Regolarità per equazioni alle derivate parziali tramite il metodo di

Regolarità per equazioni alle derivate parziali
tramite il metodo di De Giorgi
Andrea Fugazzola
Introduzione (1)
19mo problema di Hilbert
Consideriamo il problema
Z
min
L(Du(x)) dx,
Ω
L regolare e convessa,
u : Ω ⊂ RN → R.
Domanda: le soluzioni sono sempre necessariamente analitiche?
Equazione di Eulero:
w minimo
=⇒
∂
(Lζi (Dw )) = 0
∂xi
Introduzione (2)
Possiamo differenziare l’equazione rispetto a xk :
∂
∂
0=
(Lζi (Dw ))
∂xk ∂xi
∂
∂ ∂w
=
Lζi ζj (Dw )
∂xi
∂xk ∂xj
∂
∂ ∂w
=
Lζi ζj (Dw )
∂xi
∂xj ∂xk
∂
∂
=
aij (x)
v ,
∂xi
∂xj
Bootstrap
Se v ∈ C 0,α
Schauder
=⇒
soluzione positiva al problema di Hilbert
Introduzione (3)
Esistenza di soluzioni
Consideriamo il problema di Dirichlet quasilineare
div A(Du) = 0
u=g
in Ω,
su ∂Ω.
Problema: esiste una soluzione?
Teorema di Leray–Schauder:
stima a priori su kukC 1,α
=⇒
esistenza della soluzione u
Introduzione (4)
Difficoltà maggiore: stimare [Du]C 0,α .
Differenziamo rispetto a xk l’equazione, e otteniamo l’equazione
soddisfatta da v = Dk u
∂
∂
aij (x)
v = 0,
∂xi
∂xj
dove
aij (x) := Dζj (Ai (Du(x)))
Se kv kC 0,α ≤ C (dati)
=⇒
esistenza della soluzione.
Problema
Dimostrare che le soluzioni di equazioni ellittiche a coefficienti misurabili
e limitati sono hölderiane.
Soluzione:
• De Giorgi 1957: regolarità per equazioni ellittiche
• Nash 1958: regolarità per equazioni paraboliche (⇒ ellittiche)
• Moser 1961: disuguaglianza di Harnack
Teorema
Sia u ∈ W 1,2 (Ω) una soluzione localmente limitata di
∂u
∂
aij(x)
=0
∂xi
∂xj
con
aij ∈ L∞ (Ω),
2
aij ξi ξj ≥ ν|ξ| ,
∀ξ ∈ RN e ν > 0.
0,α
¯ ⊂⊂ Ω vale
Allora u ∈ Cloc
(Ω) e per ogni Ω
¯
kukC 0,α (Ω)
¯ ≤ C (Ω, Ω)kukL2 (Ω) .
Passo 1: disuguaglianza di Caccioppoli
Definiamo i troncamenti
(u − k)+ := max {u − k, 0},
(u − k)− := max {k − u, 0}.
Passo 1: disuguaglianza di Caccioppoli
Definiamo i troncamenti
(u − k)+ := max {u − k, 0},
(u − k)− := max {k − u, 0}.
Passo 1: disuguaglianza di Caccioppoli
Definiamo i troncamenti
(u − k)+ := max {u − k, 0},
(u − k)− := max {k − u, 0}.
Passo 1: disuguaglianza di Caccioppoli
Definiamo i troncamenti
(u − k)+ := max {u − k, 0},
(u − k)− := max {k − u, 0}.
Passo 1: disuguaglianza di Caccioppoli
Definiamo i troncamenti
(u − k)+ := max {u − k, 0},
(u − k)− := max {k − u, 0}.
Disuguaglianza di Caccioppoli
Z
Z
2
2
|Du| η 2 dx ≤ C
u 2 |Dη| dx
Ω
Ω
Lemma
Se u è soluzione, allora esiste C = C (dati) tale che
Z
Z
C
2
2
|D(u − k)± | dx ≤
|(u − k)± | dx,
2
(R
−
r
)
Br (x0 )
BR (x0 )
per ogni k ∈ R e 0 < r ≤ R < ∞, con BR (x0 ) ⊂ Ω.
Passo 2: riduzione dell’oscillazione
0≤u≤1
in B2R ,
ω := sup u − inf u.
B2R
B2R
Esiste una costante θ0 ∈ (0, 1), dipendente solo dai dati, tale che, se
[u < c] ∩ BR < θ0 |BR |,
c ≤ 1,
allora
inf u ≥
BR/2
c
> 0.
2
Passo 2: riduzione dell’oscillazione
0≤u≤1
in B2R ,
ω := sup u − inf u.
B2R
B2R
Esiste una costante θ0 ∈ (0, 1), dipendente solo dai dati, tale che, se
[u < c] ∩ BR < θ0 |BR |,
c ≤ 1,
allora
inf u ≥
BR/2
c
> 0.
