3, ovvero la funzione `
e
f (x) =
31 x2 − 4
6 |x − 2|
b) La funzione non `
e definita quando si annulla il denominatore, quindi il suo insieme di
definizione `
e {x ∈ R : x 6= 2}.
f (x) = 0
⇔
2
31 x − 4 = 0
⇔
2
x = ±√
31
c) Dobbiamo calcolare quattro limiti, a ±∞ e a 2 da destra e sinistra. A ±∞, numeratore
e denominatore tendono a +∞, ma il numeratore `
e un polinomio di grado superiore
rispetto al denominatore, quindi il risultato del limite `
e +∞:
lim
x→+∞
f (x) = +∞
lim
x→−∞
f (x) = +∞
Per x che tende a 2, sia da destra che da sinistra, il numeratore tende a un numero
finito, mentre il denominatore tende a 0, quindi
lim
x→2+
f (x) = +∞
Giacomo Tommei
lim
x→2−
f (x) = +∞
Probabilit`
a - Esercizio 1
Considera 2 eventi A e B tali che P(A)=1/4, P(B|A)=1/2 e P(A|B)=1/4.
Stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false:
a) Gli eventi A e B sono incompatibili
b) A `e un sottoevento di B
c) P(¬A|¬B)=3/4
d) P(A|B)+P(A|¬B)=1
Giacomo Tommei
Probabilit`
a - Soluzione 1
a) Gli eventi A e B sono incompatibili se e solo se P(A ∩ B)=0, ma P(A ∩ B)=
P(B|A) P(A)=1/8 quindi i due eventi non sono incompatibili; sapendo inoltre che
P(A|B)=1/4 si ricava facilmente la probabilit`
a di B: P(B)=P(B|A) P(A)/ P(A|B)=1/2.
b) A `
e un sottoevento di B se e solo se P(A ∩ B)=P(A), ma questo `
e falso perch´
e P(A ∩
B)=1/8, mentre P(A)=1/4.
c) Guardando con attenzione i valori delle probabilit`
a di cui disponiamo ci si rende subito
conto che i due eventi A e B sono indipendenti: P(A ∩ B)=P(A) P(B). Sono indipendenti
anche gli eventi ¬A e ¬B? L’evento ¬A `
e unione disgiunta degli insiemi (¬A ∩ ¬B) e
(¬A ∩ B) quindi si ha:
P(¬A)=P(¬A ∩ ¬B) + P(¬A ∩B)
;
`
e facile dimostrare che se A e B sono indipendenti allora lo sono anche ¬A e B per cui
P(¬A ∩B)=P(¬A) P(B) e si ha
P(¬A)=P(¬A ∩ ¬B)+P(¬A) P(B)
,
da cui
P(¬A ∩ ¬B)=P(¬A)-P(¬A) P(B)= P(¬A)(1-P(B))=P(¬A) P(¬B)
e quindi gli eventi ¬A e ¬B sono indipendenti. Poich´
e i due eventi sono indipendenti si
ha
P(¬A|¬B)=P(¬A)=1-P(A)=3/4
d) Come detto prima `
e facile provare che A e ¬B sono eventi indipendenti quindi
P(A|B)+P(A|¬B)=P(A)+P(A)=2 P(A)=1/2 6= 1
Giacomo Tommei
Probabilit`
a - Esercizio 2
In una certa popolazione la probabilit`
a che un individuo sia affetto dalla
malattia M `e il 20%. A seguito di indagini epidemiologiche si constata che,
mentre il 10% degli individui di quella popolazione presenta un dato
sintomo S, tra coloro che sono affetti dalla malattia M la percentuale di chi
presenta tale sintomo sale al 40%.
a) Calcola la probabilit`
a che un individuo scelto a caso nella popolazione
sia affetto da M, ma non presenti il sintomo S.
b) Calcola la probabilit`
a che un individuo che presenta il sintomo S sia
affetto da M.
c) Calcola la probabilit`
a per chi NON presenta il sintomo di NON essere
affetto da M.
Giacomo Tommei
Probabilit`
a - Soluzione 2
Indichiamo con
P (M ): probabilit`
a che un individuo scelto a caso nella popolazione sia affetto dalla malattia M
P (¬M ): probabilit`
a che un individuo scelto a caso nella popolazione NON sia affetto dalla
malattia M
P (S): probabilit`
a che un individuo celto a caso nella popolazione presenti il sintomo S
P (¬S): probabilit`
a che un individuo scelto a caso nella popolazione NON presenti il sintomo S
Per ipotesi sappiamo che P (M ) = 20% = 1/5 (di conseguenza P (¬M ) = 80% = 4/5), che
P (S) = 10% = 1/10 (di conseguenza P (¬S) = 90% = 9/10) e che P (S|M ) = 40% = 2/5 (di
conseguenza P (¬S|M ) = 60% = 3/5)
a) Dobbiamo calcolare P (M ∩ ¬S):
P (M ∩ ¬S) = P (¬S|M ) P (M ) =
3 1
5 5
3
=
25
b) Dobbiamo calcolare P (M |S):
P (M |S) =
P (S|M ) P (M )
P (S)
2
4
= 25
=
1
5
10
c) Dobbiamo calcolare P (¬M |¬S), ma per far questo ci serve la probabilit`
a P (¬S|¬M ):
P (S) = P (S|M ) P (M ) + P (S|¬M ) P (¬M )
da cui
P (S|¬M ) =
P (S) − P (S|M ) P (M )
P (¬M )
1
=
40
,
e quindi
P (¬S|¬M ) = 1 − P (S|¬M ) =
39
40
.
