Ljiljana Žugić1, Stanko Brčić2, Špiro Gopčević3 ANALIZA PROSTORNIH LINIJSKIH NOSAČA PO TEORIJI DRUGOG REDA Rezime: U radu je prikazana analiza prostornih linijskih nosača, sastavljenih od grednih elemenata, po teoriji drugog reda. Matrica krutosti i vektor ekvivalentnog opterećenja po teoriji drugog reda za gredni element u prostoru dobijeni su na osnovu tačnog rješenja odgovarajućih diferencijalnih jednačina teorije drugog reda. U cilju numeričke realizacije ovog problema razvijen je i odgovarajući kompjuterski program, koji koristi tačnu matricu krutosti i tačni vektor opterećenja, za razliku od komercijalnog programa TOWER koji koristi geometrijsku matricu krutosti. Ključne riječi: teorija drugog reda, gredni element u prostoru, matrica krutosti ANALYSIS OF SPACE FRAMES ACCORDING TO THE SECOND ORDER THEORY Summary: The paper is analyzing the space frames of beam elements according to the second order theory. The stiffness matrix and the vector of equivalent loads for beam elements are derived according to the exact solution of the corresponding differential equations due to the second order theory. In order to obtain the solution of the given numerical formulation, the corresponding computer program was developed. The code is using the exact stiffness matrix and the load vectors due to the 2nd order theory, as opposed to the commercial computer code TOWER which is using the geometric stiffness matrix. Keywords: the second order theory, spatial beam finite element, stiffness matrix 1 Dr docent, dipl. inž., Građevinski Fakultet Univerziteta Crne Gore, Cetinjski put bb, Podgorica, ljiljaz@ac.me Dr redovni prof., dipl.inž., Građevinski Fakultet Univerziteta u Beogradu, Bulevar kralja Aleksandra73, stanko@grf.bg.ac.rs 3 Dr, dipl. inž., AD Železnice Srbije, Nemanjina 6, spiro.gopcevic@srbrail.rs 2 1. UVOD Osnovne pretpostavke u linearnoj teoriji konstrukcija (teoriji prvog reda) su: pretpostavka o malim deformacijama, pretpostavka o malim veličinama pomjeranja napadnih tačaka spoljašnjih sila i pretpostavka o linearnoj vezi između dilatacija i napona, odnosno temperaturnih promjena. Teorija drugog reda odbacuje drugu od navedenih pretpostavki, ali zadržava prvu i treću pretpostavku, što dovodi do toga da se uslovi ravnoteže postavljaju na deformisanom elementu nosača. Pri tome se pretpostavlja da se opterećenje u toku deformacije ne mjenja po pravcu i veličini, a smatra se da je zadato po elementu dužine nedeformisanog štapa. U ovom radu prostorni linijski nosači su modelovani grednim elementom u prostoru, sa dvije čvorne tačke i sa po šest nepoznatih u svakom čvoru, čija matrica krutosti u teoriji drugog reda je dobijena na osnovu tačnog rješenja diferencijalnih jednačina teorije drugog reda. 2. ANALIZA GREDNOG ELEMENTA U PROSTORU Osnovne kinematičke veličine u čvorovima grednog elementa u prostoru su generalisana pomjeranja, odnosno pomjeranja u, v, w u pravcima osa x, y, z i obrtanja ϕx, ϕy, ϕz oko istih osa. Generalisana pomjeranja i odgovarajuće generalisane sile u čvorovima i i j predstavljaju komponente vektora generalisanih pomjeranja q i vektora generalisanih sila R. qT = [ ui vi wi ϕxi ϕyi ϕzi uj vj wj ϕxj ϕyj ϕzj ] T R = [Ni Tyi Tzi Mxi Myi Mzi Nj Tyj Tzj Mxj