Liceo Scientifico “G. Da Castiglione” – Classe 5B – Compito di matematica – 07/05/2014 Lo studente risolva, a sua scelta, uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. Problema 1 In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy sia assegnata la curva  di equazione: y = f (x) = x  4  3 x . 1) Studiare la continuità e la derivabilità di  e fornire l’interpretazione geometrica del risultato. 2) Studiare il comportamento di  e disegnarne il grafico. 3) Determinare le equazioni delle rette t1 e t2 tangenti a  nei suoi punti di flesso (t2 è la tangente nel punto di flesso di ascissa maggiore) e determinarne il punto di intersezione. Verificare poi che t2 interseca l’asse x nel punto P (1, 0). 4) Calcolare l’area della regione S di piano delimitata da  e dall’asse x. 5) Calcolare infine un’approssimazione dell’area di S utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati e scegliendo n = 8. Problema 2 In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy sia assegnata la funzione f definita nell’intervallo [0, + [ da:  1   f (x) =  1 2  x 3  2 ln x  1 2 x 0 . x 0 1) Stabilire se f (x) è continua e derivabile in x0 = 0, motivando la risposta. 2) Dimostrare che l’equazione f (x) = 0 ha una ed una sola soluzione  nell’intervallo [0, +[ e calcolarne un valore approssimato con due cifre decimali esatte (Suggerimento:  appartiene all’intervallo (4, 5)). 3) Studiare il comportamento di f (x) e disegnarne il grafico . 4) Detta r la retta tangente a  nel suo punto di flesso, calcolare l’area della regione S di piano compresa tra , r e le rette x = 0 e x = 1. 5) Detta R la regione di piano compresa tra , la retta y = 1 e le rette x = 1 e x = 2, calcolare infine un’approssimazione dell’area di R utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati e scegliendo n = 4. (Esame di stato 2005, Corso sperimentale, Problema 2) Questionario 1) In una parete deve essere ricavata una finestra mistilinea formata da un rettangolo sormontato da un semicerchio avente il diametro coincidente con la base superiore del rettangolo. Determinare quali devono essere le dimensioni della finestra di massima superficie realizzabile con un profilo lungo 4 metri.  2) Calcolare, se esiste finito, il valore del seguente integrale improprio: ex dx . 1  4e 2x 0   kx  y  3z  3  3) Discutere, al variare del parametro k  R, il sistema lineare  x  z   2 . 2x  ky  2z  k  4) Data la famiglia di coniche x2  2xy + ky2 + 2x  6y + 1 = 0, stabilire: a) per quali k  R si ottengono ellissi, iperboli o parabole; b) per quale k  R si ottiene un’iperbole equilatera. x '  3x  y  2 5) Studiare la trasformazione T:  e determinarne, se esistono, gli elementi uniti.  y'  x  3y  1 6) Dati i numeri 21 2 , 31 3 , 51 5 , disporli in ordine crescente senza usare strumenti di calcolo automatico (salvo che per controllare eventualmente l’esattezza del risultato) ed illustrare il ragionamento compiuto per tale operazione. 7) Le ampiezze degli angoli di un triangolo sono , , . Sapendo che cos  = 5/13 e cos  = 12/13, calcolare il valore esatto di cos , specificando se il triangolo è acutangolo, rettangolo od ottusangolo. 8) Alla gara provinciale delle Olimpiadi di matematica partecipano 8 studenti, fra cui la Red e il Braccio. Sapendo che i primi tre classificati andranno alla Finale Regionale e ammesso che tutti gli studenti abbiano le stesse possibilità, calcolare la probabilità che: a) sia la Red che il Braccio vadano alla Finale Regionale; b) nessuno dei due vada alla Finale Regionale; c) almeno uno dei due vada alla Finale Regionale. 9) Delle due funzioni, f (x) = x3  2x2 + 5x  1 e g (x) = 3 2x  1 2 , una non verifica nell’intervallo [0, 1] tutte le ipotesi del teorema di Lagrange. Dire per quale delle due ciò avviene e giustificare l’affermazione. Determinare poi, per l’altra funzione, il valore (i valori) della variabile indipendente la cui esistenza è garantita dal teorema stesso. 10) Calcolare il valor medio vm della funzione f (x) = x nell’intervallo I = [0, 4] e determinare poi c  I tale che f (c) = vm. Durata della prova: 180 minuti. È consentito l’uso della calcolatrice non programmabile. Studente: «Cognome» «Nome»