2
Ora bisogna scegliere opportunamente la quota c < 1 in modo che sia
soddisfatta l’ipotesi sulla misura di [u < c]:
Lemma
Supponiamo che
u > 1 ≥ 1 |BR |
2 2
(sempre verificata da u o da −u)
Per ogni θ1 ∈ (0, 1), esiste s ∗ tale che
h
ω i
u < s ∗ ∩ BR ≤ θ1 |BR |
2
Conseguenza:
θ0
=⇒
θ1 = θ0
=⇒
c :=
ω
2s ∗
inf u ≥
=⇒
BR/2
c
ω
= s ∗ +1
2
2
Dunque:
sup u − inf u ≤ sup u −
BR/2
BR/2
BR/2
ω
2s ∗ +1
ω
≤ sup u − s ∗ +1
2
B2R
1
= 1 − s ∗ +1 ω
2
osc u ≤ θ osc u,
BR/2
B2R
dove θ = 1 −
1
2s ∗ +1
è indipendente da R.
Estensioni: caso ellittico
Linearità non ha alcun ruolo (Ladyzhenskaya–Ural’tseva): lo stesso
metodo si applica a equazioni della forma
div A(x, u, Du) = 0,
il cui prototipo è dato dal p−laplaciano
p−2
div |Du|
Du = 0,
p > 1.
X dipendenza non lineare rispetto a |Du|
X equazioni degeneri o singolari: il modulo di ellitticità è |Du|
p−2
In questo caso
p>2
=⇒
degenere: il modulo di ellitticità va a 0.
1<p<2
=⇒
singolare: il modulo di ellitticità va a +∞.
Estensioni: caso parabolico
Ladyzhenskaya–Ural’tseva: regolarità per equazioni paraboliche lineari
ut − Di (aij Dj u) = 0
in ΩT = Ω × (0, T ]
adattando tecnica di De Giorgi =⇒ oscillazione su cilindri in RN+1 .
Speranza
Estensione a equazioni paraboliche singolari e degeneri, del tipo
ut − div |Du|
p−2
Du = 0,
p>1
X dipendenza non lineare in |Du|
NO equazioni degeneri o singolari
Il metodo di De Giorgi permette di dedurre l’hölderianità delle soluzioni
solo nel caso di crescita lineare rispetto al gradiente, ossia
p = 2.
Perdita di omogeneit‚Ä◦
Consideriamo un cilindro parabolico
Q(τ, R) := BR × (−τ, 0)
e sia η una funzione di cutoff in Q(τ, R), con η(x, t) = 0 per x ∈
/ BR .
Lemma
Data una soluzione debole u, esiste una costante C = C (dati) tale che,
Z
(u − k)2± η p dx +
sup
−τ <t<0
BR ×{t}
Z
0
BR
(u − k)2± η p dx + C
≤
BR ×{−τ }
Z 0 Z
+p
−τ
BR
p
|D[(u − k)± η]| dxdt
−τ
Z
Z
Z
0
−τ
(u − k)2± η p−1 ηt dxdt,
Z
BR
p
(u − k)p± |Dη| dxdt
Riscalamento intrinseco (1)
Prima idea: considerare cilindri che riflettano il riscalamento naturale
dell’equazione
p
|x|
=⇒
Q(R p , R).
t
Questa procedura funziona nel caso in cui l’equazione è della forma
p−2
(u p−1 )t − div |Du|
Du = 0.
Per analogia:
ut − div |Du|
p−2
Du = 0
m
u 2−p
c
p−2
(u p−1 )t − div |Du|
Du = 0
Seconda idea
Riscalare il tempo tramite un fattore che dipende dalla soluzione u,
introducendo
u 2−p
t
¯t := ,
θ≈
.
θ
c
Riscalamento intrinseco (2)
Data
ω :=
osc u,
Q(R 2 ,R)
si costruiscono i cilindri
Q(a0 R p , R),
a0 :=
ω 2−p
,
2λ
λ > 1,
e si va a misurare l’oscillazione su sottocilindri del tipo
(x0 , t0 ) + Q(θR p , R),
Il cambio di variabile
θ :=
ω 2−p
2
.
t
θ
permette di portare a termine l’iterazione come nel caso p = 2.
¯t :=
Applicazioni e risultati noti
Caso degenere p > 2
• DiBenedetto: regolarità hölderiana
• DiBenedetto–Gianazza–Vespri: disuguaglianza di Harnack
Caso singolare 1 < p < 2
• DiBenedetto–Chen: regolarità hölderiana
• DiBenedetto–Gianazza–Vespri: disuguaglianza di Harnack nel caso
supercritico
2N
<p<2
N +1
• DiBenedetto–Gianazza–Vespri: disuguaglianza tipo-Harnack nel caso
sottocritico
1<p≤
2N
N +1

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