Myj Mzj ] (1) (2) 2.1. MATRICA KRUTOSTI Kao što je poznato, veza između vektora generalisanih sila R i vektora generalisanih pomjeranja q uspostavlja se preko matrice krutosti elementa k: R = kq (3) Elementi matrice krutosti po teoriji drugog reda mogu se dobiti rješavanjem sistema homogenih nezavisnih diferencijalnih jednačina (4) i primjenom odgovarajućih graničnih uslova, odnosno generalisanih pomjeranja čvorova obostrano uklještenog prostornog grednog elementa. EA u" = 0 EI z v IV − Sv" = 0 EI y w IV (4) − Sw" = 0 GI x ϕ " = 0 Prva i poslednja jednačina sistema (4) definišu dobro poznate probleme aksijalnog naprezanja i torzije elementa po teoriji prvog reda. Rješavanjem ovih jednačina se dobijaju poznate matrice aksijalne i torzione krutosti elementa, koje se mogu naći u bilo kom udžbeniku iz metode konačnih elemenata. Druga i treća jednačina sistema (4) definišu probleme savijanja, elementa opterećenog aksijalnom silom S na krajevima elementa, u ravnima xy i xz po teoriji drugog reda. Tačnim rješavanjem ovih jednačina se dobijaju matrice krutosti savijanja, pritisnutog i/ili zategnutog grednog elementa, u ravnima xy i xz po teoriji drugog reda. Dakle, matrica krutosti po teoriji drugog reda za gredni element u prostoru (5) dobijena je na osnovu tačnog rješenja homogenih diferencijalnih jednačina teorije drugog reda. Za razliku od matrice krutosti po teoriji prvog reda [1], kod koje su svi elementi konstante koje zavise od geometrije i mehaničkih karakteristika grednog elementa, elementi matrice krutosti po teoriji drugog reda su trigonometrijske ili hiperbolične funkcije u zavisnosti od toga da li je gredni element pritisnut ili zategnut (funkcije φi prikazane su u tabeli 1). EA EA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L L EI z EI z EI EI z 0 0 0 0 0 - 3z φ1 0 0 0 φ1 φ2 φ2 L3 L2 L L2 EI y EI y EI y EI y φ φ φ φ 0 0 0 0 0 0 0 0 5 6 5 6 L3 L2 L3 L2 GI x GI x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L L EI y EI y EI y EI y 0 0 0 0 0 0 0 0 φ φ φ φ 5 8 6 7 L2 L L2 L EI z EI z EI z EI z φ2 φ4 φ3 0 0 0 0 - 2 φ2 0 0 0 0 L2 L L L k = EA - EA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L L EI z EI z EI z EI z φ1 0 0 0 - 2 φ2 0 0 0 0 - 2 φ2 0 - 3 φ1 L L L3 L EI EI EI EI y y y y 0 φ6 φ5 φ6 0 - 3 φ5 0 0 0 0 0 0 2 3 2 L L L L GI x GI x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 L L EI y EI y EI y EI y 0 0 - 2 φ6 0 0 0 0 0 0 φ7 φ6 φ8 2 L L L L EI z EI z EI z EI z 0 0 0 0 - 2 φ2 0 0 0 φ2 φ3 φ4 0 L2 L L L Tabela 1. Funkcije φi za gredni element u prostoru Funkcija φ1 φ2 φ3 φ4 Aksijalna sila u grednom elementu u prostoru pritisak zatezanje ω z3sinω z ∆z ωz2 (1 - cosωz ) ωz3shωz ∆z ω z2 (chω z - 1) ∆z ∆z ω z (ω z - sinω z ) ω z (shω z - ω z ) ∆z ∆z ω z (sinω z - ω z cosω z ) ω z (ω z chω z - shω z ) ∆z ∆z (5) Aksijalna sila u grednom elementu u prostoru pritisak zatezanje Funkcija ω y3 shω y ω y3 sinω y φ5 ∆y ∆y ω y2 (chω y ω y2 (1 - cosω y ) φ6 ∆y ∆y ω y (ω y - sinω y ) ω y (shω y - ω y ) ∆y ∆y ω y (sinω y - ω y cosω y ) ω y (ω ychω y - shω y ) ∆y ∆y ∆z = 2(1-cosωz) - ωzsin ωz ∆ z = 2(1-ch ωz) + ωzsh ωz ∆y = 2(1-cosωy) - ωysin ωy ∆ y = 2(1-ch ωy) + ωysh ωy φ7 φ8 - 1) gdje su: S ωz = L EIz S ωy = L EI y Približnim rješavanjem diferencijalnih jednačina teorije drugog reda (4) dobija se matrica krutosti teorije drugog reda u vidu zbira dvije matrice, matrice krutosti po teoriji prvog reda i geometrijske matrice krutosti, vidjeti [1]. 