第３回有効桁数 有効桁数 数値表現で重要な有効数字（有効桁数）につ いての説明をします。 １．有効桁数３桁 有効桁数３桁とは元になる数字の大きさに対 して誤差が１００分の１以下になる様な数値 表現のことである。以下述べるように数字で 表現されている最小桁の次の■の値が０～９ のどれになるか解らないから誤差が生じるの であるから 有効桁数 • このとき ０．０１３２ と １３．２ とでは数値の絶対的な大きさはまったく 異なるが、信頼できる数値の桁数はどち らも３桁である。それを有効桁数という。 有効桁数 通常、計測や実験による観測数値は誤差を含んでい る。 意味のある情報を持っている数字を有効数字、それ を桁数で数えたものを有効桁という。 有効桁数 πは3.1415926535・・・であるが （１）有効数字３桁で近似すると3.14 （２）有効桁数３桁で表すと3.14 （３）有効数字5桁で近似すると3.1415 （４）有効桁数5桁で表すと3.1416 有効桁数における注意 （1）123は有効桁数3桁、123.0は有効桁数4桁 （２）12.345を4倍すると49.380で有効桁数は5桁だ が、パソコンでは49.38と表示される場合が多い。 （３）パソコン内では多くの桁数で計算されていて も、表示は桁数までというソフトが多い。 （４）電卓の中には有効数字の概念が導入されてい ないものが多い。 有効桁数における注意 （５）観測値の計算で 12.345×25.863=319.278735 と書くと叱られるが、数値計算の立場からは、 誤差を含んだ部分にも意味のある情報が含まれてい る場合もあり、途中で切り捨て、切り上げ、四捨五 入（数の丸め）などをやらない方が良いというのも 定説である。 有効桁数における注意 （６）パソコンでの出力数値が８桁であるとすると パソコンに納められている桁数は16桁程度である。 最終結果は問題の精度に応じて、簡略化して解答す るのが良い。 （７）計算での一番の問題は有効桁数の桁落ちであ る。 12.345-12.231=0.024となり、3桁の桁落ちが起こっ たことになる。 絶対誤差と相対誤差 誤差には絶対誤差と相対誤差という考えがある。 絶対誤差・・・計測単位のついた誤差 相対誤差・・・計測単位のつかない誤差 以下のように定義する 絶対誤差＝近似値ー真値 相対誤差＝絶対誤差／真値 例 真値:123km、計測値：124km 絶対誤差=１km 相対誤差=１/123=8.1×10-3 πを3.1415で近似すると 絶対誤差= -0.00092 相対誤差= (3.1415 – π)/ π = -0.00029 近似値の精度桁数
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