` di Roma Tor Vergata
Laurea Triennale in Informatica, Universita
Calcolo delle Probabilit`
a (ed insegnamenti mutuati)
Anno accademico: 2013-2014. Titolare del corso: Claudio Macci
Simulazione 2
Esercizio 1. Si ha un mazzo di 40 carte numerate da 1 a 40. Si estrae ripetutamente una carta alla
volta dal mazzo con reinserimento.
D1) Calcolare la probabilit`
a di estrarre il numero 37 esattamente una volta in 3 estrazioni.
D2) Calcolare la probabilit`
a di estrarre per la prima volta un numero pari nelle prime 5 estrazioni.
Esercizio 2. Un’urna ha 1 pallina bianca e 1 pallina nera. Si lancia una moneta e sia p la probabilit`
a
di ottenere testa nel lancio di moneta. Se esce testa si mette una pallina bianca nell’urna; se esce croce si
mette una pallina nera nell’urna. Poi si estrae a caso una pallina dall’urna.
D3) Calcolare la probabilit`
a di estrarre una pallina bianca.
D4) Calcolare la probabilit`
a di aver ottenuto croce nel lancio di moneta sapendo di aver estratto una pallina
bianca.
Esercizio 3. Siano dati λ > 0 e p ∈ (0, 1). Sia X1 una variabile aleatoria con densit`a discreta pX1 (x1 ) =
k
(1 − p)k p per ogni k ≥ 0 intero, e X2 una variabile aleatoria con densit`a discreta pX2 (x2 ) = λk! e−λ per ogni
k ≥ 0 intero. Supponiamo che X1 e X2 siano indipendenti.
D5) Calcolare P (X1 = X2 ) .
D6) Calcolare P (X1 + X2 ≤ 1).
t
e
1
(t).
Esercizio 4. Sia X una variabile aleatoria con densit`a continua fX (t) = e5/2
−1 (0,5/2)
2X
D7) Trovare la densit`
a continua di Y = e .
D8) Trovare la densit`
a discreta di Z = [X] dove [x] = max{k ∈ Z : k ≤ x} `e la parte intera di x.
Esercizio 5. P
D9) Sia Nt = n≥1 1Tn ≤t (per t ≥ 0) un processo di Poisson con intensit`a di λ = 6. Calcolare P (N1 =
k|N1 ≤ 2), per k ∈ {0, 1, 2}.
D10) Trovare la distribuzione di 5X1 − 2X2 nel caso in cui X1 e X2 sono variabili aleatorie Normali standard
indipendenti.
Esercizio 6. Sia {Xn : n ≥ 1} una successione di variabili aleatorie i.i.d. (indipendenti e identicamente
distribuite).
D11) Dire per quale valore di m si ha
X1 + · · · + Xn
lim P − m > ε = 0 per ogni ε > 0,
n→∞
n
nel caso in cui le variabili aleatorie {Xn : n ≥ 1} abbiano densit`a discreta pX (k) = 61 per k ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
D12) Calcolare, usando l’approssimazione Normale, P (X1 + · · · + X100 > 404) nel caso in cui le variabili
1 4−1 −t
aleatorie {Xn : n ≥ 1} abbiano densit`
a continua fX (t) = Γ(4)
t e 1(0,∞) (t).
Esercizio 7 (solo per Lauree Magistrali ). Consideriamo una catena di Markov omogenea {Xn : n ≥ 0}
con spazio degli stati E = {1, 2, 3} e matrice di transizione
1/3 1/3
1/3
0
P = 1/2 1/2
0
b
1−b
dove b ∈ (0, 1) `e una costante.
D13) Dire per quale valore di b si ha limn→∞ P (Xn = 2|X0 = i) = 31 per ogni i ∈ E.
1
D14) Dire per quale valori di n si ha P (∩nk=1 {Xk = 1}|X0 = 1) ≤ 81
.
1
Cenno alle soluzioni (Ogni segnalazione di errori o sviste (sempre possibili) `e gradita)
Esercizio 1.
D1) Sia X la variabile aleatoria che conta il numero di volte che si estrae il 37 in 3 estrazioni. Allora la
1 1
1 3−1
4563
probabilit`
a richiesta `e pX (1) = (31 )( 40
) (1 − 40
)
= 64000
.
D2) Sia Y la variabile aleatoria che conta il numero di estrazioni necessarie per avere per la prima volta un
P5
P5
1 k−1 1
20 k−1 20
)
numero pari. Allora si la probabilit`
a richiesta `e P (Y ≤ 5) = k=1 (1 − 40
k=1 (1 − 2 )
40 =
2 =
1
1
1
1
1
16+8+4+2+1
31
(1
+
+
+
+
)
=
=
.
2
2
4
8
16
32
32
Esercizio 2. Sia B l’evento ”si estrae pallina bianca”, e sia T l’evento ”esce testa”.
D3) Per la formula delle probabilit`
a totali si ha P (B) = P (B|T )P (T )+P (B|T c )P (T c ) = 32 p+ 13 (1−p) = p+1
3 .
c
)P (T c )
D4) Per la formula di Bayes, e tenendo conto del valore di P (B) calcolato prima, si ha P (T c |B) = P (B|T
=
P (B)
1
3 (1−p)
p+1
3
=
1−p
1+p .
Esercizio 3. Per ipotesi di indipendenza la densit`a congiunta `e data dal prodotto delle densit`a marginali.