2.2. VEKTOR EKVIVALENTNOG OPTEREĆENJA Osnovna jednačina neopterećenog grednog konačnog elementa data je izrazom (3). Ukoliko postoji raspodjeljeno opterećenje duž ose grednog elementa, osnovna jednačina takvog konačnog elementa je: R = kq - Q (6) gdje je: Q QT = [N i Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q T yi T zi M xi M yi M zi N j T yj T zj M xj M yj M zj ] vektor ekvivalentnog opterećenja, slika 1. Slika 1. Ekvivalentno opterećenje u čvorovima grednog elementa (7) Do vektora ekvivalentnog opterećenja grednog elementa u prostoru Q može se doći, kao i do matrice krutosti, razdvajanjem prostornog naponskog stanja elementa na: aksijalno naprezanje, savijanje u ravni xy, savijanje u ravni xz i torziju. Elementi vektora ekvivalentnog opterećenja od aksijalnog ravnomjerno raspodjeljenog opterećenja i ravnomjerno raspodjeljenog momenta torzije duž ose elementa po teoriji drugog reda su isti kao elementi vektora ekvivalentnog opterećenja po teoriji prvog reda, jer su diferencijalne jednačine u slučaju aksijalnog i torzionog naprezanja elementa u teoriji drugog reda iste kao u teoriji prvog reda. To nije slučaj sa elementima vektora ekvivalentnog opterećenja od transverzalnih raspodjeljenih opterećenja. Ovi elemenati se mogu dobiti rješavanjem diferencijalnih jednačina: EI z v IV − Sv" = p y (8) EI y w IV − Sw" = p z (9) i primjenom odgovarajućih graničnih uslova obostrano uklještenog grednog elementa. Prema tome, elementi vektora ekvivalentnog opterećenja grednog elementa po teoriji drugog reda (10) od transverzalnih raspodjeljenih opterećenja duž ose elementa, dobijeni su na osnovu tačnog rješenja odgovarajućih diferencijalnih jednačina teorije drugog reda, tj. primjenom Metode početnih parametara [2]. Funkcije γy i γz predstavljaju uticaj teorije drugog reda i za slučaj pritisnutog ili zategnutog grednog elementa u prostoru prikazane su u tabeli 2. QT = L p x 2 py pz mx − pz L γy 6 py L 6 γz px py pz mx pz L γy 6 − py L 6 γ z (10) Tabela 2. Funkcije γy i γz za gredni element u prostoru Aksijalna sila u grednom elementu u prostoru Funkcija pritisak γy γy =− γz γz = − gdje su: 3. zatezanje 6ω y sin ω y + 12(cos ω y − 1) γy = − ω 2y (1 − cos ω y ) 6ωzsin ωz + 12(cos ωz − 1) ωy = L γz =− ωz2 (1 − cos ωz ) S EI y ωz = L 6ωysh ωy + 12(1 − ch ωy ) ω2y (1 − ch ωy ) 6ω z sh ω z + 12(1 − ch ωz ) ω z2 (1 − ch ω z ) S EIz ANALIZA SISTEMA ELEMENATA PO TEORIJI II REDA Do sada je gredni elementi analiziran kao nezavisni elementi konstrukcije. Međutim, pri prelasku na analizu nosača, odnosno na sistem međusobno povezanih elemenata, mora se voditi računa o njihovoj međusobnoj povezanosti. Elementi sistema, u čvoru u kome su povezani, moraju da zadovolje kako uslove kompatibilnosti pomjeranja tako i uslove ravnoteže. Uslovi ravnoteže u čvorovima sistema po teoriji drugog reda, mogu se prikazati u obliku matrične jednačine: K *q* = S* (11) gdje su: K* matrica krutosti sistema elemenata po teoriji drugog reda, q* vektor generalisnih pomjeranja čvorova sistema, S* vektor opterećenja