Allora
P (¬M |¬S) =
P (¬S|¬M ) P (¬M )
P (¬S)
=
39
45
Un modo forse pi`
u veloce
di fare
lo stesso conto `
e il seguente:
Giacomo
Tommei
=
13
15
Probabilit`
a HW - Esercizio
Il gruppo sanguigno `e determinato da un locus genetico con tre possibili
alleli A, B, 0. Il fenotipo A corrisponde ai genotipi AA, A0; il fenotipo B ai
genotipi BB, B0; il fenotipo AB corrisponde al genotipo AB; il fenotipo 0
corrisponde al genotipo 00. Sapendo che in una data popolazione l’allele A
ha frequenza 0.6, l’allele B ha frequenza 0.3 e l’allele 0 ha frequenza 0.1,
calcola:
a) le frequenze genotipiche e le frequenze fenotipiche;
b) la probabilit`
a che un individuo, preso a caso nella popolazione abbia
gruppo sanguigno AB, sapendo che entrambi i genitori hanno gruppo
sanguigno AB;
c) la probabilit`
a che un individuo preso a caso nella popolazione abbia
gruppo sanguigno AB, sapendo che la madre ha gruppo sanguigno AB
ed il padre ha gruppo sanguigno A.
Giacomo Tommei
Probabilit`
a HW - Soluzione
Indichiamo con p, q ed r le frequenze degli alleli A, B e 0 rispettivamente, quindi
p = 0.6
q = 0.3
r = 0.1
Si ha p + q + r = 1 da cui
2
2
2
p + q + r + 2pq + 2qr + 2qr = 1
dove p
2
= 0.36, q
2
= 0.09, r
2
= 0.01, 2 p q = 0.36, 2 q r = 0.06 e 2 p r = 0.12.
a) Le frequenze genotipiche sono i numeri calcolati precedentemente, ovvero
2
f (AA) = p
f (AB) = 2 p q
f (BB) = q
2
f (00) = r
f (B0) = 2 q r
2
f (A0) = 2 p r
Le frequenze fenotipiche sono
2
f (A) = p + 2 p r = 0.48
f (AB) = 2 p q = 0.36
2
f (B) = q + 2 q r = 0.15
f (0) = r
2
= 0.01
b)
P(AB|PAB ∩ MAB ) =
P(AB ∩ PAB ∩ MAB )
=
P(PAB ∩ MAB )
2 (2 p q/2) (2 p q/2)
(2 p q)2
=
P(AB ∩ PAB ∩ MAB )
P(PAB ) P(MAB )
=
1
2
c)
P(AB|PA ∩ MAB ) =
P(AB ∩ PA ∩ MAB )
P(PA ∩ MAB )
(p2 + p r) p q
(p2 + 2 p r) (2 p q)
Giacomo Tommei
=
=
P(AB ∩ PAB ∩ MAB )
21
48
P(PA ) P(MAB )
=
Programmazione lineare - Esercizio
Una ditta di elettrodomestici produce due modelli di forno a microonde, un
modello economico e uno multiaccessoriato. Analisi di mercato prevedono
una vendita di almeno 100 modelli economici e 80 multiaccessoriati al
giorno. La ditta `e in grado di produrre al massimo 200 modelli economici e
170 multiaccessoriati al giorno; il contratto di distribuzione prevede la
spedizione di almeno 300 forni al giorno. La ditta fissa i prezzi vendendo
sottocosto il modello economico con una perdita di 10 euro al pezzo, ma
guadagnando 25 euro al pezzo sul modello multiaccessoriato. Supponi che
la ditta riesca a vendere tutto ci`
o che produce e indica con x il numero di
forni economici prodotti(=venduti) al giorno e con y il numero forni
multiaccessoriati prodotti(=venduti) al giorno.
a) Imposta il sistema di disequazioni che definisce la regione ammissibile
e disegna tale regione nel piano cartesiano.
b) Esplicita la funzione che definisce il profitto giornaliero della ditta.
c) Trova quanti forni economici e quanti multiaccessoriati devono essere
prodotti al giorno per massimizzare il profitto.
d) Trova quanti forni economici e quanti multiaccessoriati devono essere
prodotti al giorno per minimizzare il profitto.
Giacomo Tommei
Programmazione lineare - Soluzione
Regione ammissibile
100 ≤ x ≤ 200
80 ≤ y ≤ 170
x + y ≥ 300
Funzione da massimizzare/minimizzare
G(x, y) = 25 y − 10 x
Guadagno massimo: 130 forni economici e 170 forni multiaccessoriati
Guadagno minimo: 200 forni economici e 100 forni multiaccessoriati
Giacomo Tommei
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