PSICOMETRIA - e

PSICOMETRIA
Corso di Laurea in
Scienze Psicologiche della Personalit`
a
e delle Relazioni Interpersonali
Esercizi
Quinta Settimana
Massimo Nucci
email: massimo.nucci@unipd.it
ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA
1. Sia X un insieme di misure riguardo la nazionalità degli iscritti ad una scuola. La seguente
tabella riporta le frequenze:
1
(Italiani)
2
3
(Europei non ital.)
12
4
(Africani)
5
(Europa dell’Est)
6
5
(Altro)
8
3
Calcolare le statistiche significanti su tale scala.
2. Sia X un insieme di misure riguardo il gradimento su un servizio offerto, la seguente tabella
riporta le frequenze per ciascuna delle possibili risposte. Calcolare la moda, la mediana, i
quattro quartili, il 30o percentile e il rango percentile di 2(Moderato) e 4(Molto).
1
(Poco)
2
2
(Moderato)
3
(Normale)
4
7
4
(Molto)
13
5
(Moltissimo)
5
3. Sia X una raccolta di dati su scala ad intervalli con i seguenti elementi:
X = {2, 3, 3, 3, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 12}
Compilare una tabella delle frequenze, calcolare tutte le statistiche significanti su tale scala
(tra cui il 37o percentile) e trasformare i valori in Punti z.
1
SOLUZIONI
1. Sia X un insieme di misure riguardo la nazionalità degli iscritti ad una scuola. La seguente
tabella riporta le frequenze:
1
(Italiani)
2
(Europei non ital.)
12
3
5
(Africani)
4
6
(Europa dell’Est)
8
5
(Altro)
3
Calcolare le statistiche significanti su tale scala.
Scala Nominale
- Moda: M o(X) = 1
- Numero classi equivalenza: N dE(X) = 5
2. Sia X un insieme di misure riguardo il gradimento su un servizio offerto, la seguente tabella
riporta le frequenze per ciascuna delle possibili risposte. Calcolare la moda, la mediana, i
quattro quartili, il 30o percentile e il rango percentile di 2(Moderato) e 4(Molto).
Scala Ordinale
Frequenze
f
Proporzioni
P
Freq. Perc.
f%
Freq. Cum.
fc
F. C. Perc.
f c%
(basso)
2
0,065
6,45%
2
6,45%
(moderato)
4
0,129
12,90%
6
19,35%
7
0,226
22,58%
13
41,94%
(alto)
13
0,419
41,94%
26
83,87%
(altissimo)
5
0,161
16,13%
31
100,00%
31
1
100%
1
2
3
(medio)
4
5
Totale
- Moda: M o(X) = 4
-Numero classi equivalenza: N dE(X) = 5
2
- Per il calcolo della mediana si calcola prima l’indice i:
i=
n+1
32
=
= 16
2
2
Per cui la mediana sarà:
M dn(X) = 4
- Per i quartili, si calcolano i seguenti indici:
Posizione di Q1 =
Posizione di Q2 =
Posizione di Q3 =
1
4
2
4
3
4
(n + 1) =
(n + 1) =
(n + 1) =
1
4
2
4
3
4
(31 + 1) = 8
(31 + 1) = 16
(31 + 1) = 24
Posizione di Q4 = n = 31
da cui seguono i seguenti:
Q1 = 3
Q2 = 4
Q3 = 4
Q4 = 5
- Per il calcolo del 30o percentile si calcola prima l’indice relativo:
i=
n·m
31 · 30
=
= 9, 3 ' 9
100
100
da cui:
P30 (X) = 3
- Il calcolo dei Ranghi Percentili segue direttamente dalla tabella:
Rp(2 − M oderato) = 19.35%
Rp(4 − M olto) = 83.87%
3
3. Sia X una raccolta di dati su scala ad intervalli con i seguenti elementi:
X = {2, 3, 3, 3, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 12}
Compilare una tabella delle frequenze, calcolare le principali statistiche significanti (tra cui
il 37o percentile) e trasformare i valori in Punti z.
Scala Intervalli
Frequenze
f
Proporzioni
P
Freq. Perc.
f%
Freq. Cum.
fc
F. C. Perc.
f c%
2
3
5
6
7
8
12
1
3
2
1
2
1
1
0,091
0,273
0,182
0,091
0,182
0,091
0,091
9,09
27,27
18,18
9,09
18,18
9,09
9,09
1
4
6
7
9
10
11
9,09
36,36
54,55
63,64
81,82
90,91
100,00
Totale
11
1
100
- Moda: M o(X) = 3
- Numero Classi Equivalenza: N dE(X) = 7
- Per il calcolo della mediana si calcola prima l’indice i:
i=
n+1
12
=
=6
2
2
Per cui la mediana sarà:
M dn(X) = 5
- Per i quartili, si calcolano i seguenti indici:
Posizione di Q1 =
Posizione di Q2 =
Posizione di Q3 =
1
4
2
4
3
4
(n + 1) =
(n + 1) =
(n + 1) =
1
4
2
4
3
4
(11 + 1) = 3
(11 + 1) = 6
(11 + 1) = 9
Posizione di Q4 = n = 11
da cui seguono i seguenti:
Q1 = 3
Q2 = 5
Q3 = 7
Q4 = 12
- Per il calcolo del 37o percentile si individua per prima cosa l’indice relativo:
i=
n·m
11 · 37
=
= 4.07 ' 4
100
100
4
da cui segue:
P37 (X) = 3
- Il calcolo dei Ranghi Percentili segue direttamente dalla tabella:
- Il valore della Gamma sarà: G(X) = 12 − 2 = 10
- La differenza interquartilica: DI = Q3 − Q1 = 9 − 3 = 6 (SI = 3)
- Le seguenti tabelle riportano infine il calcolo della madia, della varianza e dei punti z:
xi
f
f · xi
2
3
5
6
7
8
12
1
3
2
1
2
1
1
2
9
10
6
14
8
12
Totale
11
61
X
Pk
i=1
X=
(xi − X)2
(xi − X)
fi x i
n
=
fi · (xi − X)2
61
= 5, 545
11
xi
f
f · xi
X
(xi − X)
(xi − X)2
fi · (xi − X)2
2
3
5
6
7
8
12
1
3
2
1
2
1
1
2
9
10
6
14
8
12
5,545
5,545
5,545
5,545
5,545
5,545
5,545
-3,55
-2,55
-0,55
0,45
1,45
2,45
6,45
12,570
6,479
0,298
0,207
2,116
6,025
41,661
12,57
19,44
0,60
0,21
4,23
6,02
41,66
Totale
11
61
84,73
Pk
s2 =
i=1
fi (xi − X)2
84, 73
=
= 7.70
n
11
5
xi
f
X
s2
s
2
3
5
6
7
8
12
1
3
2
1
2
1
1
5,545
5,545
5,545
5,545
5,545
5,545
5,545
7,70
7,70
7,70
7,70
7,70
7,70
7,70
2,775
2,775
2,775
2,775
2,775
2,775
2,775
6
z=
xi −X
s
-1,28
-0,92
-0,20
0,16
0,52
0,88
2,33

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