po teoriji drugog reda, koji predstavlja zbir vektora zadatih spoljašnjih sila u čvorovima sistema i vektora ekvivalentnog opterećenja sistema po teoriji drugog reda. Pošto je matrica krutosti sistema singularna, da bi sistem jednačina (11) mogao da se riješi uvode se konturni uslovi, odnosno uslovi oslanjanja sistema elemenata, tako što se dodaju relativno velike konstante na poziciju dijagonale matrice krutosti sistema koja odgovara spriječenom stepenu slobode. Ovo je ekvivalentno dodavanju velike krutosti u sistem elemenata na mjesto i u pravcu spriječenog generalisanog pomjeranja. Kada su određena pomjeranja čvorova sistema po teoriji drugog reda generalisane sile na krajevima pojedinih elemenata po teoriji drugog reda, u globalnom koordinatnom sistemu određuju se iz jednačine: R *k = k *k q *k − Q *k (12) gdje su k *k i Q *k matrica krutosti i vektor ekvivalenog opterećenja elementa k po teoriji drugog reda u globalnom koordinatnom sistemu. Generalisane sile na krajevima pojedinih elemenata po teoriji drugog reda, u lokalnom koordinatnom sistemu određuju se prema izrazu: R k = Tk R *k (13) gdje je Tk matrica transformacije elementa k iz globalnog u lokalni koordinatni sistem. Proračun po teoriji drugog reda, u ovom radu, vrši se tako što se u prvoj iteraciji normalne sile u elementima uzimaju na osnovu proračuna po teoriji prvog reda, dok se u sledećim iteracijama uzimaju vrijednosti izračunate po teoriji drugog reda i iterativni postupak se ponavlja dok razlika između pomjeranja iz dvije uzastopne iteracije ne postane manja od neke unaprijed zadate veličine ili se proračun prekida poslije određenog broja iteracija. 4. NUMERIČKI PRIMJERI Na osnovu prethodno navedenih rješenja, razvijen je kompjuterski program ALIN (Analiza LInijskih Nosača) [4], napisan u programskom jeziku C++, namijenjen za analizu prostornih i ravanskih linijskih nosača kako po teoriji prvog reda, tako i po teoriji drugog reda. Primjenom programa ALIN, u ovom radu, izvršena je analiza okvira u ravni i nosača u prostoru, po teoriji prvog i teoriji drugog reda, usled zadatog opterećenja. Dobijeni rezultati su upoređeni sa rezultatima dobijenim korišćenjem programa TOWER, sa zanemarivanjem uticaja transverzalnih sila na deformaciju nosača. Pri proračunu nosača po teoriji drugog reda, primjenom programa TOWER zadata je podjela štapova na manje segmente da bi se dobili što tačniji rezultati [3], dok je kod primjene programa ALIN ostala ista podjela kao u teoriji prvog reda, odnosno jedan štap je jedan konačni element. Na slici 2 prikazan je okvir u ravni opterećen ravnomjerno podjeljenim opterećenjem duž ose štapa 1-2 i koncentrisanim silama u čvorovima 2 i 3. Da bi se dobila što E=3·107 kN/m2 veća razlika u dobijenim rezultatima po teoriji prvog i teoriji drugog reda vrijednost zadatih koncentrisanih sila je oko 50% kritične sile razmatranog okvira. U tabeli 3, prikazane su vrijednosti momenata savijanja Slika 2. Okvir u ravni. Geometrija i opterećenje po teoriji prvog reda i po teoriji drugog reda za razmatrani okvir, dobijene primjenom programa ALIN kao i primjenom programa TOWER za različite podjele greda na segmente. Tabela 3: Vrijednosti momenata savijanja kod okvira u ravni 1 2 3 Čvor Greda Momenti savijanja [kNm] 1 2 2 3 3 4 Teorija I reda ALIN TOWER /1/ 28.730 7.175 -7.175 -11.417 11.417 15.178 Teorija II reda TOWER k.e.