P∞
P∞
P∞
k
D5) Si ha P (X1 = X2 ) = k=0 P ({X1 = k} ∩ {X2 = k}) = k=0 pX1 (k)pX2 (k) = k=0 (1 − p)k p λk! e−λ =
k
P∞
e−λ p k=0 (λ(1−p))
= e−λ peλ(1−p) = pe−λp .
k!
D6) Si ha P (X1 + X2 ≤ 1) = pX1 (0)pX2 (0) + pX1 (1)pX2 (0) + pX1 (0)pX2 (1) = pe−λ + (1 − p)pe−λ + pλe−λ .
Esercizio 4.
D7) Si vede che P (1 ≤ e2X ≤ e5 ) = 1, da cui FY (y) = 0 per y ≤ 1 e FY (y) = 1 per y ≥ e5 . Per y ∈ (1, e5 )
t= 1 log y
√
R 1 log y et
y−1
[et ]t=02
dt
=
=
. Quindi la densit`
a
si ha FY (y) = P (e2X ≤ y) = P (X ≤ 12 log y) = 02
5/2
5/2
e
−1
e
−1
e5/2 −1
continua `e fZ (z) = 2(e5/21−1)√y 1(1,e5 ) (t).
R 2 et
R 1 et
2
e−1
D8) Osserviamo che 2 < 52 < 3. Allora si ha pZ (0) = 0 e5/2
dt = e5/2
, pZ (1) = 1 e5/2
dt = ee5/2−e
e
−1
−1
−1
−1
R 5/2 et
5/2
2
pZ (2) = 2 e5/2 −1 dt = ee5/2−e
.
−1
Esercizio 5.
D9) Per k ∈ {0, 1, 2} si ha P (N1 = k|N1 ≤ 2) =
P ({N1 =k}∩{N1 ≤2})
P (N1 ≤2)
=
P (N1 =k)
P (N1 ≤2)
6k
=
P2 k!
e−6
6j
j=0 j!
e−6
, da cui segue
1
6
P (N1 = 0|N1 ≤ 2) = 25
, P (N1 = 1|N1 ≤ 2) = 25
e P (N1 = 2|N1 ≤ 2) = 18
25 .
D10) Ricordando le propriet`
a delle combinazioni lineari di variabili aleatorie Normali indipendenti, 5X1 −2X2
ha distribuzione Normale con media 5 · 0 − 2 · 0 = 0 e varianza 52 · 1 + (−2)2 · 1 = 29.
Esercizio 6.
7
D11) Per la legge dei grandi numeri si ha m = 1+2+3+4+5+6
= 21
6
6 = 2.
D12) Le variabili aleatorie {Xn : n ≥ 1} hanno distribuzione Gamma di parametri α = 4 e β = 1, e quindi
α
media α
β = 4 e varianza β 2 = 4. Quindi, se indichiamo con Z la standardizzata di X1 + · · · + X100 , si ha
√ √
{X1 + · · · + X100 > 404} = {Z > 404−400
} e, per l’approssimazione normale, P (X1 + · · · + X100 > 404) =
4 100
1 − Φ(4/20) = 1 − Φ(0.2) = 1 − 0.57926 = 0.42704.
Esercizio 7.
D13) Possiamo applicare il Teorema di Markov perch´e la catena `e regolare. Il limite delle probabilit`
a di
transizione `e dato dalla distribuzione invariante π = (π1 , π2 , π3 ), e si deve trovare il valore di b per cui
π2 = 13 . Consideriamo la relazione matriciale
1/3 1/3
1/3
0 = (π1 , π2 , π3 ),
(π1 , π2 , π3 ) 1/2 1/2
0
b
1−b
che fornisce il seguente sistema di equazioni:
π
31 + π22 = π1
π1
+ π22 + π3 b = π2
π31
3 + π3 (1 − b) = π3 .
Allora si ottiene π2 = 43 π1 e π3 =
π1
3b
1
e, imponendo la condizione π1 +π2 +π3 = 1, si ottiene π1 (1+ 43 + 3b
) = 1;
2
3b
4b
1
quindi (π1 , π2 , π3 ) = ( 7b+1
, 7b+1
, 7b+1
). In conclusione il valore di b richiesto deve soddisfare la condizione
4b
1
=
,
da
cui
segue
12b
=
7b
+
1,
e
quindi b = 51 .
7b+1
3
1
1
; quindi, poich´e 81
= ( 13 )4 , abbiamo n ≥ 4.
D14) I valori di n richiesti sono quelli per cui si ha ( 13 )n ≤ 81
Commenti.
La somma dei valori di ciascuna densit`
a discreta che appare `e 1 in accordo con la teoria.
6
P∞
1
31
D2) In altro modo, P (Y ≤ 5) = 1 − P (Y ≥ 6) = 1 − k=6 (1 − 21 )k−1 12 = 1 − (1/2)
= 1 − 1/64
1/2 = 1 − 32 = 32 .
1− 12
D13) Si potrebbe considerare b ∈ (0, 1] anzich´e b ∈ (0, 1). Al contrario, per b = 0, il Teorema di Markov
non `e applicabile perch´e lo stato 3 `e assorbente, e quindi la catena non `e regolare; inoltre gli stati 1
e 2 sono transitori e quindi l’unica distribuzione invariante `e (0, 0, 1) (si osservi dunque che la formula
3b
4b
1
(π1 , π2 , π3 ) = ( 7b+1
, 7b+1
, 7b+1
) continua a valere anche nel caso b = 0).
3
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