= štap k.e.= 1m /2/ /3/ /4/ 41.437 37.330 41.429 17.192 20.173 17.196 -17.192 -20.173 -17.196 -22.110 -23.307 -22.111 22.110 23.307 22.111 26.438 27.683 26.441 Razlika [%] ALIN /2/-/1/ 44.23 139.61 139.61 93.66 93.66 74.19 /2/-/3/ 11.00 -14.78 -14.78 -5.14 -5.14 -4.50 /2/-/4/ 0.02 -0.02 -0.02 -0.01 -0.01 -0.01 Iz tabele 3 se vidi, da ako u TOWER-u nije izvršena podjela greda na manje segmente, tj. ako je jedan štap zapravo jedan konačni element, razlike u vrijednostima momenata savijanja po teoriji drugog reda se kreću do 15%, u odnosu na „tačne“ rezultate dobijene primjenom programa ALIN. Dok u slučaju, kada je u TOWER-u izvršena podjela greda na segmente od 1m razlike u vrijednostima momenata savijanja dobijene primjenom programa ALIN i TOWER praktično ne postoje. U tabeli 4, prikazane su vrijednosti momenata savijanja po teoriji prvog reda i po teoriji drugog reda za nosač u prostoru, prikazan na slici 3, dobijene primjenom programa ALIN i TOWER. Pri proračunu nosača po teoriji drugog reda u programu TOWER zadata je podjela greda na segmente od 0.50m i u tom slučaju imamo dobro slaganje dobijenih rezultata sa rezultatima dobijenim primjenom programa ALIN. Vrijednosti presječnih sila po teoriji prvog reda dobijene primjenom programa ALIN se u potpunosti poklapaju sa vrijednostima dobijenim korišćenjem programa TOWER. Pri proračunu nosača po teoriji drugog reda, u slučaju kada je u TOWER-u izvršena podjela greda na sitnije segmente (0.5-1m), razlike u rezultatima dobijenim primjenom programa ALIN i TOWER praktično ne postoje. Brojni podaci: E = 3·107 kN/m2 ν = 0.25 Štap 2-3: b/h = 0.25/0.6m Štapovi 1-2 i 3-4: b/h = 0.25/0.4m Štapovi 2-5 i 3-6: b/h = 0.4/0.4m Slika 3. Nosač u prostoru. Geometrija i opterećenje Tabela 4: Vrijednosti momenata savijanja kod nosača u prostoru 1 2 3 Čvor Greda Momenti savijanja Mz [kNm] 1 2 2 3 3 4 Teorija I reda ALIN TOWER /1/ 27.98 3.95 1.82 -126.91 106.96 135.14 Teorija II reda TOWER ALIN k.e.= 0.5m /2/ /3/ 110.86 110.78 74.90 74.78 -71.73 -71.64 -200.25 -200.20 171.03 170.98 214.27 214.26 Razlika [%] /2/-/1/ 296.21 1796.20 3841.21 57.79 59.90 58.55 /2/-/3/ 0.07 0.16 0.12 0.02 0.03 0.00 Dakle, prednost programa ALIN je što se pri proračunu po teoriji drugog reda ne mora voditi računa o podjeli greda na manje segmente, kao kod primjene programa TOWER, jer ALIN koristi tačnu matricu krutosti i tačni vektor opterećenja, za razliku TOWER-a koji koristi geometrijsku matricu krutosti. Proračun prema teoriji prvog reda, gdje se uslovi ravnoteže ispisuju na nedeformisanom sistemu, može dovesti do netačnih rezultata u odnosu na tačniju teoriju drugog reda, što je na ovim primjerima očigledno pokazano. LITERATURA [1] [2] [3] [4] Sekulović M.: Teorija linijskih nosača, Građevinska knjiga, Beograd, 2005. Đurić M.: Stabilnost i dinamika konstrukcija, Građevinski fakultet Beograd, Beograd, 1977. TOWER 5, TOWER 6, Uputstvo za rad sa programom, Radimpex, Beograd Žugić Lj: Nelinearna analiza mostova sa kosim kablovima, doktorska disertacija, Univerzitet u Beogradu, Građevinski fakultet Beograd, 2009.
© Copyright 2024 Paperzz